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    動(dòng)態(tài)幾何求解思維探幽

    2013-10-27 01:51:50陳堯明
    中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年11期
    關(guān)鍵詞:解題學(xué)生

    ●陳堯明

    (上虞市教研室 浙江上虞 312300)

    動(dòng)態(tài)幾何求解思維探幽

    ●陳堯明

    (上虞市教研室 浙江上虞 312300)

    先從一道高考題說起:如圖1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,D,E分別為CC1和A1B的中點(diǎn),且點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

    (1)求A1B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);

    (2)求點(diǎn)A1到平面AED的距離.

    圖1 圖2

    這是2003年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科卷中的立體幾何大題.此題給出的條件是三棱錐的側(cè)棱與底面垂直、棱柱的高、底面三角形是等腰直角三角形,但三角形的邊長(zhǎng)沒有確定.考生只有通過“點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G”這一條件來確定底面直角三角形的邊長(zhǎng),而以往的高考題中幾何體的空間結(jié)構(gòu)及大小都已確定,這對(duì)考生來說是一大考驗(yàn).當(dāng)然此題只要建立空間直角坐標(biāo)系很快能得以解決,可是以前的教材沒有平面向量這一知識(shí),更談不上空間向量,考生措手不及.有的考生誤認(rèn)為點(diǎn)G就是△ABD的重心或外心,有的想當(dāng)然認(rèn)為△ABD是等邊三角形,而致整題出錯(cuò).學(xué)生不會(huì)利用“點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G”這一條件,只看到題目背景的陌生、新穎而驚慌失措.

    事實(shí)上,此題的幾何條件不是直接告訴考生幾何體的形狀和大小,而是通過“點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G”這一條件確定底面△ABD的邊長(zhǎng),我們稱此類幾何體為動(dòng)態(tài)幾何體.動(dòng)態(tài)幾何體滲透了動(dòng)態(tài)的點(diǎn)、線、面及相關(guān)幾何元素的若干位置關(guān)系,相對(duì)于靜態(tài)幾何更富有挑戰(zhàn)性,近年來越來越受到高考命題者的青睞.解決此類問題的關(guān)鍵在于如何從動(dòng)態(tài)元素中挖掘出數(shù)量關(guān)系以達(dá)到幾何體的靜態(tài)、穩(wěn)定.本文擬羅列動(dòng)態(tài)幾何體的不同性狀,剖析其一般的解題思路,以饗考生(為提升學(xué)生對(duì)空間幾何體位置關(guān)系的敏感度,本文均不用向量法求解).

    1 以條件中的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系來達(dá)到幾何體的穩(wěn)定

    由于條件是“點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G”,可勾勒出經(jīng)過點(diǎn)E的△ABD的垂面,為此取AB的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)DE,EM,CM,DM(如圖2).由AC=BC不難知道AD=BD,即△ABD是等腰三角形,故點(diǎn)G在DM上,且DG∶GM=2∶1.

    圖3

    因?yàn)镸EAA1且CDAA1,所以四邊形DEMC為矩形.將矩形DEMC從直棱柱中“挪”出(如圖3所示),設(shè)DE=x,則由EM=1知DM=.在Rt△DEM中,

    DE2=DG·GM,

    例2如圖4,在四面體A-BCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°.

    (1)若AD=2,AB=2BC,求四面體A-BCD的體積;

    (2)若二面角C-AB-D為60°,求異面直線AD與BC所成角的余弦值.

    (2011年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

    圖4 圖5

    分析題目條件只給出△ACD和△ABC的形狀和位置關(guān)系,各邊長(zhǎng)都未確定,幾何體呈動(dòng)態(tài).

    第(2)小題中沒有直接給出棱長(zhǎng)或它們之間的數(shù)量關(guān)系,而是通過“二面角C-AB-D為60°”這一條件來實(shí)現(xiàn)幾何體從動(dòng)態(tài)到靜態(tài)的轉(zhuǎn)換.這樣解題的技術(shù)要求驟然提高,既考查了考生對(duì)二面角這一概念的實(shí)際掌握程度,同時(shí)又檢測(cè)了空間異面直線所成角的求法.

    設(shè)E,F分別為AC,AB的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE,EF,DF(如圖5所示),由AD=CD,得DF⊥AC,結(jié)合平面ABC⊥平面ACD,可知DF⊥平面ABC.又EFBC,于是由AB⊥BC可知EF⊥AB.于是∠DEF就是二面角C-AB-D的平面角,即∠DEF=60°.不妨設(shè)DF=,則

    2 以實(shí)驗(yàn)操作來尋求幾何體的穩(wěn)定

    大多教輔資料將此類問題歸類于立體幾何的平面翻折問題.這樣分類固然有別于一般立體幾何問題,因?yàn)榇蠖鄶?shù)立體幾何條件給出方式是平敘的,圖形的結(jié)構(gòu)是靜態(tài)、穩(wěn)定的.但在筆者看來,如此的翻折應(yīng)更多從學(xué)生“習(xí)”的層面上去詮釋,由習(xí)促學(xué),以實(shí)驗(yàn)操作推進(jìn)學(xué)生對(duì)立體幾何圖形在大腦中的三維定格,從而更好地實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)思維的實(shí)驗(yàn)過程”的教學(xué)目標(biāo).

