梯形明渠水躍共軛水深的精確解

王學斌，張毅

（中國水電建設(shè)集團第十五工程局有限公司，陜西西安 710065）

1 梯形斷面的水躍共軛水深的研究現(xiàn)狀

梯形斷面是重要的明渠斷面形式之一。在梯形明渠的消力池水力計算中，需要計算水躍的共軛水深。但由于梯形明渠斷面形式比較復雜，水躍共軛水深的計算公式為高次方程，求解比較困難，所以在以往的計算中，常采用圖解法和試算法[1-2]，圖解法計算精度低、試算法計算工作量大。近年來許多學者采用迭代算法[3-8]，迭代計算的優(yōu)點是比試算法簡單、比圖解法精度高，缺點是計算精度和收斂速度與迭代公式的形式有關(guān)，選取初值比較困難。趙延風[7]比較了各學者迭代公式的精度，認為“馮家濤公式的最大相對誤差躍前為－3.287%，躍后為－3.002%；劉玲公式的躍前為－2.122%，躍后為－2.236%；張小林公式的躍前為－6.014%，躍后為9.460%；孫道宗公式的躍前為－14.359%，躍后為－7.737%；趙延風公式的最大相對誤差躍前為0.963%，躍后為－1.1%。對于初值的選取，馮家濤和張小林采用的初值均為矩形斷面水躍的共軛水深，但張小林在初值的計算公式中引入了斷面特征參數(shù)β，以提高計算精度；李蕊在躍后水深的迭代計算中，初值選取需解一元三次方程，在躍前水深的迭代計算中，初值選取需解一元二次方程。

劉計良[9]根據(jù)水躍函數(shù)曲線的性質(zhì)和幾何意義，假設(shè)躍前與躍后水深呈雙曲線關(guān)系，結(jié)合梯形明渠臨界水深的計算公式，給出了水躍共軛水深的簡單計算方法。金菊良[10]把求解梯形明渠水躍共軛水深的問題等價于兩個非線性優(yōu)化問題，采用加速遺傳算法計算梯形明渠的水躍方程，遺傳算法是一種求解非線性方程的一種優(yōu)化算法，如果迭代次數(shù)足夠且不產(chǎn)生局部收斂，其計算值與精確解非常接近。文獻[11]給出了水躍共軛水深的精確解，但給出的算例中躍前斷面水深與躍后相差不大，躍前斷面的弗勞德數(shù)小于1，眾所周知，躍前斷面弗勞德數(shù)小于1是不能發(fā)生水躍的。

由以上論述可以看出，梯形明渠水躍共軛水深的計算有試算法、圖解法、迭代計算和遺傳算法。這些算法均為近似計算方法，只有文獻[11]給出了梯形明渠水躍共軛水深的精確計算公式，但在其算例中出現(xiàn)了躍前斷面弗勞德數(shù)小于1的情況，原因不詳。因此本研究從梯形明渠的水躍方程以及一元四次方程的解法，給出梯形明渠水躍共軛水深比的精確計算公式。

2 梯形明渠的水躍共軛水深比

梯形渠道的水躍方程根據(jù)其推導方法不同，有不同的形式，可以化為一元五次方程，也可以簡化為一元四次方程。

文獻[1]給出了梯形斷面的水躍方程為

式（1）中，h1和h2分別為躍前和躍后斷面的水深；g為重力加速度；q=Q/b為虛擬的單寬流量；Q為流量；b為梯形渠道的底寬；N=mq2/3/b；m為梯形斷面的邊坡系數(shù)。對上式進一步推導可得

由式（2）可以看出，梯形斷面的水躍方程為五次方程，不易求解。

文獻[12]給出的梯形渠道水躍方程為四次方程，該方程為

式（3）中，β=b/（mh1）；η=h2/h1；σ2=Q2/（gm2h51）。

文獻[13]對公式（3）進行了詳細的推導，證明了公式（3）的正確性。公式（3）為一元四次方程，可以根據(jù)一元四次方程的解法，給出梯形斷面明渠水躍方程的精確解。因為

式中，v1為躍前斷面的平均流速稱為躍前斷面的弗勞德數(shù)。將公式（5）代入公式（3）得

如果知道躍后水深h2，仍可由上式求解h1，方程為

式中，v2為躍后斷面的平均流速

公式（6）和（7）均為一元四次方程，可以根據(jù)一元四次方程求根的方法來求解。

一元四次方程的標準形式為[14]

