基于圓諧-傅里葉矩與支持向量機(jī)的癌細(xì)胞識別

劉應(yīng)欽，李紅梅，白尚旺

（太原科技大學(xué)計算機(jī)學(xué)院軟件工程教研室，太原 030024）

在癌癥檢查中，通常需要對病人的痰液或尿液中細(xì)胞進(jìn)行涂片，使用顯微技術(shù)進(jìn)行識別與分析。這項工作較為繁復(fù)，并且誤判概率較大，因而需要計算機(jī)輔助醫(yī)療技術(shù)，代替人工來對細(xì)胞是否病變進(jìn)行判定，從而將醫(yī)生從繁復(fù)的勞動中解脫出來。

目前使用計算機(jī)輔助診斷技術(shù)對細(xì)胞識別時準(zhǔn)確率總是不高。究其原因，是由于在識別細(xì)胞圖像時，通常首先要將細(xì)胞與其他細(xì)胞進(jìn)行分割，而后對該細(xì)胞的一組特征，如細(xì)胞總體積，細(xì)胞形狀，細(xì)胞核形狀，細(xì)胞核漿比，細(xì)胞內(nèi)紋理結(jié)構(gòu)等，最后運(yùn)用這些特征對其是否發(fā)生癌變進(jìn)行判定［1-3］。但是細(xì)胞的種類繁多，不同的細(xì)胞體積與形狀都不同。即使是相同種類的細(xì)胞，如果處在不同的時期，其外觀通常也不盡相同。這種情況下，就使得對于不同種類，不同生長階段的細(xì)胞，需要使用不同的，帶有針對性的細(xì)胞特征來分辨與判斷其是否病變。這就給識別工作帶來了很大的困難。

由于這些問題，Snake［4］算法便是通過使用能量函數(shù)作為度量值，將圖像的分割線與圖像相聯(lián)系，使用最小化能量泛函來約束分割線，以得到最佳的分割效果。本文采用圓諧傅里葉矩作為圖像的特征，然后利用支持向量機(jī)將提取的圖像矩進(jìn)行優(yōu)化，便可以得到一套準(zhǔn)確、快捷的細(xì)胞識別算法。

1 圓諧-傅里葉矩

1.1 圓諧-傅里葉矩介紹

圖像矩是一種高度濃縮的圖像特征，它具有平移、旋轉(zhuǎn)、灰度、縮放不變性，這使得圖像矩對由于光照、色彩、角度不同而造成的圖像畸變不敏感，因而適合被用來描述圖像，作為圖像的特征值［5-7］。

圓諧-傅里葉矩的結(jié)構(gòu)是由三角函數(shù)作為其徑向函數(shù)Tn（r），與圓諧波函數(shù)exp（jmθ）相乘，構(gòu)成函數(shù)系 Pnm（r，θ）:Pnm（r，θ）=Tn（r）exp（jmθ）

其中，徑向函數(shù)Tn（r）定義為:

很顯然，函數(shù)系Pnm（r，θ）在區(qū)間0≤r≤1之內(nèi)是正交的:

定義圓諧-傅里葉矩的計算公式為:

由于該矩為正交矩，則可由無數(shù)個圓諧-傅里葉矩重構(gòu)圖形，其公式為:

1.2 圓諧-傅里葉矩的性能與分析

對圖像矩中的徑向函數(shù)而言，零點(diǎn)的數(shù)目與位置通常與其描述的圖像空間頻率成分有關(guān)。也就是說，一個n階的徑向函數(shù)的零點(diǎn)位置與數(shù)目，代表了該徑向函數(shù)對圖像的采樣位置與頻率［9］。如果零點(diǎn)數(shù)目過少，則采樣次數(shù)較少；如果零點(diǎn)位置分布很不均衡，則會造成圖像部分采樣較多，另一些部分采樣較少，都不能很好的描述圖像。

對于圖像矩而言，零點(diǎn)的數(shù)量與分布決定了對圖像描述能力的強(qiáng)弱［6］。對圓諧-傅里葉矩的徑向函數(shù)Tn（r）求零點(diǎn)，得到結(jié)果如圖1所示。

