不同坐標系下描述的圓周運動

吳振朋

摘 要：主要研究了直角坐標系、自然坐標系和極坐標系在圓周運動中的應用.另外還給出了在研究質點運動時如何恰當選擇這三種坐標系的方法.

關鍵詞：直角坐標系；自然坐標系；極坐標系；圓周運動

曲線運動是相對于直線運動而言的一種物理運動形式，指物體的運動軌跡是曲線.當物體所受的合力和它運動的方向不在同一直線上，物體的運動就是曲線運動.在曲線運動中，當力矢量與速度矢量間的夾角等于90°時，作用力僅改變物體速度的方向，不改變速度的量值；當夾角小于90°時，作用力不僅改變物體運動速度的方向，并且增大速度的量值；當夾角大于90°時，同樣改變物體運動速度的方向，但是卻減小速度的量值.曲線運動中速度的方向時刻在變，因為它是個矢量，既有大小，又有方向。不論速度的大小是否改變，只要速度的方向發(fā)生改變，就表示速度矢量發(fā)生變化，也就具有了加速度，所以曲線運動是變速運動.

勻速圓周運動是常見的曲線運動.為了描述物體的運動而引

入了參考系.參考系指研究物體運動時所選定的參照物體或彼此不做相對運動的物體系.根據(jù)牛頓力學定律在參考系中是否成立

這一點，可把參考系分為慣性系和非慣性系，兩類參考系的選擇是任意的，但應以觀察方便和使運動的描述盡可能簡單為原則.研究地面上物體的運動常選擇地面為參考系.

從運動學的角度來講，參考系的選擇原則上是任意的，但是參考系選擇不同，對運動學問題研究的難易程度有很大影響，因此，選擇參考系通常遵循簡單、方便的原則.在選擇了恰當?shù)膮⒖枷狄院?，要定量地描述物體的運動，還必須建立合適的坐標系.目前經(jīng)常用到的坐標系有直角坐標系、自然坐標系和極坐標系，這三種坐標系在描述物體的運動方面有異曲同工之妙，但針對不同的運動形式，三種坐標系處理問題的繁簡程度卻迥異.下面我們從圓周運動的角度分別來分析這三種坐標系的應用特點.

一、直角坐標系下的圓周運動的分析

參照圖1，圓周運動的運動學方程在直角坐標系中可描述為

根據(jù)質點的瞬時速度的定義，可以得出質點做圓周運動時各個時刻的瞬時速度和合速度

速度與x軸的夾角為

直角坐標系下圓周運動的加速度可表示為：

其中β=■為角加速度.如果物體做勻速圓周運動，則β=0，進而可知其合加速大小為■=R？棕2，與x軸負半軸方向夾角為θ，

即指向圓心.

由以上分析可見，直角坐標系在分析一般圓周運動時，涉及加速度的研究計算結果比較繁瑣.因此關于涉及圓周運動加速度分析時，采取自然坐標系.

二、自然坐標系下的圓周運動的分析

參照圖2，圓周運動的運動學方程在自然坐標系中可描述為：

s（t）=Rθ（t）（6）

其中θ（t）是物體從參考位置B點到任意位置A點轉動的角度.在自然坐標系中對矢量分解為沿曲線切線方向且指向s增加方向，記作■，曲線法線方向指向曲線的凹側，記作■.又因曲線運動的瞬時速度方向始終沿著切線方向，故在自然坐標系下法線方向速度始終為零.

圓周運動的線速度在自然坐標系下表示為■=■■=r？棕■（7）

因為圓周運動的合速度在切線方向，因此切線方向的速度即其合速度.

圓周運動加速度可表示為■=a？子■+an■=■■+r？棕2■（8）

當物體做勻速圓周運動時，■=0，質點的加速度為■=r？棕2■.

三、極坐標系下的圓周運動的分析

參照圖3，我們可以建立極坐標下的運動方程：

因為圓周運動的質點在徑向的位置矢量為定值，因此■r=0■r，其中■r表示徑向方向.在垂直于徑向的橫向方向速度為■θ=r？棕■θ，其中■θ表示橫向方向.質點的加速度可以由加速度的定義式■=■求得，因為在極坐標系下■θ的方向隨時間發(fā)生變化，因此

通過分析直角坐標系、自然坐標系和極坐標系在圓周運動求解速度和加速度中的應用，可以發(fā)現(xiàn)自然坐標系和極坐標系在求物體圓周運動的速度和加速度時比較簡潔.因此在有關曲線運動的分析時一般首先考慮自然坐標系.如果質點做螺旋運動，可在極坐標系下分析其運動情況.涉及質點做直線運動，則直角坐標系可以顯示出其優(yōu)越性。

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（作者單位 山東省德州市第二中學）