一個新的五維Chen系統(tǒng)的錯位反饋控制

劉芳芳，趙小山

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

1999年Chen等[1]采用線性反饋方法控制Lorenz系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)了著名的Chen系統(tǒng)[2]，它與Lorenz系統(tǒng)類似，但比Lorenz系統(tǒng)具有更復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和動力學(xué)行為[3-4]，這使得Chen系統(tǒng)很難控制。目前對該系統(tǒng)的控制已有不少有效的控制方法，例如：識別控制、擬最優(yōu)控制、模糊控制、數(shù)字控制、滑?？刂?、自適應(yīng)控制等[5]，但大都局限于較低維系統(tǒng)[5-7]。文獻[8]針對Lorenz系統(tǒng)提出了一種新的反饋控制方法，即錯位反饋控制法。本文基于文獻[8]的思想，應(yīng)用部分錯位反饋控制與全錯位反饋控制方法對一個五維Chen系統(tǒng)進行控制，并用Matlab數(shù)值仿真驗證了這2種控制方法的有效性。

1 一個基于Chen吸引子的五維混沌系統(tǒng)

通過用狀態(tài)反饋法，在三維自治Chen系統(tǒng)中增加2個狀態(tài)反饋控制器，這樣就得到了一個五維的混沌Chen系統(tǒng)[9]：

式中：x、y、z均為狀態(tài)變量；a、b、c均為正實數(shù)，分別等于35、12、3；w、v表示增加的狀態(tài)變量；d=0.1和e=4為控制增益，系統(tǒng)非線性項均為二次。通過求解可知，點O（0，0，0，0，0）是系統(tǒng)的一個平衡點，且是一個不穩(wěn)定的鞍點，因為在O點處的線性化系統(tǒng)后所得Jacobi矩陣為：

顯然，矩陣J0的特征值為-35，12，-3，-0.1，-4?？梢钥闯龅诙€特征值為正數(shù)，所以平衡點O是一個不穩(wěn)定的鞍點?？梢赃M一步運用Fortran軟件計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)：λ1=0.30283，λ2=-0.06843，λ3=-0.068970，λ4=-4.035782，λ5=-25.954088，其中有一個正的Lyapunov指數(shù)，故系統(tǒng)是混沌的。圖1為系統(tǒng)（1）的混沌吸引子圖；圖2為系統(tǒng)（1）的時間歷程圖，從圖中也可以看出系統(tǒng)在做混沌運動。

圖1 未受控系統(tǒng)的混沌吸引子圖

圖2 未受控系統(tǒng)的時間歷程圖

2 錯位反饋控制

2.1 錯位反饋控制方法簡介

首先給出錯位反饋控制法的定義如下：

注：在定義1中若所加控制器ui=kixj中i=j，即為一般的反饋控制方法。

2.2 全錯位反饋控制的實現(xiàn)

現(xiàn)在運用上述錯位反饋控制法對系統(tǒng)（1）進行控制?？梢赃x取錯位控制器u1=-k1v，u2=-k2x，u3=-k3y，u4=-k4z，u5=-k5w，則系統(tǒng)（1）的受控形式為

此時受控系統(tǒng)（3）線性化后的Jacobi矩陣為：

而判斷特征值是否有負(fù)的實部，可以用Routh-Hurwitz判據(jù)[10]，即n維非線性系統(tǒng)（i=1，2，…，n）在定點x0的導(dǎo)算子D（fx0）的所有特征值都有負(fù)實部的充分必要條件是所有行列式

根據(jù)上述穩(wěn)定性定理和Routh-Hurwitz判據(jù)，系統(tǒng)在定點O（0，0，0，0，0）趨于穩(wěn)定需要滿足以下條件：

通過解以上5個不等式即可得出受控系統(tǒng)達到穩(wěn)定時增益系數(shù)的取值范圍。

情況1：在k1=k2=k3=k4=0；k5≠0；k1=k2=k3=k5=0；k4≠0；k1=k2=k4=k5=0，k3≠0；k2=k3=k4=k5=0，k1≠0的這幾種情況下，找不到合適的反饋增益系數(shù)滿足Routh-Hurwitz判據(jù)。故受控系統(tǒng)（3）在O（0，0，0，0，0）是不穩(wěn)定的。由Routh-Hurwitz判據(jù)可知，當(dāng)k2≠0，k1=k3=k4=k5=0時，只要取k2＞11.94，受控系統(tǒng)（3）在O點處就是穩(wěn)定的。

