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    賦p-Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間的復凸性*

    2013-10-24 10:17:28崔云安牛金玲陳麗麗
    關鍵詞:云安凸性奇數(shù)

    崔云安,牛金玲,陳麗麗

    (哈爾濱理工大學)

    0 引言

    1967 年,Thorp E 與 Whitley R[1]首次引入復端點的概念,1987年,吳從炘、孫慧穎[2-4]討論了矢值Musielak-Orlicz函數(shù)空間的復端點的刻畫問題,并給出該空間中復嚴格凸性和復一致凸性的充要判據(jù).2008年,崔云安等[5]在Orlicz空間中引入了p-Amemiya范數(shù)的定義,證明了它與經(jīng)典的Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)是等價的,并給出賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間中端點的刻畫.2009年,崔云安,Hudzik H 等[6]繼續(xù)研究了賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz空間的強端點的充要判據(jù)問題.

    1 預備知識

    (X,‖·‖X)表示定義在復數(shù)域C上的復Banach空間,B(X)和S(X)分別表示該空間的閉單位球和單位球面.

    定義1.1[7](T,∑,μ)表示非原子完備的測度空間,μ(T)<∞.Φ是Musielak-Orlicz函數(shù)是指 Φ:T×[0,+∞)→[0,+∞]滿足:

    (1)對μ-a.e.t∈T,Φ(t,u)是μ-可測函數(shù),對任意的u∈[0,+∞);

    (3)Φ(t,u)關于 u是[0,∞)上的凸函數(shù).

    令 e(t)=sup{u ≥0:Φ(t,u)=0},

    E(t)=sup{u ≥0;Φ(t,u)< ∞}則e(t)和E(t)都是μ-可測函數(shù).

    定義1.2[7](X,‖·‖)表示復Banach空間,記XT表示所有從T到X的μ-可測函數(shù)的全體,對任意的x∈XT,定義如下模函數(shù):

    由它生成相應的Musielak-Orlicz函數(shù)空間

    對Musielak-Orlicz函數(shù)空間LΦ賦予如下范數(shù)p-Amemiya范數(shù)

    即為一個 Banach 空間,記為 LΦ,p=(LΦ,‖·‖Φ,p).

    定義1.3x∈S(X)為B(X)的復端點是指對?y∈X{0},有

    定義1.4[8]設(X,‖·‖X)是復Banach空間,x∈S(X)是B(X)的復強端點是指對任意的 ε > 0,Δc(x,ε)> 0,其中

    引理1.5[7]對任意的 ε > 0,存在 δ∈使得若 u,v∈ C,且

    2 主要結(jié)果

    定理2.1 設1≤ p<∞,p是奇數(shù),x∈S(LΦ,p),則如下結(jié)論等價:

    (i)x是 B(LΦ,p)的復強端點;

    (ii)x是 B(LΦ,p)的復端點;

    (iii)對?k∈Kp(x),有μ{t∈T:k|x(t)|<e(t)}=0.

    證明 (i)?(ii)是顯然的.

    (ii)?(iii)設 x∈S(LΦ,p)是 B(LΦ,P)的復端點,且存在?k0∈Kp(x)使得μ{t∈T:k0|x(t)|<e(t)}>0.易知可找到公共的d>0及T0∈∑滿足μ(T0)>0且使得

    這與假設的x是B(LΦ,p)的復端點矛盾.

    (iii)?(i)假設 x0不是B(LΦ,p)的復強端點,由定義1.4知存在ε0>0使得

    即存在 λn∈ C,| λn|→ 1,yn∈ LΦ,p,滿足‖yn‖Φ,p≥ ε0使得

    ‖λnx0± yn‖Φ,p≤1,‖λnx0± iyn‖Φ,p≤1由此可知

    對上述的ε0>0,由引理1.5知,存在,使得若 u,v∈ C,

    對每個n∈N,令

    由于|λn|→1(n→∞),可知對充分大的n有下式成立:

    這說明An≠?.從而,對任意t∈An,有

    為完成證明,考慮如下兩種情形:

    (Ⅰ)kn→∞(n→∞),這里

    則對每個n∈N,

    注意到

    由于kn→∞(n→∞),可知對充分大的n,有

    考慮到p是奇數(shù),可推出如下矛盾:

    (Ⅱ)kn→k0(n→∞),這里

    則對每個n∈N,有

    令n→∞,可知

    利用(Ⅰ),知

    因為kn→k0(n→∞),故對充分大的n有如下不等式成立:

    可知

    又因p是奇數(shù),得到如下矛盾:

    定理證畢.

    3 結(jié)束語

    通過該文的研究,得到了賦p-Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間中1≤p<∞且p是奇數(shù)時,該空間中單位球的復端點和復強端點的判別準則.但是,當p為偶數(shù)的情況下,該空間中單位球的復端點和復強端點的判別準則尚未得出,這部分結(jié)果正在研究當中.

    [1] Thorp E,Whitley R.The Strong Maximum Modulus Theorem for Analytic Functions into a Banach Space[J].Proc Amer Math Soc,1967,18(4):640-646.

    [2] 吳從炘,孫慧穎.關于Musielak-Orlicz空間的復端點與復嚴格凸[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,1987,7:7-13.

    [3] 吳從炘,孫慧穎.Musielak-Orlicz空間的復一致凸性[J].東北數(shù)學,1988,4:389–396.

    [4] Wu C,Sun H.On the Complex Convexity of Musielak-Orlicz Spaces[J].Comment.Math,1989,28:397-408.

    [5] Cui Y,Duan L,Hudzik H,et al.Basic Theory of p-Amemiya Norm in Orlicz Spaces(1≤p≤∞):Extreme Points and Rotundity in Orlicz Spaces Equipped with These Norms[J].Nonlinear Anal,2008,69(5-6):1796-1816.

    [6] Cui Y,Hudzik H,Li J,et al.Strongly Extreme Points in Orlicz Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm[J].Nonlinear Anal,2009,71(12):6343-6364.

    [7] Chen S T.Geometry of Orlicz spaces,Dissertations Math.Warszawa,1996.

    [8] Chen Lili,Cui Yunan,Hudzik Henrik.Criteria for Complex Strongly Extreme Points of Musielak-Orlicz Function Spaces[J].Nonlinear Anal,2009,70(6):2270-2276.

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