具有奇異系數(shù)擬線性?huà)佄镄筒坏仁街薪獾腖iouville定理*

方鐘波，孫 璐

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

1 引言及主要結(jié)果

本文考慮帶奇異系數(shù)擬線性?huà)佄镄筒坏仁娇挛鲉?wèn)題

非負(fù)非平凡整體弱解在某些帶參數(shù)的函數(shù)空間中的非存在性，其中加權(quán)函數(shù)a（x，

上述雙重退化拋物型不等式（1）出現(xiàn)于流體力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)及生物群體力學(xué)等諸多領(lǐng)域中［1－2］。從流體力學(xué)角度來(lái)說(shuō)，描述多孔體介質(zhì)中非牛頓滲流現(xiàn)象，可描述氣體或液體在多孔體介質(zhì)中的流動(dòng)，其中a（x，t）up為正時(shí)叫“熱源”項(xiàng)，負(fù)時(shí)叫“冷源”項(xiàng)。

Fujita［3］研究半線性?huà)佄镄头匠蘵t＝Δu＋up柯西問(wèn)題的整體解的非存在性時(shí)提出了臨界指數(shù)pc＝1＋（稱(chēng)為Fujita臨界指數(shù)），并受到許多學(xué)者的高度重視。非線性偏微分方程整體解的不存在性是一類(lèi)非線性Liouville定理，可以用它證明有界域上的解的某些性質(zhì)，還是爆破理論或奇點(diǎn)理論的一種本質(zhì)體現(xiàn)［4］。

近年來(lái)，圓錐區(qū)域及整體空間上帶變系數(shù)或不帶變系數(shù)的橢圓型方程、不等式（組）的Liouville型定理及整體解的非存在性方面有許多結(jié)論，見(jiàn)［5－10］等相關(guān)文獻(xiàn)。比如，文獻(xiàn)［5］中，Gidas and Spruck（在無(wú)窮遠(yuǎn)處沒(méi)有任何條件的情況下）證明了次臨界橢圓型方程解的Liouville定理（不存在非平凡C2解）且用它得到了先驗(yàn)估計(jì)。

最近，拋物型方程或不等式（組）中Liouville定理的研究也引起了許多學(xué)者的興趣。方程（1）中，當(dāng)σ＝0，m＝0且加權(quán)函數(shù)為a（x，t）≥ （｜x｜2＋t）－γ時(shí)魏公明等［11］利用試驗(yàn)函數(shù)法得到了非負(fù)非平凡整體弱解的非存在性結(jié)論。Fang Z B等［12］利用試驗(yàn)函數(shù)法得到了變系數(shù)慢擴(kuò)散不等式柯西問(wèn)題

在圓錐區(qū)域中的非線性Liouville型定理。其它關(guān)于帶加權(quán)函數(shù)的慢擴(kuò)散方程柯西問(wèn)題中解的非存在性結(jié)論方面參考了文獻(xiàn)［13］。

由此啟發(fā)，本文研究帶變系數(shù)和加權(quán)函數(shù)的擬線性?huà)佄镄筒坏仁剑?）的非負(fù)非平凡整體弱解在帶參數(shù)的函數(shù)空間中的非線性Liouville定理。目的在于找到變系數(shù)指數(shù)與加權(quán)函數(shù)的指數(shù)對(duì)非負(fù)非平凡整體弱解的非存在性影響，且具有無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)任何條件、對(duì)初始值沒(méi)有作任何正則性假設(shè)（導(dǎo)致初值在超平面t＝0上可能沒(méi)有很好的‘跡’）、不用比較原理和極值原理等特點(diǎn)。通過(guò)適當(dāng)構(gòu)造試驗(yàn)函數(shù)來(lái)建立Universal估計(jì)值（不依賴(lài)于初始值），從而得出在適當(dāng)?shù)呐R界指數(shù)范圍內(nèi)非負(fù)非平凡整體弱解非存在性結(jié)論。詳細(xì)結(jié)論如下：定理1（Liouville定理）成立，且

在（18）式兩端令R→∞就得到

因?yàn)棣鞘侨我獾模栽赟上幾乎處處成立u＝0。

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