情況2：當(dāng)k1=k5=0，而k2k3k4≠0，根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)只需要滿足：k2＞11.94且k3k4＜63.64481104×?xí)r，受控系統(tǒng)在點O處是穩(wěn)定的。

情況3：當(dāng)k1、k2、k3、k4、k5都不為零時，只要滿足條件：k2＞11.94且Δ4＞0，k3k4＞（504-42k2）/（42k2+35k5+k1k2k5）時，受控系統(tǒng)（4）在點O處是穩(wěn)定的。

可見，情況1和2即為運用部分錯位反饋控制器時控制增益系數(shù)的選取范圍；情況3為對系統(tǒng)施加全錯位反饋控制器時使得系統(tǒng)達到穩(wěn)定的增益系數(shù)取值條件。選取其他情形的錯位控制器的情況與上述類似。

3 數(shù)值模擬

為了驗證上述控制方法的有效性，運用Matlab軟件對上一節(jié)的理論分析做數(shù)值模擬。圖3～圖5是在不同控制增益下受控系統(tǒng)的時間歷程圖和平面吸引子相圖。圖3（a）是k2=12.6，其余控制系數(shù)為時受控系統(tǒng)的時間歷程圖，可以看到，在t=30.3 s時系統(tǒng)穩(wěn)定于點O；圖4（a）是選擇3個控制器時（k2=12.6，k3=5，k4=2）受控系統(tǒng)的時間歷程圖，此時系統(tǒng)在時趨于穩(wěn)定而不再做混沌運動；圖5（a）是所加控制器系數(shù)k1=-5，k2=12.6，k3=5，k4=2，k5=0.9時系統(tǒng)的時間歷程圖，從圖中可知t=0.9 s時系統(tǒng)就收斂于到點O，與前2種部分錯位反饋控制情況相比較效果有了明顯的改進。

圖3 k2=12.6時受控系統(tǒng)時間歷程圖和平面相圖

圖4 k2=12.6，k3=5，k4=2時受控系統(tǒng)時間歷程圖和平面相圖

圖5 k1=-5，k2=12.6，k3=5，k4=2，k5=0.9時受控系統(tǒng)時間歷程圖和平面相圖

4 結(jié)束語

本文用錯位線性反饋控制器較好地實現(xiàn)了對Chen系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定控制，通過Matlab數(shù)值模擬可以看出，錯位反饋控制比一般的自適應(yīng)反饋控制[5]的控制效果更加明顯；而且通過增加控制器的個數(shù)可以使五維混沌Chen系統(tǒng)更好更快地趨于穩(wěn)定，即全錯位反饋控制的控制效果比部分錯位反饋控制的效果更明顯。全錯位反饋控制方法簡單，且收斂速度快，因此在實際工程中更易于應(yīng)用。

[1]CHEN G，UETA T.Yet another chaotic attractor[J].Int J of Bifurcation and Chaos，1999（9）：1465-1466.

[2]UETA T，CHEN G.Bifurcation analysis of Chen′s equation[J].Int J of Bifurcation and Chaos，2000（10）：1917-1931.

[3]陳關(guān)榮，呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學(xué)分析、控制與同步[M].北京:科學(xué)出版社，2003.

[4]李瑞紅，徐偉，李爽.一類新混沌系統(tǒng)的線性狀態(tài)反饋控制[J].物理學(xué)報，2006，55（2）：598-604.

[5]彭建奎，俞建寧.Chen系統(tǒng)的混沌控制研究[J].成都大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，27（2）：120-122.

[6]章婷芳，姚洪興.Chen混沌系統(tǒng)的反饋控制方法與分析[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2005（8）：97-102.

[7]李春來，禹思敏，羅曉曙.一個新的混沌系統(tǒng)的構(gòu)建與實現(xiàn)[J].物理學(xué)報，2012，11（61）：201-210.

[8]陶朝海，陸君安.Lorenz混沌系統(tǒng)的錯位自適應(yīng)控制[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2004，26（1）:81-82.

[9]黃露，唐駕時.五維混沌Chen系統(tǒng)的電路實現(xiàn)及其控制方法分析[J].海南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，24（3）：283-287.

[10]劉秉正，彭建華.非線性動力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.