關(guān)于柯西-黎曼方程的幾點(diǎn)注記*

徐助躍

(湘西自治州民族廣播電視大學(xué))

0 引言

柯西-黎曼方程的最初形式是達(dá)朗貝爾-歐拉方程，是十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在復(fù)變函數(shù)積分學(xué)研究和瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在流體力學(xué)研究中得到的兩個(gè)方程，到了十九世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西和德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼對(duì)這兩個(gè)方程作了更深入、更詳細(xì)的研究，并一直沿用至今，所以后人又把這兩個(gè)方程叫做“柯西-黎曼”方程.

柯西-黎曼方程在復(fù)變函數(shù)論、物理學(xué)、數(shù)值計(jì)算等領(lǐng)域中具有十分重要的地位和應(yīng)用價(jià)值，國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于其理論和應(yīng)用的研究已取得很多成效.文獻(xiàn)［1-3］討論了柯西-黎曼方程在解析函數(shù)可微性與解析性、等價(jià)定理等方面的應(yīng)用，文獻(xiàn)［4］研究了柯西-黎曼方程在Stein流形上的應(yīng)用，文獻(xiàn)［5-7］討論了柯西-黎曼方程在復(fù)Banach空間、積分學(xué)和偏微分方程等領(lǐng)域中有關(guān)數(shù)值計(jì)算的應(yīng)用.該文將給出關(guān)于柯西-黎曼方程的兩個(gè)性質(zhì)定理，并逐一進(jìn)行證明，然后舉例說(shuō)明柯西-黎曼方程在求解解析函數(shù)中的應(yīng)用.

1 柯西-黎曼方程

在國(guó)內(nèi)復(fù)變函數(shù)教材文獻(xiàn)［8-9］中，大多是這樣描述柯西-黎曼方程的:

設(shè) f(z)=u(x，y)+iv(x，y)，則把

叫做柯西 -黎曼方程，簡(jiǎn)稱C-R方程.

關(guān)于柯西-黎曼方程的形式，目前國(guó)內(nèi)學(xué)者已經(jīng)研究出了它的四種形式，分別是實(shí)形式、復(fù)形式、極坐標(biāo)形式和梯度形式，文獻(xiàn)［1］有詳細(xì)的介紹，這里不一一列舉.

2 柯西 -黎曼方程的性質(zhì)定理

定理1 設(shè)f(z)=u(x，y)+iv(x，y)，如果f'(z)=0(z∈D)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).

因此 u(x，y)= 常數(shù)，v(x，y)= 常數(shù)，故f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).

定理2 設(shè)f(z)=u(x，y)+iv(x，y)，如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且f'(z)≠0(z∈D)，則有:u(x，y)=c1與v(x，y)=c2(c1，c2是常數(shù))是區(qū)域D內(nèi)兩組正交的曲線族.

下面分兩種情形討論:

同理，可得曲線v(x，y)=c2在點(diǎn)(x，y)處的切線斜率為:

由柯西 -黎曼方程，在點(diǎn)(x，y)處有:

所以曲線 u(x，y)=c1與 v(x，y)=c2在點(diǎn)(x，y)處正交.

此時(shí)，過(guò)交點(diǎn)的兩條切線，必然一條為水平切線，另一條為垂直切線，它們顯然在交點(diǎn)處.

綜上，u(x，y)=c1與 v(x，y)=c2是區(qū)域 D內(nèi)兩組正交的曲線族.

3 全微分法求解析函數(shù)

關(guān)于求解解析函數(shù)的表達(dá)式，大多數(shù)教材介紹的方法是:對(duì)于解析函數(shù)

f(z)=u(x，y)+iv(x，y)，若已知 u(x，y)，則可利用曲線積分法求出v(x，y)，反之亦然.國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)求解解析函數(shù)表達(dá)式的研究大多集中在對(duì)曲線積分法的進(jìn)一步改進(jìn)，從而得到一種相對(duì)簡(jiǎn)單的方法，并給出了一些計(jì)算公式，比如文獻(xiàn)［10-11］等.這里，利用柯西 -黎曼條件，給出一種全微分法去求解解析函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)與積分法的比較，可以發(fā)現(xiàn)該方法更為簡(jiǎn)單.

3.1 全微分方法介紹

已知某解析函數(shù) f(z)=u(x，y)+iv(x，y)實(shí)部 u(x，y)，求虛部 v(x，y).方法如下:

對(duì) v(x，y)求微分，得

由柯西-黎曼方程有

顯然，該式是一個(gè)全微分，理由:因?yàn)閡(x，y)與v(x，y)都是二元函數(shù)，易得

3.2 全微分法應(yīng)用舉例

為了體現(xiàn)全微分法的簡(jiǎn)單性，下面分別用曲線積分法、不定積分法、全微分法對(duì)同一個(gè)題進(jìn)行解析函數(shù)表達(dá)式的求解.

例 已知解析函數(shù)f(z)=u(x，y)+iv(x，y)的實(shí)部 u(x，y)=x2-y2，求 f(z).

解法1 曲線積分法

圖1

從而有:

故f(z)=x2-y2+i(2xy+C)=z2+iC.

解法3 全微分法

很明顯，(2)式是v(x，y)的微分式，于是

此時(shí)顯然有:v=2xy+C，其中C為任意常數(shù).故f(z)=x2-y2+i(2xy+C)=z2+iC.

［1］ 韋煜.不同形式柯西-黎曼方程的比較與分析［J］.工科數(shù)學(xué)，2002，18(4):83-87.

［2］ 徐助躍，楊先林，蔣利群.關(guān)于解析函數(shù)等價(jià)定理的幾點(diǎn)注記［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，46(4):401-405.

［3］ 李會(huì)序，王雪梅.一種新的解析函數(shù)判定定理及其在多復(fù)變中的推廣［J］.河南工程學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，23(2):73-75.

［4］ 邱春暉.Stein流形上Cauehy-Riemann方程的具有權(quán)的基本解［J］.廈門大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1992，31(2):111-115.

［5］ 龔異，劉太順.復(fù)Banach空間中C-R方程的全純解［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，45(1):1-6.

［6］ 馬忠泰，鐘同德.Cauchy-Riemann方程解的積分表示與延拓定理［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998，15(1):30-34.

［7］ 田益民.偏微分方程的一階系統(tǒng)數(shù)值方法［J］.北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，35(6):144-146.

［8］ 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論:第三版［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［9］ 肖蔭庵.復(fù)變函數(shù)［M］.北京:中央廣播電視大學(xué)出版社，2002.

［10］曾招云，胡琳.由調(diào)和函數(shù)求對(duì)應(yīng)解析函數(shù)的幾種方法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2012，15(4):67-69.

［11］李志林，馮錄祥.關(guān)于解析函數(shù)求法的一個(gè)注記［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2009，9(13):3729-3730.