式中，a1、a2、a3和a4為系數(shù)。

對比公式（6）和公式（8）得

根據(jù)文獻[15]介紹的費拉里一元四次方程的解法，公式（8）可以寫成

引入t得

公式（11）可以寫成

公式（12）的右邊為一元二次方程，為了使公式（12）的右邊變成完全平方式，使其判別式

由上式解出t

令t=y+a2/3，公式（14）化為

公式（15）為一元三次方程，根據(jù)卡丹公式，當Δ=（q0/2）2+（p0/3）3>0時，方程有一個實根和兩個虛根，當Δ=（q0/2）2+（p0/3）3<0時，方程有三個不等的實根，當Δ=（q0/2）2+（p0/3）3=0時，方程有三個實根，其中至少有兩個相等的實根。對于梯形斷面水躍共軛水深比，一般可能會出Δ=（q0/2）2+（p0/3）3>0和Δ=（q0/2）2+（p0/3）3<0兩種情況，由此可以得到

當Δ=（q0/2）2+（p0/3）3>0時

如果已知躍前斷面水深h1，求躍后斷面水深h2，由水躍的性質(zhì)可知，共軛水深比應取大值，所以有

因為躍前和躍后水深為共軛水深，如果已知h2求h1，仍可用公式（23）計算。

3 公式比較

為了比較各學者公式的精度，現(xiàn)用一工程實例進行驗證。已知梯形斷面的底寬b=7 m，邊坡系數(shù)m=1，渠道通過的流量分別為4.10、45.84、129.64、366.68、673.64和1037.14 m3/s。工程常用范圍內(nèi)的N=mq2/3/b=0.1~4.0，用本文公式（23）的精確解與各學者的迭代公式比較如表1所示。由表中可以看出，劉玲公式計算的誤差最小，在所取的誤差精度范圍內(nèi)誤差均為零（劉玲曾將86組數(shù)據(jù)的迭代計算值與精確解比較，相對誤差為0~1.01%）；劉計良的公式誤差最大，范圍在0.677%~17.4%；其余學者的公式誤差不大，其值在0.013%~2.312%。由此可以看出，本文提出梯形斷面水躍共軛水深的精確解為水躍的一般解，具有普適性，而其他計算方法存在不同程度的誤差。

表1 本文精確解與各學者迭代公式計算結(jié)果比較Tab.1 Comparisons between the exact solution of this paper and each scholar iterative formula

4 解題步驟

1）根據(jù)已知的參數(shù)β或β0，由公式（9）確定系數(shù)a1、a2、a3、a4。

2）求一元三次方程的系數(shù)p0和求q0。

3）求判別式Δ=（q0/2）2+（p0/3）3。

4）Δ=（q0/2）2+（p0/3）3>0，由公式（16）求y；Δ=（q0/2）2+（p0/3）3<0，由公式（18）求y。

5）求t=y+a2/3。

7）由公式（23）求共軛水深比。

8）求躍后水深h2=ηh1或躍前水深h1=η0h2

算例1:有一梯形斷面明渠，通過的流量Q＝54.3 m3/s，底寬b＝7 m，邊坡系數(shù)m＝1，渠道中發(fā)生水躍，已知躍前水深h1＝0.8 m，試求躍后水深h2。

解：為了求解方便，現(xiàn)列表計算，見表2。

如果已知躍后水深h2＝3.0038，求躍前水深h1，計算過程如表3所示。

算例2：已知某梯形渠道的β=b/（mh1）=40，F(xiàn)r21=1.523，求梯形渠道水躍的共軛水深比η。

解：列表計算，見表4。

表2 躍后水深h2計算表Tab.2 Calculation table of water depth after the hydraulic jump h2

表3 躍前水深h1計算表Tab.3 Calculation table of water depth after the hydraulic jump h1

表4 梯形渠道水躍的共軛水深比η計算表Tab.4 Calculation table for trapezoid open channel hydraulic jump conjugate depths ratio η

5 結(jié)語

梯形斷面明渠水躍共軛水深計算公式比較復雜，目前尚沒有顯式計算方法，多采用試算法、圖解法或迭代計算，計算過程復雜，初值選用困難，計算精度較低。本文通過解一元四次方程，給出了梯形斷面明渠水躍共軛水深的顯式精確解，比試算法、圖解法和迭代法方便，簡單，使水躍共軛水深的計算具有普適性，可供工程設(shè)計參考。

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