(2+1)-維強(qiáng)排斥玻色-愛因斯坦凝聚體中的解析解*

姜云青， 林 機(jī)

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

(2+1)-維強(qiáng)排斥玻色-愛因斯坦凝聚體中的解析解*

姜云青， 林 機(jī)

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

運(yùn)用經(jīng)典李群方法，以“硬核”玻色子為模型，研究了原子間為強(qiáng)排斥作用的(2+1)維玻色-愛因斯坦凝聚體中的物質(zhì)波.在特殊情況下，得到了物質(zhì)波的一些解析解，包括暗孤子解、亮孤子解及周期解.分析了此強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的物理參量,包括最近鄰格點(diǎn)間的躍遷強(qiáng)度、最近鄰格點(diǎn)間原子的相互作用,對物質(zhì)波的波速及振幅的影響.

經(jīng)典李群方法；“硬核”玻色子；玻色-愛因斯坦凝聚；解析解

0 引 言

物質(zhì)波的非線性動力學(xué)已成為當(dāng)今物理學(xué)的研究熱點(diǎn)之一.近年來，稀薄金屬氣體中玻色-愛因斯坦凝聚(簡稱BEC)的實(shí)現(xiàn)為非線性物理學(xué)的研究開創(chuàng)了新領(lǐng)域.在BEC中，物質(zhì)波暗孤子是凝聚體密度缺損的一種表現(xiàn)，只存在于凝聚體的內(nèi)部，而物質(zhì)波亮孤子本身就是凝聚體,且不同性質(zhì)的原子間相互作用會形成不同的物質(zhì)波孤子.對于原子間相互作用比較弱的情形，BEC的動力學(xué)問題可由Gross-Pitaevskii(GP)方程[1]來描述：當(dāng)相互作用為排斥作用時，GP方程有暗孤子解[1]；當(dāng)相互作用為吸引作用時，GP方程有亮孤子解[2];二維情況下有模擬的孤子解[3]. 實(shí)驗(yàn)上弱相互作用BEC中的暗孤子[4]、亮孤子[5]等也已被成功觀察.對于凝聚原子相互作用比較強(qiáng)的情形，當(dāng)原子之間為強(qiáng)排斥作用時，玻色體系的行為就如同相互排斥的粒子體系，“硬核”玻色子(hard-core boson (HCB))就能恰如其分地表現(xiàn)這一點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上建立了“硬核”(Bose-Hubbard)模型.一維“硬核”玻色氣體也稱為“Tonks-Girardeau”原子氣[6-7],于2004年在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了這一物質(zhì)狀態(tài)[8].

對于強(qiáng)排斥BEC體系，不再用GP方程對其動力學(xué)行為進(jìn)行描述[9-10]，非“GP”型孤子是近期研究的熱點(diǎn)[11].對于“硬核”玻色子體系，一維情形下的暗孤子[12]、亮孤子[13]及其他類型的孤子[14]已被獲得，但現(xiàn)有的數(shù)值及解析結(jié)果并不多，特別對于高維體系，解析結(jié)果更是少.2009年，Balakrishnan等[15]用新的“自旋相干態(tài)平均法(spin-coherent state averages)”得出了一維強(qiáng)排斥BEC的新型孤子解[14]. 本文在此工作的基礎(chǔ)上，運(yùn)用經(jīng)典李群方法[16]研究了(2+1)維的情形，得出了(2+1)維強(qiáng)排斥BEC中物質(zhì)波的一系列解析結(jié)果.

1 經(jīng)典李群約化

以近鄰格點(diǎn)原子間存在相互作用的“硬核”Bose-Hubbard為模型，(2+1)維強(qiáng)排斥BEC體的動力學(xué)方程為[14]

式(1)中:下標(biāo)表示對時間變量t和空間變量x,y的求導(dǎo)；η(r),δ(r)分別表示BEC中凝聚原子的局域序參量(local order parameter)和粒子-空穴不平衡變量(particle-hole imbalance variable)；Ue=2(T-V);Ve=Va2;T為Bose-Hubbard模型中最近鄰格點(diǎn)間粒子的躍遷強(qiáng)度;V為引入的最近鄰格點(diǎn)上原子間的相互吸引作用(V>0)(當(dāng)V<0，即為排斥作用時，所得結(jié)果也成立)；a為晶格常數(shù);μ為化學(xué)勢.由“自旋相干態(tài)平均法”[16]得凝聚序參數(shù)η(r)=2-1sin(θ)ejφ(r)；凝聚粒子數(shù)密度ρc=|η|2=4-1sin2(θ)；總粒子數(shù)密度ρ=sin2(θ/2).這里易得ρc=ρ(1-ρ)，而對于描述弱相互作用的BEC的GP方程，有ρc=ρ.又總粒子數(shù)密度ρ與空穴數(shù)密度ρh有關(guān)系ρh=1-ρ，所以，可得粒子-空穴不平衡變量δ(r)=ρh-ρ=1-2ρ=cos(θ(r)).將η(r),δ(r)代入式(1)中，消去η，得到關(guān)于δ,φ的方程組

式(2)中取?=1,m=1.