圖1 Tn（r）零點(diǎn)分布圖Fig.1 Tn（r）zero maps

由圖1可看出，n階圓諧-傅里葉矩的零點(diǎn)數(shù)目多于n個，且分布均勻，這就使得圓諧-傅里葉矩對圖像的中心與邊緣的描述是平均的，不會由于零點(diǎn)位置的不均等造成部分圖像特征提取的失真。而第一個零點(diǎn)非常接近坐標(biāo)原點(diǎn)，這就使利用該矩進(jìn)行小圖像描述的效果較好。

2 支持向量機(jī)

2.1 支持向量機(jī)簡介

支持向量機(jī)是一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，它是由Vapnik［8，10］等人提出的利用統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論中 VC 維理論及結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化理論，通過恰當(dāng)?shù)倪x擇函數(shù)子集與該子集的判別函數(shù)，利用有限樣本，兼顧模型復(fù)雜度與模型學(xué)習(xí)能力，使模型的結(jié)構(gòu)風(fēng)險達(dá)到最小，以此使模型得到優(yōu)良的泛化性能。同時，它具有全局優(yōu)化，適應(yīng)性較強(qiáng)，訓(xùn)練時間較短，泛化能力較好的特點(diǎn)。由于其引入了核函數(shù)，支持向量機(jī)很好的解決了非線性分類的“維度災(zāi)難”的問題，使得其運(yùn)算效率進(jìn)一步提高。

2.2 最優(yōu)超平面

支持向量機(jī)是由對樣本線性可分的情況下，尋找廣義最優(yōu)分類面的問題發(fā)展而來的。假設(shè)一個兩類訓(xùn)練樣本集中有1個n維樣本，則需要找到一個分類面，將這兩類訓(xùn)練樣本盡可能的分開。設(shè)該分類面為一超平面，則該超平面可以表示為:（ωx）+b=0，其中，ω為超平面的法線方向，為單位法向量，‖ω‖為ω的歐氏模函數(shù)。于是，將所有樣本正確分類的公式為:

在實(shí)際中，能夠?qū)颖綝成功劃分的超平面很多。而我們需要尋找這樣一個超平面:不僅可以將樣本集正確分開，而且使距離超平面最近的兩類樣本點(diǎn)的間隔最大。能夠正確劃分超平面，是使支持向量機(jī)的經(jīng)驗風(fēng)險最小；使分類間隔最大，則是使VC維最小，減小了置信范圍，使支持向量機(jī)具有最優(yōu)的泛化能力。這個超平面在眾多分類面中是唯一的，通常被稱為最優(yōu)超平面，如圖2所示。

其中，H為能夠?qū)深悩颖菊_劃分的超平面，H1，H2為經(jīng)過距離最優(yōu)超平面最近的樣本點(diǎn)，且與最優(yōu)超平面平行的平面。而在H1與H2上的點(diǎn)被稱為支持向量。H1與H2之間的間隔被稱為分類間隔。

由圖 2可看出，H1與 H2與 H的間隔為1/‖ω‖，這使得分類間隔為2/‖ω‖.而尋找最優(yōu)超平面的問題，可以由此轉(zhuǎn)化為尋找分類間隔最大，即是使‖ω‖2最小的問題。這個問題的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了對支持向量機(jī)推廣能力的提升。尋找最大間隔，就是使之具有最優(yōu)的泛化能力。

圖2 最優(yōu)分類面示意圖Fig.2 The surface diagram of optimal classification

當(dāng)遇到線性不可分的情況下，如果將其強(qiáng)行分開，則很容易產(chǎn)生過度擬合現(xiàn)象。針對這一問題，Cortes和Vapnik引入了軟間隔最優(yōu)超平面的概念。

在線性可分狀態(tài)基礎(chǔ)上，在計算中引入松弛變量 εi≥0（i=1，2，3…l），則可以使模型允許一定的噪聲或錯誤樣本出現(xiàn)。之后對目標(biāo)函數(shù)加入懲罰因子C，于是原始問題變?yōu)?

