變積分限Cauchy核與卷積核混合的完全奇異積分方程的求解

馮 志 新

（吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 四平136000）

0 引言與預(yù)備知識

Duduchava［1］首次提出了求解如下具有卷積核的積分方程中未知函數(shù)φ（t）∈Lp（－∞，＋∞）（0＜t＜＋∞）的問題：

其中：dj∈?；g（t），k0（t）∈Lp（－∞，＋∞）.路見可［2］給出了帶有常系數(shù)的卷積核與 Cauchy核混合的奇異積分方程，通過由Fourier變換將其轉(zhuǎn)化為Riemann邊值問題求解的方法，并在函數(shù)類｛0｝中討論了該方程在正則化情況下的一般解法.文獻［3－13］進一步研究了關(guān)于卷積核的奇異積分方程的求解問題.本文在上述研究的基礎(chǔ)上，考慮含卷積核與奇異核混合的變積分限的完全奇異積分方程的求解問題，先將所研究的積分方程正則化為等價的Fredholm方程，并給出了該類方程可解需添加的條件，再通過求解等價方程得到其在｛0｝類中一般解的數(shù)學表達式.

記函數(shù)類

其中Φ（x）＝V［φ（t）］，Φ（x）∈｛｛0｝｝.

所以Tφ＝－V－1［Φ（t）sgn t］，即V［Tφ］＝－sgn x·Φ（x）.

1 變積分限卷積核完全奇異積分方程的轉(zhuǎn)化

考慮積分方程：

其中：aj，bj，cj為已知常數(shù)，且bj≠0，j＝1，2；kj（t），g（t）（j＝1，2）∈｛0｝為已知函數(shù).已知函數(shù)m（t，s）∈｛0｝×｛0｝為已知Fredholm核，要求未知函數(shù)f（t）∈｛0｝.

方程（1）為變積分限Cauchy核與卷積核混合的完全奇異積分方程，要將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)類｛｛0｝｝中的完全奇異積分方程，可令

再由f±（t）定義，將式（2）改寫為

對式（4）兩端做Fourier變換V，由引理1，可得

其中：

易見，式（5）是在函數(shù)類｛｛0｝｝中關(guān)于F（x）的完全奇異積分方程.因而，在函數(shù)類｛0｝中求解積分方程（1），可轉(zhuǎn)化為在函數(shù)類｛｛0｝｝中求解完全奇異積分方程（5）.

故

假設(shè)在x＝0處有A（＋0）＝A（－0），則

若c1≠c2，則

因而，只要式（6）不成立，則A（＋0）≠A（－0），故x＝0是A（x）的第一類間斷點.不失一般性，假設(shè)上述特殊情況不成立.于是，方程（5）是以x＝0為節(jié)點的完全奇異積分方程.

2 積分方程（1）的一般解及可解條件

假設(shè)A（x）±D（x）≠0（－∞＜x＜＋∞），即

考慮奇異積分方程（5）的特征方程：

記Φ（z）＝T［F（t）］，由Plemelj公式，方程（7）可寫成以x＝0為節(jié)點的Riemann問題：

由于本文在函數(shù)類｛｛0｝｝中求解Riemann邊值問題（8），因此Φ（∞）＝0，于是∞點為問題（8）的特異節(jié)點.暫不考慮問題在x＝0處的性質(zhì).無窮直線上Riemann邊值問題（8）的指標κ按式κ＝－λ∞確定，并按如下方法選取待定整數(shù)λ∞：

1）若∞是特異節(jié)點，則選取整數(shù)α∞，使得λ∞＋α∞＝0；

2）若∞是普通節(jié)點且F（z）要求在∞處有界，則選取整數(shù)λ∞滿足0＜λ∞＋α∞＜1；

3）若∞是普通節(jié)點且F（z）要求在∞處允許具有不足一階的奇異性，則選取的整數(shù)λ∞滿足－1＜λ∞＋α∞＜0.

根據(jù)Cauchy型積分的定義與性質(zhì)，Riemann邊值問題（8）的指標κ＝－λ∞，即κ＝α∞.

