水污染防治問題的數(shù)學(xué)模型研究＊

夏必臘 沈 浮 王 鵬 李文濤

（解放軍陸軍軍官學(xué)院數(shù)學(xué)教研室 合肥 230031）

1 引言

由于自然條件的影響，水資源特別是淡水資源在全球上分布不均，而且受氣候變化的影響，使許多國家和地區(qū)可用量減少。目前，世界范圍內(nèi)城市和工業(yè)區(qū)集中發(fā)展，由于集中用水很大，超過當(dāng)?shù)厮Y源的供水能力，城市生活和工業(yè)用水存在大量的浪費(fèi)和盲目開采造成水資源不足。另外，加上水體污染日趨嚴(yán)重，這樣原本地球上極其豐富的水資源面臨嚴(yán)重危機(jī)。根據(jù)相關(guān)資料統(tǒng)計(jì)，目前全世界每年約4200多億立方米的污水排入江河湖海，污染了5500億立方米的淡水，約占全球凈流量的14%以上。河流污染已經(jīng)影響到人類的正常生活和生存，因而研究污染物在水體中的擴(kuò)散現(xiàn)象及其擴(kuò)散規(guī)律是治理和控制水體污染的重中之重，對河流水質(zhì)的監(jiān)測保護(hù)以及水資源的合理使用有著重要的意義。

本文針對河流水質(zhì)的模型，從數(shù)學(xué)角度加以解釋分析，最后提出河流水質(zhì)模型在實(shí)際應(yīng)用中的意義。

2 水污染問題的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)有一穩(wěn)定流的一維均勻河段，已知彌散系數(shù)D＝2km／h，流速v＝5km／h，某污染的一級反應(yīng)速率常數(shù)k＝0.015km／h，在x0＝0處有一點(diǎn)源，連續(xù)排放1小時(shí)，若起始斷面處在排放期間某污染物的濃度為＝10mg／L（j＝0，1，…，m），tm為排放終止時(shí)間，在河段的其它斷面處＝0（i＞0）。要求在8km長的河段里，從開始排放污染物起，不同時(shí)間，不同地段污染物的濃度分布。

考慮河流的一般流動(dòng)狀態(tài)，除了考察分子的擴(kuò)散與湍流擴(kuò)散外，還要考慮到由剪切流造成的類似分子擴(kuò)散的彌散作用。但在天然河流中，分子擴(kuò)散系數(shù)具有數(shù)量級10－5～10－4m2／s，湍流擴(kuò)散系數(shù)具有數(shù)量級10－2～1m2／s，而彌散系數(shù)的數(shù)量級為10～103m2／s，因此，在河流水質(zhì)模型中，一般可以忽略分子擴(kuò)散及湍流擴(kuò)散的影響，只須考慮彌散作用，于是可建立如下微分方程［4］：

其中，A為河床斷面（L2）；Q 為流量（L3T－1）；D 為彌散系數(shù)（L2T－1）；y為某組分子在x 斷面處t時(shí)刻的濃度（ML－3）；S為各種源和匯的代數(shù)和。

對于一個(gè)不太長的河段，?？杉俣ㄆ渌鹘频靥幱诜€(wěn)定狀態(tài)，斷面沿程均勻。這樣A、Q、D都可近似地作為常數(shù)處理，于是上述微分方程可簡化為

若河流中某種污染物進(jìn)行一級衰減反應(yīng)，并假定河底無滲漏，忽略面源的側(cè)向輸入，這時(shí)S＝－ky，k為常數(shù)。在不太長的河流中，某一污染物擴(kuò)散所滿足的微分方程是一拋物型方程，結(jié)合實(shí)際問題的假設(shè)，可得到如下定解問題：

3 水污染方程的求解方法

對于其中的三個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)分別用相應(yīng)的差商代替，即令

代入式（3），可建立如下顯式差分格式［9］：

當(dāng)取參數(shù)v＝5，k＝0.015，D＝2時(shí)，計(jì)算結(jié)果列于表1。

表1 污染物在各點(diǎn)的濃度

4 結(jié)果分析

由于差分格式（4）可改寫為

可以證明［11］：當(dāng)

時(shí)，差分格式（4）是數(shù)值穩(wěn)定的，且以O(shè)（τ＋h2）階收斂。

容易驗(yàn)證：在差分格式（4）中，所取步長及常數(shù)是滿足式（6）的，即按差分格式式（4）進(jìn)行計(jì)算，所得結(jié)果表1是切合實(shí)際的。

5 結(jié)語

本文利用所建立的水質(zhì)模型，對一段長8km河流的某種污染物濃度進(jìn)行現(xiàn)狀模擬，結(jié)果表明，計(jì)算值與實(shí)測值比較接近，模型可以接受。此外，通過本模型可以計(jì)算出污染物允許的最大排污量，為科學(xué)預(yù)測河流污染物提供可靠的理論依據(jù)，這樣才有可能還河流的清白、純凈，才能可持續(xù)利用河流資源為人類子孫后代的生存提供良好的保障。由此可見，對河流水質(zhì)數(shù)學(xué)模型的研究，為河流水質(zhì)的控制與流域規(guī)劃等都有重要的應(yīng)用價(jià)值。

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