懲罰因子C＞0是對目標(biāo)函數(shù)中錯分樣本程度的控制。若C增大，則在最有分類面周圍區(qū)域中，可錯分的面積越小。若C為無窮大，則該算法退化為在線性可分情況下的分類算法。

則最優(yōu)分類面也由下式得出:

其中，0≤ai≤C說明了懲罰因子C控制了ai的大小，即約束了可以接受的離群點(diǎn)的范圍。而離群點(diǎn)的拉格朗日乘子通常較大，使得約束確保了可行區(qū)域的界，從而使問題總是有非空的可行區(qū)域。

此時，最優(yōu)解a*可以有三種情況:

若是a*=C，則表示a*所對應(yīng)的樣本未在隔離帶的邊界上，但被錯誤分類，屬于支持向量，參與構(gòu)建最優(yōu)分類面；

若是0＜a*＜C，則表示a*所對應(yīng)的樣本在隔離帶的邊界上，屬于支持向量，參與構(gòu)建最優(yōu)分類面；

若是a*=0，則表示a*所對應(yīng)的樣本不在邊界上，屬于非支持向量，不參與構(gòu)建最優(yōu)分類面。

針對非線性的分類，支持向量機(jī)算法引入了核函數(shù)的概念。即有非線性映射Φ∶Rd→H，使空間Rd中的低維非線性樣本映射入高維空間H中成為線性可分樣本?？梢钥闯觯С窒蛄繖C(jī)尋找最優(yōu)分類面時，僅僅需要計算樣本的點(diǎn)積Φ（xi）·Φ（xj）即可，無需單獨(dú)計算單個映射Φ（xi）.于是，如果能夠找到一個合適的函數(shù)K，使得K（xi，xj）=Φ（xi）·Φ（xj）.因此只需要在高維空間中進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，而不用將函數(shù)空間進(jìn)行提升，甚至不需要了解變換Φ（xi）的具體形式。這個函數(shù)K便被稱為核函數(shù)。

根據(jù)泛函分析的相關(guān)理論，核函數(shù)只需滿足Mercer條件，就可以計算低維樣本對應(yīng)于某高維空間的高維內(nèi)積。于是，支持向量機(jī)的對偶問題變?yōu)?

這樣，非線性可分樣本計算內(nèi)積的工作將在低維空間中完成，映射入高維線性空間所增加的計算量很少，支持向量機(jī)整體的計算復(fù)雜度并沒有多少增加。其對應(yīng)的最優(yōu)分類面決策函數(shù)也變形為:

常見的核函數(shù)包括:線性核函數(shù)、徑向基核函數(shù)、多項式核函數(shù)、sigmoid核等核函數(shù)，具體表達(dá)形式如表1所示。

表1 核函數(shù)公式Tab.1 The nuclear function formula

3 利用圓諧矩與支持向量機(jī)的細(xì)胞識別

3.1 癌細(xì)胞介紹

癌細(xì)胞是一種變異的細(xì)胞，是產(chǎn)生癌癥的根源。癌細(xì)胞來源于正常細(xì)胞，卻又與正常細(xì)胞不同:

（1）癌細(xì)胞核可比正常細(xì)胞大數(shù)倍，并且細(xì)胞核的大小不等。

（2）細(xì)胞核畸形，核膜變形，并且癌細(xì)胞核染色質(zhì)增多，使得細(xì)胞核顏色變深。

（3）核質(zhì)比例失常，并且癌細(xì)胞分化愈差，核質(zhì)比例失常愈明顯，此外，細(xì)胞核染色質(zhì)邊移，出現(xiàn)巨大核仁，異常核分裂并出現(xiàn)梭形、蝌蚪形、星形等異常形態(tài)。

這些是癌細(xì)胞的一般特征，同時也是涂片辨識癌細(xì)胞的重要標(biāo)準(zhǔn)。

圖3 正常細(xì)胞與癌變細(xì)胞Fig.3 The normal cells and cancerous cells

3.2 細(xì)胞圖像識別的一般步驟

對于給定的細(xì)胞涂片顯微圖像，如果要計算機(jī)進(jìn)行自動識別圖像，一般需要如下幾個步驟，即預(yù)處理，圖像分割，特征提取，細(xì)胞識別。

首先，要對圖像進(jìn)行預(yù)處理。這樣做的目的，一方面是去掉不必要的信息，另一方面是使圖像的有用特征更加突出。

其次，對圖像進(jìn)行分割，提取需要識別的部分，為之后的識別做準(zhǔn)備。由于提取出的細(xì)胞圖像往往是成團(tuán)成組出現(xiàn)的，其中的單個細(xì)胞往往會出現(xiàn)相互重疊的現(xiàn)象，因而將其分離開有較大的難度。現(xiàn)今的單個細(xì)胞分割分離方法中，主要是利用各種算法將細(xì)胞的邊界大致的分離開，而后根據(jù)重疊部分的灰度數(shù)據(jù)，對細(xì)胞的邊緣和灰度值進(jìn)行估計與重建。

