基于Adams的3自由度并聯(lián)機構運動學分析

范宇超，李 強，魏永庚，畢永利

（黑龍江大學 機電工程學院，哈爾濱 150080）

0 引言

3自由度并聯(lián)機構在加工生產線上大量使用，并聯(lián)機構與串聯(lián)機構相比有著獨特的優(yōu)越性，如它具有機械結構簡單、精確度高、響應速度快、適應能力強等特點。近些年，由于并聯(lián)機構［1］的實用性非常強，正被國內外許多企業(yè)重視。而且并聯(lián)機構運動學又是描述各關節(jié)與結構之間的運動關系，是設計過程中的基本環(huán)節(jié)。本文將以3UPU 型并聯(lián)機構為例，對其進行運動學分析［2］和仿真。

1 并聯(lián)機構的位置分析

這里研究3UPU 的并聯(lián)機構是由動平臺、靜平臺和3 條腿組成的。U 代表胡克鉸（universal pair），P 代表移動副（prismatic pair）。其運動形式是通過每條腿上的兩個胡克鉸和一個可伸縮的連桿（由兩個連桿和一個移動副組成）協(xié)調配合的，使得動平臺在規(guī)定的空間平動。而其中位置運動的正解和逆解又是運動學研究的核心內容。

1.1 運動學逆解

已知動平臺的空間位置［3－4］和姿態(tài)，求解靜平臺的3個控制電機的旋轉角度，也就是3個驅動臂相對于定平臺的張角或連桿的長度這叫做位置逆解。通過解析法求出3UPU 并聯(lián)機構位置逆解的解析解。

1.1.1 位置矢量方程的建立

如圖1所示建立笛卡爾坐標系?；鶞首鴺讼禐镺－XYZ，O點為ΔA1A2A3的外接圓圓心，X軸與OA同方向，Z軸垂直于XOY面，方向向上。用右手螺旋定則判斷縱坐標指向。運動坐標系以P點為原點并且在XOY的投影與點O重合，并且與Z軸方向一致，P為ΔB1B2B3的外接圓的圓心，X′軸與PB1同方向。動平臺和靜平臺的相似比為t，Δr為動靜平臺的半徑之差。

圖1 3UPU 并聯(lián)機構坐標系Fig.1 3UPU parallel mechanism coordinate system

由于動平臺和靜平臺相似，所以有：

分別用n1，n2，n3表示單位向量；OA1、OA2、OA3表示靜平臺的3 個方向向量；PB1、PB2、PB3表示動平臺的3個方向向量，則每個支鏈的向量圖見圖2。

由圖2可得：

圖2 分支向量圖Fig.2 Vector diagram of branch

1.1.2 位置反解分析

位置反解定義：位置反解就是已知機構的執(zhí)行器末端的位置和姿態(tài)，求解輸入裝置的位置和姿態(tài)的過程。

由式（2）可得：

將式（3）進行表量化可得：

將單位向量帶入式（3），可得到各個桿件長度的計算式：

如果已知x、y、P的值，由式（3）、式（4）、式（5）直接求出每個連桿的長度，即可求出3UPU 并聯(lián)機構位置逆解的解析解。所以，動平臺中心坐標點P（x，y，z）的求解至關重要，如果它確定了，那么每個連桿的長度也就唯一確定了。

以半徑為100mm 高為200mm 的運動空間為研究對象，且動平臺的高度為800～1 200mm，利用Matlab［5］編寫程序即可得出在這個范圍內的所有桿長的實際值。

1.2 運動學正解

已知3個驅動臂相對于定平臺的張角或連桿的長度，求動平臺的空間位置和姿態(tài)叫做位置正解。由于已確定工作空間的運動范圍，所以不用再求解運動學正解。

2 運動學仿真研究

Adams是由Mechanical Dynamics Inc.公司開發(fā)的是集仿真建模、求解、可視化技術于一體的虛擬樣機軟件。使用這套軟件可以產生機構繁瑣的機械模型的建模仿真，真實地復現(xiàn)其運動過程，通過分析與計算可快速地提出方案的制定，縮短研制周期和節(jié)省經費。

2.1 模型的建立

由于Adams軟件中內部Solver模塊具有強大的功能，能通過其進行非常方便的位置求解。但是Adams［6－8］的建模功能在精度上稍差一些，尤其是越復雜的機構，其精度也就越差。本文中采用其他軟件來進行彌補，最終實現(xiàn)無誤差輸入和仿真，達到最優(yōu)控制。首先通過ProE 建立機構模型，再將其以Parasolid 文件格式導入到Adams／View 中，準確完成模型輸入，為下一步工作奠定基礎。實體建模、準確模型分別見圖3、圖4。

圖3 實體建模Fig.3 Solid modeling

模型導入后，在View 中對構件與構件之間添加運動約束關系。在Tools工具Model Verify中最后一頁查看自由度是否為3，如果不是，說明運動副添加錯誤；反之，模型建立正確，進行下一步分析。

2.2 仿真分析

圖4 準確模型Fig.4 Accurate model

通過位置逆解可知，只要知道動平臺中心位置P點的運動軌跡［9－10］，通過式（5）即可得出每個連桿的長度。但是在工作空間給定的前提下，如果通過手工計算，則計算量非常大，而且不準確，這樣直接導致后續(xù)工作實物加工及控制不準確。這時可以考慮利用Adams軟件進行非?？焖俣啽愕那蠼?。具體步驟如下：①對機構定義材料：若選用鋼材，這樣系統(tǒng)就會自動在每個構件上出現(xiàn)質心坐標；②分別對動靜平臺的質心坐標進行參數(shù)化設計，這樣有利于后續(xù)的測量和捕捉；③對動平臺的中心位置P加上一般點運動，由于已知工作空間為直徑200mm 高200mm 的圓柱體，工作平臺的加速度為2m／s2。分別對點P的3個方向進行定義一般點的驅動函數(shù)：

需要說明的是XOY面，工作平臺做的是半徑是100mm 的圓周運動，而Z軸方向做的是加速度為2m／s2的加速運動，其驅動是通過繪制樣條曲線給出的。

通過Adams后處理模塊得出的點P位置軌跡見圖5，通過點P的X、Y、Z軸的坐標與逆解式（5）聯(lián)立，即可得到3個桿的長度變化曲線，這部分可由Matlab軟件來完成。其作用是通過軟件求解在仿真狀態(tài)下的桿長，與實際范圍內的桿長值進行對比，結果表明與實際計算的桿長相符合。

上下連桿間移動副的速度、加速度變化曲線見圖6，通過其值可以算出電機的輸出扭矩。

圖7表示整個3自由度并聯(lián)機構搭接完成后，通過設置仿真時間為20s和步長500而運行出來的軌跡截圖，其中上面的螺旋線為動平臺中心P點的運動軌跡。

圖7 動平臺整體運行軌跡圖Fig.7 Moving platform overall trajectory diagram

根據(jù)以上信息和運動軌跡曲線，可以通過前面得出的實際桿長與仿真結果進行對比，觀察結果是否一致。如果不一致，查找原因并繼續(xù)修改參數(shù)。反之，符合標準即達到所期望的軌跡曲線。

3 結語

通過對3UPU 并聯(lián)機構的分析，可由建立笛卡爾坐標系和坐標變換來建立矢量方程，求出符合要求的位置逆解方程組。再利用Matlab進行求解實際桿長，通過Adams仿真建立仿真模型，最終驗證并聯(lián)機構與理論是否一致。此方法縮短了設計周期，提高了工作效率，為該機構的進一步研究打下基礎。

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