高頻矩形波激勵(lì)下磁芯損耗的研究

周 巖

（南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210046）

0 引言

隨著對(duì)開關(guān)變換器功率密度的要求不斷提高，通常需要提升開關(guān)頻率來降低開關(guān)變換器儲(chǔ)能器件的體積［1-3］。鐵氧體等磁性元件在開關(guān)變換器中起到儲(chǔ)能、電能隔離等作用，工作頻率的提高也就意味著磁性變壓器損耗變得突出，磁性元件溫升變高將顯著影響開關(guān)變換器的性能與可靠性［1-4］。工作在不同的輸入電壓、輸出電壓和負(fù)載工作條件下，閉環(huán)開關(guān)變換器的工作占空比是不一樣的，不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也有自身的磁性變壓器的激勵(lì)特點(diǎn)。如何建立一個(gè)物理意義清晰的近似損耗模型，在工程中快速估算磁性變壓器在不同激磁脈沖電壓條件的損耗變化趨勢(shì)，對(duì)于選擇合適的變換器拓?fù)浼軜?gòu)、優(yōu)化磁性變壓器的工作狀態(tài)都具有重要意義。

1 鐵氧體損耗模型

估算在高頻條件、不同脈沖電壓激磁條件下磁性元件損耗的研究歷來得到學(xué)術(shù)界和工程界的重視，一直以來不斷有大量的文獻(xiàn)討論，是理論界研究的熱點(diǎn)問題之一。目前主要可分為三大類分析方法：數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)類方法、傅里葉分解計(jì)算方法和磁性損耗分離法。

數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)類方法最著名的經(jīng)驗(yàn)公式是Steinmetz方程及其改進(jìn)方法［5-7］，可表示為：

其中，Pcv是鐵氧體磁芯損耗密度，C、α、β都是待定系數(shù)，根據(jù)磁芯的實(shí)際體積就可算出在一定頻率和磁通密度變化量下的磁芯損耗。

Steinmetz方程忽略了磁芯形狀以及尺寸的影響，認(rèn)為磁損的功率密度僅取決于磁芯材料、激勵(lì)信號(hào)頻率以及磁感應(yīng)強(qiáng)度。廠家通過大量的測(cè)試給出每種材料在一定工作區(qū)間條件下的系數(shù)。實(shí)驗(yàn)證明這是一個(gè)很好的近似，能極大地簡(jiǎn)化磁損的計(jì)算模型。通常磁芯供應(yīng)商給出的都是磁損曲線對(duì)應(yīng)于正弦波激勵(lì)的情況下，但是由于開關(guān)變換器的工作特性，大多磁芯材料承受的激勵(lì)波形是矩形波或接近于矩形波的諧振。因此有許多文獻(xiàn)工作是采用在此方程基礎(chǔ)上的改進(jìn)方程，思路大多是通過引入各個(gè)變量在損耗分析中的權(quán)重，通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的方法給出近似的權(quán)重系數(shù)。

另外一種思路就是將任意的激勵(lì)波形通過傅里葉級(jí)數(shù)分解為各諧波分量，分別計(jì)算各諧波分量下的磁芯損耗，然后求和得到磁芯總損耗［8］。由于磁芯材料與頻率之間的關(guān)系并非理想線性關(guān)系，在高頻率條件下磁芯材料早已失去磁性，顯然這一方法存在較大誤差。

磁芯損耗分離法通過分解磁芯總損耗中產(chǎn)生的不同機(jī)理，給出在不同條件下磁芯損耗的估算模型。磁芯損耗分離法的優(yōu)勢(shì)在于物理概念清晰，有利于工程師從本質(zhì)上掌握磁損產(chǎn)生的機(jī)理，可合理設(shè)計(jì)磁芯的工作區(qū)間。文獻(xiàn)［9-10］通過損耗分離的方法得出了方波激勵(lì)條件下的損耗計(jì)算方法，但文中并未詳細(xì)討論脈沖的占空比改變時(shí)的磁芯損耗。

學(xué)術(shù)界已有很多的工作圍繞著高頻變換器不同占空比激勵(lì)條件下的損耗展開研究，但是建立的模型普遍存在待定系數(shù)多、應(yīng)用復(fù)雜、理解困難等問題，很難在工程設(shè)計(jì)中應(yīng)用。本文首先對(duì)磁滯損耗和渦流損耗產(chǎn)生的不同物理機(jī)理進(jìn)行詳細(xì)分析，利用渦流損耗的大小與激勵(lì)電壓變化率的近似線性等效關(guān)系，提出了一種在不同占空比脈沖電壓激勵(lì)條件下磁芯渦流損耗變化趨勢(shì)的計(jì)算方法。該方法可方便工程人員快速選擇開關(guān)變換器拓?fù)?，并為合理選擇磁性變壓器的設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)思路。