再次，需要對細(xì)胞進(jìn)行分析，選取某些特征進(jìn)行提取。在迄今的各種識別方法中，往往采取對正常細(xì)胞與癌細(xì)胞作比較，分析其中的不同點(diǎn)，例如癌細(xì)胞核較正常細(xì)胞核較大；各個癌細(xì)胞核大小不一，出現(xiàn)畸形；細(xì)胞外形不規(guī)則，出現(xiàn)凹陷、皺褶、鋸齒狀，或細(xì)胞膜邊緣模糊不清，出現(xiàn)浸潤現(xiàn)象等。針對這些外觀上的明顯不同點(diǎn)，提取不同的特征來為進(jìn)一步的分類與識別做準(zhǔn)備。

根據(jù)特征提取中提取出的細(xì)胞特征，使用各種分類方法，對分類器進(jìn)行訓(xùn)練，以達(dá)到對未知樣本的識別。

3.3 利用圓諧矩與支持向量機(jī)的細(xì)胞識別

對于給定的灰度圖像f（x，y），由于圓諧傅里葉矩的計算公式為:

其中具有旋轉(zhuǎn)因子exp（jmθ），使得在圖像旋轉(zhuǎn)任意角度φ后，得到的所有的矩都增加了相同的相位因子exp（jmθ），而其幅度大小，即模值||是不變的。于是對于圓諧-傅里葉矩來說，其本身公式結(jié)構(gòu)便具有旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)。

而對于平移、灰度與尺度的不變性，圓諧-傅里葉矩并不是畸變不變量。因此，必須對其進(jìn)行歸一化，才能滿足特征提取的要求。

在特征提取與圖像識別過程中，由于矩階數(shù)升高會使運(yùn)算量呈指數(shù)增長，造成時間消耗也呈指數(shù)增長，因而考慮運(yùn)算量的幾何級增長，我們權(quán)衡運(yùn)算量與圖像描述能力，選定n=7為識別過程中的圓諧矩階數(shù)。

本算法選用C-SVM來進(jìn)行分類與識別，選用線性核進(jìn)行分類識別，懲罰因子C的取值為1.

3.4 對識別算法的改進(jìn)

在識別過程中，將訓(xùn)練樣本集的樣本數(shù)減少對識別效果影響并不大；而如果將訓(xùn)練樣本集中加入或去掉某些特定圖像，對識別效果具有很大的影響，往往可以使得識別準(zhǔn)確率增減10%.

究其原因，是由于在細(xì)胞識別中，癌細(xì)胞較正常細(xì)胞具有細(xì)胞核較正常細(xì)胞核較大，細(xì)胞外形不規(guī)則，細(xì)胞膜邊緣模糊不清，出現(xiàn)浸潤現(xiàn)象等圖像特點(diǎn)。如果樣本集中圖像具有這些特征，則盡管樣本數(shù)量不多，卻仍可以保證識別正確率。因此，對本算法的改進(jìn)，便是如何尋找一種自動算法，使其能夠自動將標(biāo)準(zhǔn)的細(xì)胞圖像包含其中，將變形的細(xì)胞圖像剔除。

本文采取的方法大致為:對訓(xùn)練集進(jìn)行若干次再分割，將其隨機(jī)分為訓(xùn)練集與測試集。用訓(xùn)練集樣本對支持向量機(jī)進(jìn)行訓(xùn)練，得到最優(yōu)分類面，而后對測試集樣本進(jìn)行分類，得到對樣本集中訓(xùn)練集的分類準(zhǔn)確率。保留準(zhǔn)確率高的最優(yōu)分類面，去掉準(zhǔn)確率低的。最后，用得到的幾個最優(yōu)分類面對測試集的樣本進(jìn)行分類，投票得出最后結(jié)果。

