灰色預(yù)測(cè)GM(1，1)模型的Matlab實(shí)現(xiàn)

朱登遠(yuǎn)，常曉鳳

(1.長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安 710064;2.長(zhǎng)安大學(xué)信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064)

灰色系統(tǒng)理論是20世紀(jì)80年代由我國(guó)鄧聚龍教授提出的一種數(shù)學(xué)方法，可用來(lái)解決小樣本的信息不完備系統(tǒng)的復(fù)雜問(wèn)題，在巖土工程中得到了廣泛關(guān)注［1－2］。如果有一個(gè)程序能夠使工程人員只需輸入數(shù)據(jù)，而不需編寫計(jì)算公式，就可以得到分析預(yù)測(cè)結(jié)果，將會(huì)使灰色系統(tǒng)理論更好地應(yīng)用在巖土工程中，因此有必要對(duì)其進(jìn)行編程和算法實(shí)現(xiàn)，使其程序化、智能化。

在Matlab語(yǔ)言系統(tǒng)中，幾乎所有的操作都是以矩陣操作為基礎(chǔ)，而在灰色模型預(yù)測(cè)過(guò)程中，需要進(jìn)行大量的矩陣運(yùn)算，Matlab在這方面顯示了獨(dú)到之處。將Matlab和灰色模型結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)預(yù)測(cè)，提高計(jì)算的效率［2］。國(guó)內(nèi)外學(xué)者結(jié)合相關(guān)領(lǐng)域做了一些研究并取得了很大進(jìn)展。張艷萍［3］研究了基于Matlab的灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)，并結(jié)合廣東省批發(fā)零售業(yè)預(yù)測(cè)進(jìn)行了GM(1，1)模型的Matlab實(shí)現(xiàn);曹玉珍［4］進(jìn)行了基于Matlab的GM(1，1)模型在廣州市降塵預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究;彭利平［5］進(jìn)行了基于Matlab的GM(1，1)模型在機(jī)械工業(yè)中的應(yīng)用研究;李朝陽(yáng)［6］進(jìn)行了基于Matlab的GM(1，1)模型的大氣污染物濃度預(yù)測(cè);梁智勇［7］用Matlab實(shí)現(xiàn)了GM(1，1)模型的供電量預(yù)測(cè);陳剛［2］研究了GM(1，1)模型在建筑物沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用及Matlab實(shí)現(xiàn);唐麗芳［8］和周亞非［9］分別結(jié)合某高校教師人數(shù)預(yù)測(cè)和住宿餐飲業(yè)收入增加值預(yù)測(cè)研究了GM(1，1)模型的Matlab實(shí)現(xiàn)及其應(yīng)用。雖然這些學(xué)者都對(duì)GM(1，1)模型進(jìn)行了研究，并在此基礎(chǔ)上給出了對(duì)應(yīng)的Matlab算法，但由于各種原因，算法表達(dá)各不相同、不夠全面且不規(guī)范，其正確性沒(méi)有得到很好驗(yàn)證，有的算法用Matlab運(yùn)行出現(xiàn)錯(cuò)誤，無(wú)法使用。筆者在此基礎(chǔ)上研究分析，綜合其優(yōu)點(diǎn)、改正不必要的細(xì)節(jié)和錯(cuò)誤，重新整理編寫GM(1，1)模型Matlab算法，以增強(qiáng)Matlab在GM(1，1)模型灰色預(yù)測(cè)中的實(shí)用性和通用性，方便工程人員使用。

1 GM(1，1)模型原理

灰色預(yù)測(cè)GM(l，l)模型是一個(gè)擬微分方程的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)［10］，其建模的實(shí)質(zhì)是對(duì)原始數(shù)據(jù)先進(jìn)行一次累加生成，使生成的數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)一定規(guī)律，而后通過(guò)建立一階微分方程模型，求得擬合曲線，用以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。具體過(guò)程如下：

(1)給定原始序列

(2)1－AGO生成序列

(3)緊鄰均值生成序列

(4)建立灰色微分方程

(5)對(duì)應(yīng)的白化方程為

(6)解的離散化形式為

(7)I－AGO還原序列

2 模型精度檢驗(yàn)