對方程組(2)，運(yùn)用經(jīng)典李群方法，要求方程組(2)的解集在無窮小變換{x,y,t,δ,φ}→{x,y,t,δ,φ}+ε{X,Y,T,ξ,ζ}是不變的，就要求下述方程

成立.式(3)中的Pr(2)V是保持方程組(2)不變的單參數(shù)群的向量場(生成元)V=X?x+Y?y+T?t+ξ?δ+ζ?φ的二階延拓

式(4)中系數(shù)Kt=?i(K-Xkx-Tkt)+Xkxi+Tkit,Kii=?ii(K-Xkx-Tkt)+Xkxii+Tkiit(K=(ξ,ζ),k=(δ,φ),i=(x,y,t))分別表示一階無窮小和二階無窮小.把式(2)、式(4)代入方程(3)，將含有δ,φ的各階導(dǎo)數(shù)合并同類項(xiàng)，使δ,φ各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為零，即可得到一系列線性偏微分方程組，解之，可以得到

式(5)中,a1,c1,c2,c3,c4是任意實(shí)常數(shù).當(dāng)a1=0時，通過積分特征方程

可以得到相似變量z和相似解δ,φ為

式(7)中，f(z),g(z)為積分不變量且c1=c2.將式(7)代入方程組(2)，通過E1對z積分得

c是積分常數(shù).再將式(8)代入E2，則可得約化方程

式(9)中，g′,f′,f″分別表示對變量z的一次、二次求導(dǎo).方程(9)為非線性常微分方程，對其求解，再聯(lián)合式(7)、式(8)，則可得到方程(2)關(guān)于δ，φ的解.再由上文已知δ(r)=1-2ρ,ρc=ρ(1-ρ)，則可得(2+1)維具有強(qiáng)排斥BEC中物質(zhì)波ρc的解析解形式.

2 精確解

方程(9)是一個復(fù)雜的非線性常微分方程，直接求解非常困難.但是，當(dāng)方程的參數(shù)取某些特定值的情況下，方程(9)存在著一系列解析解.以下給出一系列關(guān)于物質(zhì)波ρc的精確解析解形式，主要有暗孤子、亮孤子及周期解形式.

2.1暗孤子

圖1 物質(zhì)波暗孤子在t=1時刻的演化圖 圖2 物質(zhì)波暗孤子隨速度變化圖

2.2亮孤子

情形1

圖3 物質(zhì)波亮孤子在t=1時刻的演化圖

(13)

v=c1/c3為孤子的傳播速度，只與參量Ue有關(guān).該物質(zhì)波為一亮孤子，圖3即為t=1時物質(zhì)波亮孤子的演化圖，具體參數(shù)取值為c3=c1=c=1,v=1,b1=0.5.

情形2

則凝聚的粒子數(shù)密度為

它是一定態(tài)的亮孤子解，如圖4所示，取c3=1.此特殊情形中，有Ue=2(T-V)<0，即要求最近鄰格點(diǎn)間的躍遷強(qiáng)度T小于最近鄰格點(diǎn)上原子間的相互作用V.因此可以得出，當(dāng)體系中的物理參量μ與T,V取適當(dāng)?shù)年P(guān)系時，此凝聚體中的物質(zhì)波為一定態(tài)亮孤子波，此時，強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的物理量T或V的變化不會引起物質(zhì)波的變化，即對凝聚體中粒子的空間分布幾率無影響.

圖4 物質(zhì)波定態(tài)亮孤子的演化圖 圖5 物質(zhì)波定態(tài)hump孤子的演化圖

情形3

當(dāng)Ue=0,c4=(μ?c23)c3,Ve=1,c=0,c1=0時，方程(9)有解

強(qiáng)關(guān)聯(lián)BEC中的凝聚粒子數(shù)密度為

它是一定態(tài)的hump孤子，如圖5所示，取參量c3=1.在此情形中，特別是當(dāng)Ue=2(T-V)=0，即要求最近鄰格點(diǎn)上的躍遷強(qiáng)度T等于最近鄰格點(diǎn)上原子間的相互作用V，并且化學(xué)勢μ獨(dú)立存在，與變量Ue無關(guān).同上，在此情形中，強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的物理參量T或V的變化不會影響此hump孤子的寬度及振幅，即不會影響凝聚體中粒子的空間分布幾率.

