復(fù)射影空間中具有常平均曲率的全實子流形

劉 敏

（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖241000）

0 引 言

設(shè)CPn＋p是具有Fubini－Study度量的復(fù)n＋p維復(fù)射影空間，全純截面曲率為常數(shù)4.設(shè)J為CPn＋p的復(fù)結(jié)構(gòu)，Mn為CPn＋p的實n維子流形.如果Mn上每點切空間被J變換到自身，則稱Mn是CPn＋p的全純子流形.反之，若Mn上每點的切空間被J變換到該點法空間，則稱Mn為CPn＋p的全實子流形.

關(guān)于CPn中的全實子流形研究目前已有許多結(jié)果［1－3］.沈一兵［4－5］討論了CPn＋p中全實極小子流形，得到了關(guān)于數(shù)量曲率、Ricci曲率和截面曲率的Pinching定理：

定理1 設(shè)Mn是CPn＋p中緊致全實極小子流形，若

則M全測地.

定理2 設(shè)Mn是CPn＋p中緊致全實極小子流形，若Q＞n－2，n≥4，則M全測地.

定理3 設(shè)Mn是CPn＋p中緊致全實極小子流形，若

則M全測地.其中：S是M 的第二基本形式模長平方；K，Q分別是M 的截面曲率和Ricci曲率下確界.

本文將上述結(jié)果推廣到具有常平均曲率的全實子流形，得到如下結(jié)果：

注1 當(dāng)H＝0時，定理4即為定理1.

定理5 設(shè)Mn是CPn＋p中的n維具有常平均曲率的緊致全實偽臍子流形，若Mn的Ricci曲率的下確界Q＞n－1＋（n－1）H2，n≥4，則Mn全測地.

關(guān)于第二基本形式模長平方S，有：

定理6 設(shè)Mn是CPn＋p中的n維具有常平均曲率的緊致全實偽臍子流形，則

定理7 設(shè)Mn是CPn＋p中的n維緊致全實偽臍子流形，且Mn的平均曲率為常數(shù)，則Mn具有平行平均曲率向量.

1 預(yù)備知識

設(shè)Mn是CPn＋p中實n維全實子流形，J為CPn＋p的復(fù)結(jié)構(gòu).在CPn＋p上選取局部規(guī)范正交標(biāo)架場：

使得限制于Mn，｛e1，…，en｝與Mn相切，約定各類指標(biāo)的取值范圍為：

用｛ωA｝表示｛eA｝的對偶標(biāo)架場，則CPn＋p的結(jié)構(gòu)方程為

其中：

這里（JAB）為線性變換J關(guān)于｛eA｝的變換矩陣，即

其中In＋p為n＋p階單位矩陣.

將上述形式限制在M上，則有：

其中Rijkl和Rαβij分別是Mn的Riemann曲率張量場和法曲率張量場關(guān)于｛eA｝的分量.進(jìn)一步，Mn的平均曲率向量場ξ、平均曲率H與第二基本形式模長平方S及數(shù)量曲率ρ可表示為

引理1［6］設(shè)A1，A2，…，Am是m 個n階對稱矩陣（m≥2），則

引理2［7］設(shè)Mn是CPn＋p中的n維全實子流形，用TMn和T⊥Mn分別表示Mn的切叢和法叢，V＝J（TMn），V⊥表示V在T⊥Mn中的正交補叢，即T⊥Mn＝V⊕V⊥，ξ是Mn的一個平行臍性法向量場，則ξ必位于V⊥中，即ξ∈C∞（V⊥）.

2 定理的證明

由引理2選取en＋1與平均曲率向量ξ平行，結(jié)合Mn是偽臍，則

由式（4），（9），（11），（16）得

由式（17），（18），對任意實數(shù)a，有

引理3 設(shè)Mn是CPn＋p中的n維緊致全實子流形，其平均曲率H為常數(shù)，則

證明：由

2.1 定理4的證明

不等式（20）兩邊與標(biāo)架選取無關(guān)，故關(guān)于α求和可得

此外，由文獻(xiàn)［9］，有

由式（19），（21）～（23）得

由式（25）可見，當(dāng)

時，有S＝0，即Mn全測地.

另一方面，由文獻(xiàn)［10］又有

由式（19），（21），（26）有

2.2 定理5的證明

即

從而

由式（13）有

在式（19）中取a＝－1，利用式（23），（24），（29），（30）有

將式（31）兩邊積分有

故當(dāng)Q＞n－1＋（n－1）H2時，S＝0，即Mn全測地.

2.3 定理6的證明

在式（19）中取a＝－1，由引理3有

2.4 定理7的證明

由式（16）及文獻(xiàn)［10］并結(jié)合H 為常數(shù)有

則

另一方面，由式（16）可得

由式（33），（34）得

再結(jié)合式（32）的第一式有

從而Mn具有平行平均曲率向量.

注3 由定理7知，關(guān)于CPn＋p中緊致具有常平均曲率的全實偽臍子流形研究可轉(zhuǎn)化為緊致具有平行平均曲率向量的全實偽臍子流形的研究.

［1］WANG Hong.Several Global Pinching Theorem for Minimal Submanifolds in a Complex Projective Space［J］.Chinese Annals of Mathematics：Ser A，1991，12（3）：325－331.（王紅.復(fù)射影空間中極小子流形的幾個整體Pinching定理 ［J］.數(shù)學(xué)年刊：A輯，1991，12（3）：325－331.）

［2］ZHU Ye－cheng，SONG Wei－dong.2－Harmonic Submanifolds in a Complex Space Form ［J］.Journal of Mathematical Research ＆ Exposition，2008，28（3）：727－732.

［3］HU Xian－ju，WANG Li－juan，SONG Wei－dong.2－Harmonic Real Submanifolds in a Complex Projective Space［J］.College Mathematics，2009，25（1）：88－91.（胡顯舉，王麗娟，宋衛(wèi)東.復(fù)射影空間中的2－調(diào)和全實子流形［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25（1）：88－91.）

［4］SHEN Yi－bing.Scalar Curvature of Totally Real Minimal Submanifolds ［J］.Chinese Annals of Mathematics：Ser A，1991，12（5）：573－577.（沈一兵.全實極小子流形的數(shù)量曲率 ［J］.數(shù)學(xué)年刊：A 輯，1991，12（5）：573－577.）

［5］SHEN Yi－bing.Totally Real Minimal Submanifolds in a Complex Projective Space ［J］.Journal of Scince，1983（3）：131－133.（沈一兵.復(fù)射影空間的全實極小子流形 ［J］.科學(xué)通報，1983（3）：131－133.）

［6］LI An－min，LI Ji－min.An Intrinsic Rigidity Theorem for Minimal Submanifolds in a Sphere［J］.Arch Math，1992，58（6）：582－594.

［7］ZHANG Liang.On Totally Real Pseudo－umbilical Submanifolds in a Complex Projective Space［J］.Journal of Math Research ＆ Exposition，2008，28（2）：421－428.

［8］Yau S T.Submanifolds with Constant Mean CurvatureⅡ ［J］.Amer J Math，1975，97（1）：76－100.

［9］紀(jì)永強.子流形幾何 ［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［10］Yau S T.Submanifolds with Constant Mean CurvatureⅠ ［J］.Amer J Math，1974，96（2）：346－366.