2 雙極性矩形波激勵(lì)下的鐵損模型

磁性變壓器的磁損主要分為三部分：磁滯損耗、渦流損耗和殘留損耗。在特別高頻下表現(xiàn)顯著的殘留損耗是由磁化延遲及磁矩共振等造成的，因此在實(shí)際開關(guān)變換器磁芯元件設(shè)計(jì)中，主要考慮的是磁滯損耗與渦流損耗。

2.1 磁滯損耗模型

磁滯損耗是磁性元件磁化所消耗的能量，學(xué)術(shù)界對(duì)磁滯損耗建立了多種模型。建立在高頻下的磁滯回線的數(shù)學(xué)表達(dá)式需要作許多近似和假設(shè)，而且要確定模型的參數(shù)要做大量的實(shí)驗(yàn)，計(jì)算過程復(fù)雜，需要確定的參數(shù)較多，一般很難用于工程計(jì)算。文獻(xiàn)［9-11］認(rèn)為激勵(lì)頻率、激勵(lì)波形對(duì)磁滯曲線的影響可以忽略，只要磁通密度B的變化幅值相同，其磁滯損耗就相同，其大小為由激勵(lì)波形形成的B-H曲線面積與頻率的乘積。

在弱磁場(chǎng)激勵(lì)下，圖1（a）所示的拋物線磁滯損耗曲線與磁感應(yīng)強(qiáng)度幅值的三次方、頻率f成正比［9-10］，由此得到磁滯損耗密度的關(guān)系式為：

在較強(qiáng)磁場(chǎng)激勵(lì)下，圖1（b）所示的雙線磁滯損耗曲線與磁感應(yīng)強(qiáng)度幅值的二次方、頻率成正比，由此得到磁滯損耗密度的關(guān)系式為：

因此，隨著磁場(chǎng)激勵(lì)的增強(qiáng)，磁滯損耗與磁通密度變化的指數(shù)關(guān)系從3變?yōu)?，與實(shí)際試驗(yàn)觀測(cè)吻合。

圖1 簡(jiǎn)化的B-H曲線Fig.1 Simplified B-H curve

圖2示出了開關(guān)變換器中磁性變壓器兩端承受的雙極性激勵(lì)電壓波形，其關(guān)系為：

其中，D為占空比，T為開關(guān)周期。

圖2 高頻變壓器承受的激勵(lì)電壓Fig.2 Excitation voltage for high-frequency transformer

由法拉第定理易知：

其中，UL為加在磁性變壓器上的激勵(lì)電壓，N為線圈圈數(shù)，Ae為磁性變壓器的截面積。

為了防止磁芯飽和，在穩(wěn)態(tài)工作時(shí)其承受的正負(fù)向伏秒面積應(yīng)該相等。結(jié)合式（4）、（5）可知，對(duì)于選定的系統(tǒng)，在每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)磁性變壓器磁通密度的變化幅值量為定值，即磁滯損耗的數(shù)值是一定的，不隨著磁芯所承受的占空比激勵(lì)電壓的變化而變化，如圖3所示。故可以近似認(rèn)為磁芯材料廠家給出的正弦激勵(lì)條件下的損耗曲線中就包含了相同磁通密度變化量時(shí)的磁滯損耗常量信息［9-11］。

圖3 高頻變壓器的磁通密度變化曲線Fig.3 Flux density variation curve of high-frequency transformer

2.2 方波渦流損耗模型

渦流損耗主要是由交變磁場(chǎng)在磁芯中產(chǎn)生環(huán)流引起的歐姆損耗，與磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率和磁芯材料的電阻率有關(guān)，不同波形激勵(lì)下磁芯損耗的差異主要來自渦流損耗。

渦流損耗密度大小的一般表達(dá)式可表示為［9］：

式（6）說明渦流損耗大小與其承受的激勵(lì)電壓或磁通密度的變化率平方的平均值成正比。

磁芯廠家給出的損耗曲線一般都是基于正弦激勵(lì)下，因此易知：

對(duì)于高頻激勵(lì)方波，其電壓波形可用分段線性函數(shù)表示為：

結(jié)合式（7）和（8）得：

其中，Bo=UoT/（4NA）。

由渦流損耗的一般表達(dá)式（6）可知，在方波激勵(lì)條件下其渦流損耗密度為：

因此渦流損耗的模型可以用1個(gè)電感并聯(lián)1個(gè)等效電阻表示，如圖4所示。由式（10）得：

其中，Re=8π籽N2A為渦流損耗等效電阻，L為變壓器激磁電感。通過合理的簡(jiǎn)化，使磁芯的等效阻抗Re在設(shè)計(jì)好的系統(tǒng)中轉(zhuǎn)化為與頻率、線圈匝數(shù)、磁芯截面積相關(guān)的常數(shù)，磁芯損耗成為與激勵(lì)電壓信號(hào)的幅值相關(guān)的函數(shù)。