(1)殘差檢驗(yàn)。

絕對(duì)殘差序列

相對(duì)殘差序列

平均誤差

(2)后驗(yàn)差檢驗(yàn)。

原始數(shù)據(jù)的平均值、均方差計(jì)算

絕對(duì)殘差的平均值、均方差計(jì)算

后驗(yàn)差比值計(jì)算

小誤差概率計(jì)算

(3)關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)。

表1 模型精度檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)［11］

3 Matlab算法實(shí)現(xiàn)

4 應(yīng)用實(shí)例分析

為了檢驗(yàn)GM(1，1)模型的Matlab算法正確性與通用性，選用以下兩個(gè)實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。

實(shí)例1：已知有11個(gè)月的某建筑物沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)，現(xiàn)建立GM(1，1)模型，進(jìn)行模型精度檢驗(yàn)，并對(duì)12 月份的沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)如表 2 所示。顯然，x0=［4.8，5.2，5.4，5.1，5.9，7.6，7.9，8.0，8.6，8.5，9.1］，x=［1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12］。

表2 某建筑物沉降量觀測(cè)數(shù)據(jù)

Matlab 運(yùn)行結(jié)果：xx0=［4.800 0，5.176 7，5.536 8，5.921 9，6.333 9，6.774 5，7.245 7，7.749 8，8.288 9，8.865 5，9.482 2，10.141 8］，e0=［0.000 0，0.023 3，－ 0.136 8，－ 0.821 9，－ 0.433 9，0.825 5，0.654 3，0.250 2，0.311 1，－ 0.365 5，－ 0.382 2］，averq=0.055 3，C=0.391 2，p=1，r=0.639 2，相對(duì)誤差檢驗(yàn)為三級(jí)，后驗(yàn)差檢驗(yàn)為二級(jí)，關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)為四級(jí)。沉降量真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的比較及預(yù)測(cè)效果如圖1所示。

實(shí)例2：已知有8個(gè)月的某礦瓦斯涌出量記錄數(shù)據(jù)，現(xiàn)建立GM(1，1)模型，進(jìn)行模型精度檢驗(yàn)，并對(duì)9、10和11月份的瓦斯涌出量進(jìn)行預(yù)測(cè)，相關(guān)記錄數(shù)據(jù)如表 3所示。顯然，x0=［65.08，77.97，81.89，93.16，92.31，116.16，147.25，143.26］，x=［1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11］。

Matlab 運(yùn)行結(jié)果：xx0=［65.080 0，72.875 4，82.085 3，92.459 2，104.144 1，117.305 6，132.130 6，148.829 1，167.637 9，188.823 8，212.687 1］，q= ［0，0.065 3，－ 0.002 4，0.007 5， － 0.128 2，－0.009 9，0.102 7，－0.038 9］，averq=0.044 4，C=0.305 2，p=1，r=0.885 0，相對(duì)誤差檢驗(yàn)為二級(jí)，后驗(yàn)差檢驗(yàn)為一級(jí)，關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)為二級(jí)。瓦斯涌出量記錄值與預(yù)測(cè)值的比較及預(yù)測(cè)效果如圖2所示。

表3 某礦瓦斯涌出量記錄數(shù)據(jù)

上面2個(gè)實(shí)例分別與文獻(xiàn)［2］和［12］中的計(jì)算結(jié)果相同，充分證明了Matlab算法的正確性與通用性，減少了工程人員的編程和計(jì)算繁瑣，能夠較為快速、精確地進(jìn)行計(jì)算，以及對(duì)所得數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性分析和預(yù)測(cè)。

5 結(jié)論

灰色模型的公式化特點(diǎn)和Matlab獨(dú)特的計(jì)算優(yōu)點(diǎn)，使灰色預(yù)測(cè)建模和Matlab算法得到了很好結(jié)合。本文基于灰色系統(tǒng)理論基本原理，用Matlab建立了GM(1，1)模型算法，實(shí)現(xiàn)了Matlab在灰色預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。GM(1，1)模型的Matlab算法為建立其他相應(yīng)的灰色模型提供了參考和依據(jù)，若將所有灰色模型編制成一個(gè)通用Matlab軟件包，則可實(shí)現(xiàn)灰色理論的程序化、智能化。工程人員只需輸入數(shù)據(jù)，而不需編寫計(jì)算公式，就可以得到分析預(yù)測(cè)結(jié)果，減少了工程人員的工作量，在工程上具有一定的實(shí)用價(jià)值。GM(1，1)模型的Matlab算法具有一定的通用性，但精密性和細(xì)微之處有待進(jìn)一步的完善和驗(yàn)證。

［1］李恒凱，劉傳立.基于灰色理論的變形智能預(yù)測(cè)模型庫(kù)研究［J］.巖土力學(xué)，2011，32(10)：3119－3124.

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