當κ≥0時，Riemann邊值問題（8）在類R－1中的一般解為

其中：Qκ（z）為κ階的任意多項式（當κ≤0時，Qκ（z）＝0）；

當κ＜0時，Qκ（z）＝0，則Riemann邊值問題（8）在類R－1中的一般解為

由于此時z＝－i是奇異點，為消去在z＝－i處的奇異性，再添加相應(yīng)的可解條件為

最后，由Φ＋（x）－Φ－（x）＝F（x）及Plemelj公式，可得

其中：

式（12）即為特征方程（7）的一般解（當κ＜0時，Qκ（z）＝0）.

下面對完全奇異積分方程（5）正則化，將式（5）改寫成：

當κ≥0時，式（14）的解為

其中：

易證，式（16）即為函數(shù)類｛｛0｝｝中的Fredholm積分方程.

當κ＜0時，需添加可解條件，即當

成立時，方程才可解.

因此，在暫不考慮節(jié)點x＝0處性態(tài)的條件下，求解完全奇異積分方程（5）可轉(zhuǎn)化為：當κ≥0時，與在函數(shù)類｛｛0｝｝中求解Fredholm積分方程（16）等價；當κ＜0時，與在函數(shù)類｛｛0｝｝中求解Fredholm積分方程（16）（此時Qκ（z）＝0）且滿足適當?shù)目山鈼l件等價.

對于Fredholm積分方程（16）（當κ＜0時，Qκ（z）＝0），由Fredholm積分定理及廣義預(yù)解核理論［10］，可知：

1）當κ≥0時，F(xiàn)redholm積分方程（16）可解的充分必要條件為

2）當κ＜0且式（17）成立時，F(xiàn)redholm積分方程（16）（此時Qκ（z）＝0）可解的充分必要條件為

其中γ（x，τ）為方程的廣義預(yù)解核.因此，方程（1）的解由

給出.

3 積分方程（1）在x＝0處的性態(tài)

上述討論都是假設(shè)暫不考慮F（x）或Φ（x）在x＝0處性態(tài)條件下進行的，下面考慮為保證F（x）或Φ（x）在x＝0處屬于函數(shù)類｛｛0｝｝所需的相應(yīng)條件.

由于x＝0是Riemann邊值問題（8）的節(jié)點，則其也為變積分限的卷積核與Cauchy核混合的積分方程（1）的節(jié)點.由于要求未知函數(shù)F（x）∈｛｛0｝｝，在x＝0處必須有F＋（＋0）＝F＋（－0），從而Φ＋（＋0）＝Φ＋（－0）.易見，x＝0是 Riemann邊值問題（8）的節(jié)點.假設(shè)x＝0是 Riemann邊值問題（8）的普通節(jié)點.當s從x＝0沿實軸右側(cè)趨于0時，記x＝0為起始弧端點；當s從x＝0沿實軸左側(cè)趨于0時，記x＝0為終止弧端點.設(shè)γ＝α＋iβ，0≤α≤1，則

由于本文在函數(shù)類｛｛0｝｝中求解奇異積分方程（5），因此由開口弧段端點Cauchy型積分的性質(zhì)知，對于以f（s）∈｛0｝（γ＝α＋iβ，0≤α≤1）為密度函數(shù)的Cauchy型積分F（x）＝T［f（t）］，在x＝0附近，有

于是在x＝0附近，有

其中Φ＊c（s）在x＝0附近解析且屬于函數(shù)類｛｛0｝｝.從而在x＝0附近，有

其中函數(shù)O＊（s）在x＝0附近全純，且屬于函數(shù)類｛｛0｝｝，當s→0時為0.

由式（23），（24），可得

由式（25），（26）及Φ＋（＋0）＝Φ＋（－0），有

可見，F(xiàn)redholm積分方程（16）可解的必要條件即為積分方程（1）可解的必要條件.

假設(shè)x＝0是Riemann邊值問題（4）的特異節(jié)點，在端點x＝0處，設(shè)γ＝α＋iβ，α＝0，則γ＝iβ.此時，式（23），（24）仍成立，并且

綜上，可得本文的主要結(jié)果：

1）若κ≥0，則方程（1）可解的充要條件為式（18）成立，其解為式（22），其中F（x）由式（19）給出；

2）若κ＜0，則須添加可解條件（17），此時方程（1）可解的充要條件為式（20）成立，方程的唯一解為式（22），其中F（x）由式（21）給出.

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