圖4 高頻變壓器渦流損耗等效模型Fig.4 Equivalent model of eddy current loss for high-frequency transformer

由式（7）和（10）可知，在相同頻率和磁通密度變化量條件下，正弦波和方波激勵(lì)渦流損耗密度的比值為［9，14］：

2.3 占空比矩形波激勵(lì)渦流損耗模型

由于在不同工作條件下開關(guān)變換器的占空比是變化的，因此磁性變壓器通常是承受伏秒平衡、磁通密度變化量相同的激磁電壓［12-13］。因此，開關(guān)變換器中磁性變壓器磁通密度變化量更一般的表達(dá)式為：

由式（13）可知，在每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)磁通密度的變化率大小與所承受的電壓有關(guān)，其變化量相等且方向變化2次，如圖2和圖3所示。由于在不同占空比激勵(lì)條件下磁芯磁通密度的變化量是相同的，由式（4）、（8）和（13）易得：

當(dāng)占空比變化時(shí)，磁芯材料所承受的渦流損耗功率密度可表示為：

其中，Pe（D）為在占空比為D時(shí)激磁階段渦流損耗功率密度，Pe（1-D）為在1-D去磁階段渦流損耗功率密度。

式（15）具有重要的意義，將磁芯材料的渦流損耗特性與開關(guān)變換器實(shí)際工作狀況聯(lián)系起來，使磁性變壓器在不同占空比激勵(lì)下的渦流損耗轉(zhuǎn)化為分段線性函數(shù)表達(dá)式之和。由于占空比的不同，在每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)激磁和去磁階段的渦流損耗并不相同，如圖5所示。由式（14）、（15）易得其關(guān)系式可表示為：

式（16）的結(jié)論與文獻(xiàn)［13］采用的動(dòng)態(tài)磁滯線模型并不矛盾，因?yàn)樵诒疚闹写磐芏茸兓鼠w現(xiàn)在激勵(lì)電壓和占空比的關(guān)系上，占空比越小，激勵(lì)電壓就越高，而渦流損耗與激勵(lì)電壓是二次方的關(guān)系，因此占空比越小時(shí)渦流損耗數(shù)值越大。

圖5 激磁和去磁階段渦流損耗比值曲線Fig.5 Curve of eddy current loss ratio of magnetizing period to demagnetizing period

由式（12）和（15）可知，任意占空比的矩形波與方波激勵(lì)條件下產(chǎn)生的渦流功耗密度的比值可表示為：

結(jié)合式（12）、（17）、（18），就可以求出在不同占空比條件下矩形波激勵(lì)渦流損耗與方波激勵(lì)和正弦波激勵(lì)的關(guān)系式：

將不同的占空比代入式（19）、（20），就能得到在不同占空比激勵(lì)下渦流損耗與方波和正弦波激勵(lì)下的對(duì)比關(guān)系，如表1所示。

表1 不同激勵(lì)下的渦流損耗比值Tab.1 Eddy current loss ratio for different excitations

從表1可以得出以下結(jié)論：

a.當(dāng)占空比為0.5時(shí)，渦流損耗最??；

b.隨著占空比的上升或下降，渦流損耗值都會(huì)增大；

c.渦流損耗的比值關(guān)于占空比D=0.5軸對(duì)稱，如圖6所示。

圖6 矩形波與正弦波激勵(lì)的渦流損耗比值曲線Fig.6 Curve of eddy current loss ratio of Pe（rect） to Pe（sin）

圖6給出了其變化趨勢(shì)圖，可以發(fā)現(xiàn)占空比D=0.283和D=0.717是與正弦激勵(lì)損耗的分界點(diǎn)，它們之間的磁芯損耗關(guān)系可表示為：

式（21）所得結(jié)論與文獻(xiàn)［12］用測(cè)量統(tǒng)計(jì)方法得出的結(jié)論一致，同時(shí)也與文獻(xiàn)［13］采用等效磁損模型得出的磁損變化趨勢(shì)吻合，驗(yàn)證了所提理論正確性。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖7為3F3鐵氧體材料在D=0.75、ΔB=0.336、fs=200 kHz時(shí)測(cè)試的動(dòng)態(tài)磁損回環(huán)曲線［13］。從圖7可以看出在每個(gè)磁化周期，S1對(duì)應(yīng)的D=0.75損耗面積明顯小于S2對(duì)應(yīng)的D=0.25損耗面積。S2對(duì)應(yīng)的去磁階段渦流損耗是S1對(duì)應(yīng)的激磁階段渦流損耗的3倍，本文提出的式（16）很好地解釋了此現(xiàn)象。

