函數(shù)奇偶性在解題中的幾種妙用

●蔡勇全

(資陽市外國語實驗學(xué)校 四川資陽 641300)

函數(shù)奇偶性在解題中的幾種妙用

●蔡勇全

(資陽市外國語實驗學(xué)校 四川資陽 641300)

奇偶性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，也是解決諸如求值、證明不等式、確定函數(shù)解析式、求參數(shù)的取值范圍等眾多數(shù)學(xué)問題的有力工具．在具體解題過程中，若能根據(jù)題目中條件的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想、構(gòu)造并靈活運用相關(guān)函數(shù)的奇偶性，往往可使這些問題巧妙、快速地獲解．本文結(jié)合實例介紹函數(shù)奇偶性在解題中的幾種巧妙應(yīng)用，供大家參考．

1 求值

例1

T(-x)=T(x)，S(-x)=-S(x).

(3)

由式(2)與式(3)作差得

分析1若直接求解g(-a)，則十分困難.若取g(x)中含x的那部分為載體來構(gòu)造函數(shù)，進而研究該函數(shù)的奇偶性，則問題就大為簡化了．

令h(x)=g(x)-5，則h(x)為奇函數(shù)．由h(a)=g(a)-5=1，得

h(-a)=g(-a)-5=-1，

從而

g(-a)=4．

分析2試著探索一下g(a)與g(-a)之和的值，也許會有意想不到的發(fā)現(xiàn)．

解法2因為

所以

g(-a)=4．

評注上述2個例子同時采用了構(gòu)造函數(shù)的策略，其中例1獨辟蹊徑，打破常規(guī)思路，構(gòu)造奇、偶函數(shù)于無形，讓人眼前一亮.而例2的解法1構(gòu)造了一個奇偶性非常明朗的函數(shù)，并利用該函數(shù)研究已知函數(shù)的函數(shù)值，起到了“過渡橋梁”的作用；解法2巧妙地探索到了g(a)與g(-a)之和的值居然為定值，這為順利求解提供了可能.事實上，這是函數(shù)求值問題中的一種典型解法．

2 證明不等式

例3

若0

分析若本題用綜合法或分析法證明,則比較困難.觀察發(fā)現(xiàn)不等式左右2邊均為以x為自變量的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的特性，能切中要害，出奇制勝．

ax-1<0．

從而f(x)<0，于是當(dāng)x<0時，

f(x)=-f(-x)>0，

分析本題實質(zhì)上是證明不等式恒成立的問題.解決此類問題的有效思路是“構(gòu)造差函數(shù)，強化恒成立”．

所以f(x)是偶函數(shù).因此只要證明當(dāng)x>0時，f(x)<0即可．當(dāng)x>0時，1-2x<0，顯然有

因此對任意x∈R且x≠0，都有f(x)<0，故

評注一些不等式的證明問題，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，選定變量，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，利用函數(shù)知識實現(xiàn)證明，不但可以優(yōu)化解題思路，而且有利于溝通函數(shù)與不等式之間的相關(guān)聯(lián)系，增強函數(shù)意識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3 確定函數(shù)解析式

例5

已知x∈(-1,1)，若f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且滿足f(x)+g(x)=2lg(1+x)，求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式．

分析若直接求f(x)與g(x)的解析式，則非常困難．聯(lián)想到所要求的是2個量，不妨考慮構(gòu)造關(guān)于這2個量的方程組來求解．

解因為

f(x)+g(x)=2lg(1+x),

(4)

所以

f(-x)+g(-x)=2lg(1-x).

又因為f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以

f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，

故f(x)-g(x)=2lg(1-x).

(5)

式(4)+式(5),得

f(x)=lg(1+x)+lg(1-x)=lg(1-x2);

式(4)-式(5),得

例6設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x≥0時，f(x)=2x+cosx，求當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)的解析式．

分析本題是“已知函數(shù)在一段區(qū)間上的解析式,求函數(shù)在另一段區(qū)間上的解析式”，這正好說明該函數(shù)是分段函數(shù)，因此可以利用“區(qū)間轉(zhuǎn)換法”來求解．

解當(dāng)x≥0時，

f(x)=2x+cosx，

于是當(dāng)x<0時，-x>0，從而

f(-x)=2-x+cos(-x).

又因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以

-f(x)=f(-x)=2-x+cos(-x)=2-x+cosx,

故

f(x)=-2-x-cosx，

即當(dāng)x<0時，

f(x)=-2-x-cosx．

評注上述2個例子考查了奇、偶函數(shù)的定義與性質(zhì),以及利用定義求函數(shù)解析式的方法．

4 求參數(shù)的取值范圍

例7

已知偶函數(shù)f(x)的定義域是(-2,2)，且在[0,2)上為減函數(shù)，若f(m-1)>f(1-2m)，求實數(shù)m的取值范圍．

分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為(-2,0]和[0,2)，那么m-1與1-2m是同在某一個區(qū)間內(nèi)還是各自分別在一個區(qū)間內(nèi)?如果就此展開討論將比較復(fù)雜而且不易完整求解，巧用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(-x)=f(|x|)，就不必討論變量所在的區(qū)間了．

解因為f(x)是偶函數(shù)，所以

f(x)=f(-x)=f(|x|)，

則

f(m-1)=f(|m-1|)，

f(1-2m)=f(|1-2m|).

依題意有

解得

評注通過揭示偶函數(shù)概念的深刻內(nèi)涵，避免了不應(yīng)有的分類討論過程．

5 判斷相關(guān)函數(shù)的奇偶性

例8

( )

A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)

C.可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

分析初看此題，最容易想到的思路是求f(x)的解析式，再判斷其奇偶性.但這根本不可能辦到，只能另辟蹊徑，間接判斷f(x)的奇偶性．

從而g(x)是奇函數(shù).又因為F(x)是偶函數(shù)，所以f(x)是奇函數(shù).故選A．

評注2個積函數(shù)的奇偶性，滿足“同偶異奇”，即在公共定義域內(nèi)，有:奇×奇=偶、偶×偶=偶、奇×偶=奇，解題時一定要注意靈活運用．

[1] 蔡勇全．怎樣挖掘題目中的“隱含信息”[J]．中學(xué)生理科應(yīng)試，2013(4):18-20．

[2] 黃德麗．接受型學(xué)習(xí)與探究型學(xué)習(xí)的關(guān)系[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(9):36-38．

[3] 蔡勇全．十招助你“巧”過解題運算關(guān)[J]．理科考試研究，2012(5)：14-17．

[4] 蔡勇全．突破抽象函數(shù)問題的十一招[J]．中學(xué)數(shù)學(xué):高中，2012(2):6-7．

[5] 蔡勇全．構(gòu)造差函數(shù)強化恒成立[J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2011(9):47．

[6] 蔡勇全．如何避免分類討論[J]．中學(xué)生理科應(yīng)試，2011(7)：7-8．

[7] 蔡勇全．由特征巧設(shè)函數(shù)證明不等式的六種視角[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊:上半月，2011(4)：10-11．

[8] 鄧超．妙用函數(shù)巧解題[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊:上半月，2010(10):31．