約束向量?jī)?yōu)化問題的像空間分析

羅 彬，王蓮明，張 謀

（1.重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶401331；2.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連116024）

在像空間分析（ISA）中，約束向量?jī)?yōu)化問題的最優(yōu)性條件可表示為一個(gè)參數(shù)系統(tǒng)的不可行性，或可等價(jià)地表示為約束向量?jī)?yōu)化問題像空間（IS）中兩個(gè)適當(dāng)子集的分離.Chinaie等［1－2］用該方法研究了多值函數(shù)及最優(yōu)解中多值函數(shù)的標(biāo)量化問題；李軍等［3］用該方法研究了錐約束變分不等式問題并運(yùn)用到交通平衡問題中；Mastroeni用該方法研究了約束優(yōu)化的對(duì)偶問題［4］、向量擬平衡問題的鞍點(diǎn)和間隙函數(shù)［5］、錐序下的向量擬平衡問題［6］以及向量?jī)?yōu)化問題的錐分離［7］，并用該方法討論了向量?jī)?yōu)化問題的一些最優(yōu)性條件［8－9］；文獻(xiàn)［10］用非線性標(biāo)量化函數(shù)Δ分析非光滑優(yōu)化問題的幾何形狀，并獲得了非凸優(yōu)化問題的必要最優(yōu)性條件.目前，該非線性標(biāo)量化函數(shù)已被應(yīng)用于各種優(yōu)化問題［11－16］中.

本文使用非線性標(biāo)量化函數(shù)Δ構(gòu)造一個(gè)非線性弱分離函數(shù)和一個(gè)非線性正則弱分離函數(shù)，通過這些非線性分離函數(shù)得到約束向量?jī)?yōu)化問題的一些充分和必要的最優(yōu)性條件.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Y，Z是兩個(gè)賦范空間，子集M?Y，分別用cl M，Mc，ri M，int M和?M表示M 的閉包、補(bǔ)集、相對(duì)代數(shù)內(nèi)部、拓?fù)鋬?nèi)部和邊界.令C是Y中的一個(gè)閉凸尖錐，則C的對(duì)偶錐為

其中Y＊是Y的對(duì)偶空間.

設(shè)S是一個(gè)度量空間，f是定義在S上的函數(shù)，α∈?，集合lev≥αf∶＝ ｛x∈S：f（x）≥α｝和lev＞αf∶＝｛x∈S：f（x）＞α｝分別稱為f的非負(fù)水平集和正水平集.

考慮如下約束向量?jī)?yōu)化問題：

定義集合：

無解，即Kx∩H＝?.

定義1 若函數(shù)w：Y×Z×Π→?（其中Π是一個(gè)參數(shù)系統(tǒng)）滿足下列兩個(gè)條件：

則w稱為弱分離函數(shù).

由所有弱分離函數(shù)組成的集合記為W（Π）.

定義3 設(shè)Y是一個(gè)賦范空間，A是Y的一個(gè)子集，定義ΔA：Y→?∪｛±∞｝為

命題1［15］設(shè)A是Y的一個(gè)非空真子集，則有：

1）ΔA是實(shí)值的；

2）ΔA是1－Lipschizian的；

3）當(dāng)y∈?A時(shí)，ΔA（y）＝0；

4）當(dāng)y∈int A時(shí)，ΔA（y）＜0；

5）當(dāng)y∈int Ac時(shí)，ΔA（y）＞0；

6）當(dāng)A是一個(gè)錐時(shí)，ΔA是正齊次的.

2 分離函數(shù)

考慮如下非線性分離函數(shù)：

命題2 1）當(dāng)（φ，λ）∈Π1＝H＊＼｛0X×Y｝時(shí)，非線性函數(shù)w1是一個(gè)弱分離函數(shù)；2）當(dāng)（φ，λ）∈Π2＝int C＊×D＊時(shí)，非線性函數(shù)w1是一個(gè)正則弱分離函數(shù).

證明：1）對(duì)任意的（φ，λ）∈Π1和（u，v）∈H，有φ（u）≥0和〈λ，v〉≥0.由命題1中3）和4），有

從而有

下證

若式（5）不成立，則存在（u，v）?H 滿足

對(duì)于（u，v）?H，分兩種情形討論：

情形1）若u?C＼｛0Y｝且v∈Z，則存在φ∈C＊，使得φ（u）≤0.令λ＝0Z，則有（φ，λ）∈Π1，但w1（u，v；φ，λ）＝φ（u）≤0，與式（6）矛盾.

情形2）若u∈Y且v?D，則存在λ∈D＊＼｛0Z｝，使得〈λ，v〉＜0.令φ＝0Y，則由命題1中5）得

與式（6）矛盾.

由式（4），（5）知w1∈W（Π1）.

2）由（φ，λ）∈Π2＝int C＊×D＊，與1）證明同理，有

下證

若式（8）不成立，則存在（u，v）?H 滿足

對(duì)于（u，v）?H，分兩種情形討論：

情形1）若u?C＼｛0Y｝且v∈Z，則存在φ∈C＊，使得φ（u）≤0.令λ＝0Z，則有（φ，λ）∈Π1，而w1（u，v；φ，λ）＝φ（u）≤0，與式（9）矛盾.

情形2）若u∈Y 且v?D，則存在λ∈D＊＼｛0Z｝，使得〈λ，v〉＜0.顯然當(dāng)t＞0時(shí)，有tλ∈D＊＼｛0Z｝，由命題1中5）和6），得

與式（9）矛盾.

由式（7），（8）知w1∈W?（Π2）.

3 最優(yōu)性條件

先建立擇一性定理，然后討論問題（1）的優(yōu)化條件.由文獻(xiàn)［3］中弱擇一性定理和強(qiáng)擇一性定理類似可得：

定理1 系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)：

不可能同時(shí)成立.

由文獻(xiàn)［3］中定理4.4.2類似可得：

定理2 系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)：

不可能同時(shí)成立.

由定理1和定理2可得問題（1）解的一些充分條件和必要條件.

證明：必要性.先證明

因?yàn)閣2是一個(gè)正則弱分離函數(shù)，所以式（15）的第一個(gè)等式成立.顯然式（15）的第二個(gè)等式也成立.下證

充分性.若式（14）成立，則

令x∈V，得

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