圖7 矩形波D=0.75的磁芯損耗回線Fig.7 B-H waveform excited by rectangle waveform with D=0.75

為了測(cè)量不同占空比對(duì)磁損的影響，可采用圖8所示的不對(duì)稱半橋?qū)嶒?yàn)電路驗(yàn)證。將示波器測(cè)得的電壓、電流信號(hào)相乘并累加后求平均值，所得的結(jié)果就是磁芯損耗。由于測(cè)量變壓器的是一次側(cè)電流以及二次側(cè)感應(yīng)電壓，線路上的其他損耗以及變壓器銅損并沒有包含進(jìn)來［12］。

圖8 測(cè)試電路Fig.8 Measurement circuit

本文采用Magnetics 0F-44925-TC磁芯在不同占空比條件下獲得的磁芯損耗實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證所提出的損耗模型的正確性［12］。圖9示出了fs=50 kHz激勵(lì)條件下磁通變化量分別為100mT、150mT、200mT、250 mT時(shí)磁芯在不同占空比矩形波激勵(lì)條件下的功耗曲線，從圖中可以看出在占空比D=0.5時(shí)磁芯損耗最低，此后不管占空比增大或降低，磁芯損耗近似對(duì)稱增加。

圖9 50 kHz矩形激勵(lì)下磁芯損耗實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.9 Experimental data of core loss excited by 50 kHz rectangle waveform

圖10示出了fs=75 kHz激勵(lì)條件下磁通變化量分別為100 mT、150 mT、200 mT時(shí)磁芯在不同占空比矩形波激勵(lì)條件下的功耗曲線。同樣從圖中可以看出在占空比D=0.5時(shí)磁芯損耗最低，此后不管占空比增大或降低，磁芯損耗近似對(duì)稱增加。

圖10 75 kHz矩形激勵(lì)下磁芯損耗實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.10 Experimental data of core loss excited by 75 kHz rectangle waveform

磁滯損耗的大小為基本磁滯回線包圍的面積與頻率的乘積，在相同頻率和磁通密度變化量下磁滯損耗可近似認(rèn)為是常量，而占空比引起的激勵(lì)波形變化對(duì)磁滯回線包圍面積的影響很?。?-11］。因此磁芯整體損耗實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)主要反映了占空比對(duì)渦流損耗的影響。在整體損耗測(cè)試數(shù)據(jù)中分離出磁滯損耗是下一步工作的重點(diǎn)。圖9和圖10實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出理論的正確性，在同樣頻率和磁通密度變化量作用下，渦流損耗的大小在不同占空比作用下增加或降低，整體磁芯損耗以D=0.5為軸心對(duì)稱增加，和理論分析的變化趨勢(shì)是吻合的。

4 結(jié)論

磁性材料規(guī)格書中一般只提供正弦激勵(lì)下的磁芯損耗參數(shù)，如何建立合理的損耗模型，分析在不同占空比脈沖電壓激勵(lì)下磁性變壓器的損耗變化一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)之一。

本文根據(jù)損耗分離的思想，結(jié)合開關(guān)變換器磁性變壓器實(shí)際的工作狀態(tài)，提出了在不同占空比條件下磁損的分析方法。由于占空比的不同，在每個(gè)開關(guān)周期內(nèi)激磁和去磁階段的渦流損耗并不相同。本文指出當(dāng)占空比D=0.5時(shí)，磁芯損耗最?。划?dāng)占空比D＞0.5或D＜0.5時(shí)，磁芯損耗都將增加；當(dāng)占空比D=0.283或D=0.717時(shí)，占空比激勵(lì)下的磁芯損耗與正弦波激勵(lì)下的損耗相等。

本文所提出的損耗分析方法物理概念清晰，易于理解，理清了不同損耗之間的關(guān)系，對(duì)于優(yōu)化磁性變壓器的效率、合理確定開關(guān)變換器的工作區(qū)間具有重要意義。最終結(jié)論沒有復(fù)雜的計(jì)算公式和大量的待定系數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文提出理論方法的準(zhǔn)確性。需要指出的是，本文結(jié)論并未涵蓋存在較大直流偏置時(shí)磁損的計(jì)算（PWM功率變換器中的變壓器中一般無直流偏置），針對(duì)這類場(chǎng)合的研究將會(huì)在后續(xù)論文中加以討論［15-16］。