本文采用隨機(jī)挑選劃分的方法確定訓(xùn)練集中樣本數(shù)量。隨機(jī)從樣本集中取數(shù)量為n的樣本進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)分類面，對剩余的樣本進(jìn)行判別，得到準(zhǔn)確率結(jié)果如表2所示。

表2 不同樣本集規(guī)模的識別準(zhǔn)確率Tab.2 The recognition accuracy of the sample set size

由表2結(jié)果可看出，在n≥8的時候，由于樣本規(guī)模足以包含足夠數(shù)量的支持向量，因而樣本數(shù)量的提升對結(jié)果影響并不大。而在n≥14的時候，往往會包含個別變異圖像，使得模型的識別準(zhǔn)確率下降。

考慮訓(xùn)練集增加對識別率與時間消耗的影響，我們選擇n=10為樣本數(shù)，使訓(xùn)練集規(guī)模稍高于最低所需樣本規(guī)模。

對不同閾值與不同最優(yōu)分類面下的投票正確率進(jìn)行理論分析，發(fā)現(xiàn)0.8為閾值可以兼顧準(zhǔn)確率與最優(yōu)分類面篩選個數(shù)，因此較為合適。

3.5 實(shí)驗與分析

對以上結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗，實(shí)驗所用樣本集正常圖像為50幅，癌細(xì)胞圖像50幅，測試集細(xì)胞圖像50幅。

基于如上參數(shù)，本算法實(shí)現(xiàn)步驟如下:

（1）將樣本集隨機(jī)分為訓(xùn)練樣本集與測試樣本集，訓(xùn)練樣本集中正常細(xì)胞與癌細(xì)胞各10個，其余為測試樣本集。

（2）對訓(xùn)練樣本集中圖片進(jìn)行7階圓諧-傅里葉矩的計算，提取出一個64維的圖像特征值，組成訓(xùn)練集:

（3）對得到的特征向量使用C-SVM進(jìn)行優(yōu)化:

得到最優(yōu)解a*=（，…）

（4）由最優(yōu)解，得到:

繼而得到最優(yōu)分類面:

（5）同樣對測試樣本集中圖片提取圓諧-傅里葉矩，使用得到的最優(yōu)分類面對其進(jìn)行分類，得到分類準(zhǔn)確率，保留準(zhǔn)確率高于80%的分類面。

（6）重復(fù)以上步驟，以得到多個最優(yōu)分類面。

（7）使用得到的最優(yōu)分類面對待識別圖像進(jìn)行識別，而后用識別結(jié)果進(jìn)行投票，由投票結(jié)果得出最終識別結(jié)果。

為了證明選擇圓諧-傅里葉矩的正確性，分別用圓諧-傅里葉矩與正交傅里葉-梅林矩相結(jié)合，對相同細(xì)胞圖像進(jìn)行識別。識別過程中都在支持向量機(jī)中選用線性核，且使C=1，得到結(jié)果如圖4所示。

圖4 正交傅里葉-梅林矩與圓諧-傅里葉矩識別時間對比圖Fig.4 The recognition time comparison chart of orthogonal Fourier-Mellin moments and circular harmonic-Fourier moment

由此可看出，圓諧-傅里葉矩在識別速度上，優(yōu)于正交傅里葉-梅林矩。

對圓諧-傅里葉矩與支持向量機(jī)算法結(jié)合，與對其改進(jìn)后的算法比較，得到結(jié)果如表3所示。

由表3可看出，采用該改進(jìn)算法后，可以使其使用低階矩，取得未改進(jìn)算法使用高階矩所得到的識別率。而在階數(shù)升高后，采用本改進(jìn)算法可將識別效率提高8%左右。

表3 改進(jìn)前后準(zhǔn)確率對比Tab.3 The improved accuracy before and after contrast

4 結(jié)論

由上述實(shí)驗可看出，對于使用圖像矩作為圖像特征的識別算法中，圓諧-傅里葉矩具有運(yùn)算效率高，描述效果好的優(yōu)點(diǎn)。將圓諧-傅里葉矩與支持向量機(jī)相結(jié)合，能夠使其運(yùn)算速度方面的優(yōu)勢更為明顯。而將該算法中的支持向量機(jī)進(jìn)行一些改進(jìn)，則可以在不提高階數(shù)的情況下，提高識別的準(zhǔn)確率，使識別時間沒有太大變化。

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