2.3周期解

圖6 周期性物質(zhì)波的演化圖

(18)

3 結(jié) 論

本文以“硬核”玻色氣體為模型,研究了原子間為強(qiáng)排斥作用的(2+1)維玻色-愛因斯坦凝聚體中的物質(zhì)波.首先，由具有強(qiáng)排斥作用的玻色-愛因斯坦凝聚體的動力學(xué)方程出發(fā)，運(yùn)用經(jīng)典李群方法，通過約化，得到了一常微分方程,求解此常微分方程，最終得到了物質(zhì)波的一系列解析解，包括亮孤子、暗孤子與周期解.然后，對這些解的物理意義進(jìn)行了討論，分析了各種情況下所得的物質(zhì)波中，強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的物理參量如最近鄰格點(diǎn)間粒子的躍遷強(qiáng)度、最近鄰格點(diǎn)上原子間的相互作用對物質(zhì)波的傳播速度及振幅的影響.

[1]Pitaevskii L,Stringari S.Bose-Einstein condensation[M].Oxford:Oxford University Press,2003.

[2]Al Khawaja U，Stoof H T C,Hulet R G,et al.Bright soliton trains of trapped Bose-Einstein condensate[J].Phys Rev Lett,2002,89(20):200404-200408.

[3]Lashkin V M.Two-dimensional nonlocal vortices,multipole solitons,and rotating multisolitons in dipolar Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev A,2007,75(4):43607-43613.

[4]Burger S,Bongs K,Dettmer S,et al.Dark solitons in Bose-Einstein condensates[J].Phys Rev Lett,1999,83(25):5198-5201.

[5]Strecker K E,Partridge G B,Truscott A G,et al.Formation and propagation of matter-wave soliton trains[J].Nature,2002,417:150-153.

[6]Girardeau J M.Relationship between systems of impenetrable bosons and fermions in one dimension[J].J Math Phys,1960,1(6):516-524.

[7]Lieb E H,Liniger W.Exact analysis of an interacting Bose gas. I . The general solution and the ground state[J].Phys Rev,1963,130(4):1605-1616.

[8]Kinoshita T,Wenger T,Weiss D S.Observation of a one-dimensional Tonks-Girardeau gas[J].Science,2004,305(5687):1125-1128.

[9]Kolomeisky E B,Newman T J,Straley J P,et al.Low-Dimensional bose liquids:beyond the Gross-Pitaevskii approximation[J].Phys Rev Lett,2000,85(6):1146-1149.

[10]Mishmash R V,Danshita I,Clark C W,et al.Quantum many-body dynamics of dark solitons in optical lattices[J].Phys Rev A,2009,80(5):053612-053625.

[11]Krutitsky K V,Larson J,Lewenstein M.Dark solitons near the Mott-insulator-superfluid phase transition[J].Phys Rev A,2010,82(3):033618-033627.

[12]Girardeau M D,Wright E M.Dark solitons in a one-dimensional condensate of hard core bosons[J].Phys Rev Lett,2000,84(25):5691-5694.

[13]Gligoric G,Maluckov A,Hadzievski L,et al.Bright solitons in the one-dimensional discrete Gross-Pitaevskii equation with dipole-dipole interactions[J].Phys Rev A,2008,78(6):063615-063625.

[14]Balakrishnan R,Satija I I,Clark C W.Particle-Hole asymmetry and brightening of solitons in a strongly repulsive Bose-Einstein condensate[J].Phys Rev Lett,2009,103(23):230403-230407.

[15]Balakrishnan R,Sridhar R,Vasudevan R.Hydrodynamics of superfluid He4in a pseudospin model[J].Phys Rev B,1989,39(1):174-182.

[16]Lakshmannan M,Kaliappan P.Lie transformations,nonlinear evolution equations,and Painlevé forms[J].J Math Phys,1983,24(4):795-807.

(責(zé)任編輯 杜利民)

Analyticalsolutionsofthe(2+1)-dimensionalstronglyrepulsiveBose-Einsteincondensate

JIANG Yunqing， LIN Ji

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

Using the classical Lie-group method, it was studied a (2+1)-dimensional strongly repulsive Bose-Einstein condensate system known as the hard-core bosons and some analytical solutions were obtained including dark soliton, bright soliton and periodic solutions for the matter wave of the strongly repulsive Bose-Einstein condensate in special cases. It was also elucidated how the factors including the nearest-neighbor hopping parameter and the nearest-neighbor interaction of the system to determine the solution characteristics including the velocities and the amplitudes of the matter waves.

classical Lie-group method; hard-core bosons; Bose-Einstein condensates; analytical solutions

O41

A

1001-5051(2013)02-0182-06

2012-03-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11175158)

姜云青(1984-)，女，江蘇淮安人，碩士研究生.研究方向：非線性物理.

林 機(jī).E-mail: linji@zjnu.cn.