    圖6

    (1)求二面角A′-FD-C的余弦值;

    (2)點(diǎn)M,N分別在線段FD,BC上,若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折,使點(diǎn)C與A′重合,求線段FM的長(zhǎng).

    (2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析觀察并思考題目給出的條件:

    ①平面四邊形ABCD是矩形;

    第(2)小題再次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作,以MN為折痕,將四邊形MNCD向上翻折,使點(diǎn)C與點(diǎn)A′重合.不難設(shè)想,實(shí)際操作肯定要試驗(yàn)若干次,才能實(shí)現(xiàn)使點(diǎn)C與點(diǎn)A′的完美重合.這充分說明在不斷實(shí)驗(yàn)操作中,此空間幾何體起始是動(dòng)態(tài)的(注意:與第一次翻折的差異性),只有當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A′的完全重合后,幾何體的結(jié)構(gòu)才是靜態(tài)、穩(wěn)定的,而穩(wěn)定即是不變的,便于解題思維上的把控.為此應(yīng)緊抓翻折前后的不變量,從而找到解決問題的突破口.

    過點(diǎn)A′作A′H⊥EF,垂足為H,過點(diǎn)H作HG⊥AD,垂足為G,聯(lián)結(jié)A′M,HM,CM(如圖6).設(shè)FM=x,則

    CM2=DC2+DM2=82+(6-x)2.

    而A′M2=A′H2+MH2=A′H2+MG2+GH2=

    例4如圖7,已知圓O的半徑為3,AB,CD是相交成60°的2條直徑,P為OC上任一點(diǎn),過點(diǎn)P作垂直于AB的弦MN,聯(lián)結(jié)AD,AC,Q為AD的中點(diǎn).現(xiàn)將弓形面MCAN沿弦MN向上折起,使得二面角A-MN-B的大小為θ.

    (1)求證:直線AC與OQ不平行;

    (2)當(dāng)θ=60°時(shí),點(diǎn)A在底面的射影恰好為圓心O,求直線AC與底面所成角的正弦值.

    分析這是少見的以圓為背景進(jìn)行翻折操作的立體幾何題.從檢測(cè)情況看,學(xué)生的完成率并不高,除了建系后點(diǎn)的坐標(biāo)不易計(jì)算外,學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的幾何體整體結(jié)構(gòu)把握比較困難,以下分析第(2)小題.

    圖7

    從已知條件容易發(fā)現(xiàn),弓形面MCAN翻折的折痕MN是動(dòng)態(tài)的,也即MN與直徑AB垂直的垂足E是移動(dòng)的.如果我們實(shí)驗(yàn)操作,要一次篤定點(diǎn)A在底面的射影恰好為圓心O不容易,折痕MN不易確定,也說明了垂足E不易確定.不難想象,這樣的點(diǎn)是唯一的,因此通過對(duì)點(diǎn)E位置的確定是保證此幾何體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的前提,顯然也是解題思維的切入口.

    因?yàn)镺A⊥MN,所以∠AEO=θ.由于點(diǎn)A在底面的射影恰好為圓心O,從而

    圖8

    3 以問題求證來探究幾何位置關(guān)系的穩(wěn)定

    有不少幾何體,盡管外部結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、靜態(tài),但通過部分的點(diǎn)、線、面的移動(dòng)與旋轉(zhuǎn),讓學(xué)生在圖形的變化過程中探究滿足一定條件的幾何位置關(guān)系,以達(dá)到幾何體的整體穩(wěn)定.

    圖9

    例5如圖9,已知矩形ABCD⊥平面α,且AB=4,BC=2,在α內(nèi)將邊AB繞中點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ(0°<θ<90°)至A′B′,聯(lián)結(jié)DA′,CA′,DB′,CB′.

    (1)求證:DA′∥平面BCB′;

    (2)當(dāng)DA′⊥CB′時(shí),求邊AB旋轉(zhuǎn)的角度θ的值.

    分析這是某地的一道高考模擬題.從題目給出的條件看,幾何體的邊角數(shù)量關(guān)系還是明了的,空間結(jié)構(gòu)基本穩(wěn)定,因此不管邊AB繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)多少角度,DA′始終與平面BCB′平行.而本題的亮點(diǎn)在第(2)小題,題目敢于打破常規(guī),求的是邊AB繞中點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ,使得DA′⊥CB′,也就是說,如何通過邊AB的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)程度來實(shí)現(xiàn)DA′⊥CB′這一靜態(tài)結(jié)構(gòu).這使得一部分學(xué)生適應(yīng)不了,但其中也涌現(xiàn)出一部分學(xué)生思維的活躍,解題方法的多樣性、靈活性,比如借助中位線的平移來構(gòu)筑異面直線所成角、建系向量法或者不建系直接用向量法等.

    事實(shí)上,我們可以將視線專注于四面體D-A′B′C,將其視作為空間四邊形,對(duì)角線是DA′和CB′.根據(jù)四邊形的對(duì)角線互相垂直,可知它們對(duì)邊的平方和相等,得

    DC2+A′B′2=B′D2+A′C2,

    而2組對(duì)邊分別相等,得

    A′C2=16=BC′2+A′B2,

    解得θ=60°.

    (1)證明:PQ∥平面BCD;

    (2)若二面角C-BM-D的大小為60°,求∠BDC的大小.

    (2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析(1)略.

    圖10 圖11

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