一道課本習題的“意外”收獲

●袁海軍

(廈門大學附屬實驗中學 福建廈門 363105)

一道課本習題的“意外”收獲

●袁海軍

(廈門大學附屬實驗中學 福建廈門 363105)

前不久，筆者所在學校數(shù)學組開展教研活動，聽了一節(jié)高一數(shù)學公開課，課題是“直線與圓的方程的應(yīng)用——坐標法”.在短短45分鐘里，筆者經(jīng)歷了課堂教學由流暢→滿意→實戰(zhàn)困惑→尋求破解的過程.在課堂最后12分鐘的學生板演練習環(huán)節(jié)中,教師請2位學生上臺現(xiàn)場板演課本上的一道練習題，結(jié)果暴露出課堂教學的預期與現(xiàn)實的反差如此之大，引發(fā)了筆者一些思考.

(人教A版《數(shù)學(必修2)》133頁第8題)

教師提示運用坐標法，學生獨立思考解決習題，教師來回巡視檢查學生答題.

學生甲：上臺閱讀題意，作出圖1，然后按照圖1建立直角坐標系，簡單寫出點A,B,C,O的坐標，并思考一會兒寫出圓O的標準方程后，面對許多點的坐標未知，感覺一片茫然，就沒有了下文.

圖1 圖2

時間過得很快，講課教師神情有點焦急、失望，不斷地提示：“你們能不能換個角度建立直角坐標系呢？”下面馬上就有學生說坐標系原點就是點O，而BC為x軸，但臺上的2個學生更加糊涂了，也更慌亂了，嘀咕道：“我已利用圖形上現(xiàn)成的直角建系，怎么不行？”大家就這樣靜靜地等待，可驚喜的結(jié)果還是沒有出現(xiàn)，離下課僅剩3分鐘了，講課教師快速地給出如下解答：

證法1如圖2，以O(shè)為原點，以直線PQ為x軸，PQ的中垂線為y軸，建立直角坐標系,可得：

|AP|2+ |AQ|2+|PQ|2=

(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2=

2(x2+y2+n2)+4n2=

由于時間很倉促，教師沒有對2個學生的解法和自己為何如此建系求解作出評價，也沒有較好的課堂小結(jié)，有點遺憾.值得肯定的是：這是一節(jié)非常真實的常規(guī)課教學，它沒有讓學生課前預先演練一遍，以換取“流暢、完美”的教學表象.執(zhí)教者是研究生畢業(yè)的青年教師，思維活躍，工作熱情飽滿，只是當課堂出現(xiàn)尷尬局面時缺乏應(yīng)對經(jīng)驗，或許是準備不足.那么如何化解呢？首先要吃透教材，了解學生，合理評估學生的知識水平.其次是備課時要精心設(shè)計，選取例題要有針對性，貼近學生的思維層次，盡可能多角度入手，有較好的延伸，最好教師要預先演練，難度適中.課堂板演要有利于鞏固所學知識，發(fā)現(xiàn)問題及時點評,同時盡可能地激發(fā)學生的解題興趣，體驗學習的成就感，熱愛學習.

筆者在下面聽課，當即順著2個學生解題思路，在聽課本上繼續(xù)做下去：

聯(lián)立方程消去y得

即

(x1+x2)2-2x1x2+(y1+y2)2-2y1y2+4n2=

自我體驗：感覺按照此方法解答,運算的確過于復雜，要求出的量偏多.但如果依舊按照該學生建系的方法，是否還有其他更簡潔的解法呢？細細思考片刻，作出如下解答：

|AQ|2= (c-x)2+(b-y)2=

c2+b2-2cx-2by+x2+y2;

(2)

|PQ|2= (c-2x)2+(b-2y)2=

c2+b2-4cx-4by+4x2+4y2=4n2.

(3)

又因為

(4)

聯(lián)立式(1),(2),(3),(4),可得

證法2和證法3對比總結(jié)：學生的建系思路是正確的，只要大膽地設(shè)變量，找出變量間的關(guān)系式，通過整體代換，采取“設(shè)而不求”，可大大降低運算量，最終一樣可以得出正確答案.但如果在限時解題中碰到困惑是迎難而上呢，還是迅速轉(zhuǎn)換思路呢？值得商榷.

針對此題進一步探究解法，若不建立直角坐標系是否還有更快捷的方法呢？細細觀察即可構(gòu)造平行四邊形或利用向量法解決,更為簡潔明了.

圖3

證法4向量法(平行四邊形法則)

由圖3可得

從而

(5)

(6)

當天，筆者在所任教的2個班級布置此題做為作業(yè)，特別補充希望學生用多種方法求解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多數(shù)學生按照證法1和證法2完成.可能是學生課后時間充足、心態(tài)放松，還可相互交流討論，答題效果整體較好.只是部分學生書寫不夠規(guī)范、嚴謹，甚至計算出錯.第2天上課筆者花費15分鐘時間采用逐步引導的方法進行上述講解，收效甚好.

通過此次聽課、評課、自我反思，收獲頗多，談幾點感言：授課是服務(wù)于學生的認知，應(yīng)盡可能站在更高的視角來審視平時的教學.教學是有方法的，充滿智慧的，不在于教師多講、少講，而在于學生課堂是否真正參與，學生的思維是否得到啟發(fā)和激活，對所學知識是否有效地理解，更重要的是放手給學生自我實踐，敢于找出自身的短板，尋求突破.倡導在教學實踐中滲入數(shù)學思想方法和數(shù)學人文價值觀，培養(yǎng)學生的數(shù)學美感和數(shù)學興趣.

溫馨提示：人教A版教師配套用書提供的參考答案數(shù)據(jù)錯誤，盼能及時修正.