基于內(nèi)插的符號(hào)同步算法設(shè)計(jì)＊

田麗娟 楊 平

（中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二二研究所 武漢 430079）

1 引言

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，符號(hào)同步不僅要求準(zhǔn)確檢測(cè)到數(shù)據(jù)的起始位置，還需要確定在每個(gè)碼元間隔的什么時(shí)刻以符號(hào)速率進(jìn)行周期性地采樣和判決，符號(hào)同步算法的優(yōu)劣對(duì)降低接收端的誤碼率起到了至關(guān)重要的作用。對(duì)于數(shù)據(jù)起始位置的確定一般是通過(guò)集中插入特殊的訓(xùn)練序列，利用局部自相關(guān)函數(shù)的單峰特性來(lái)識(shí)別同步頭。在碼元周期間隔內(nèi)，最佳采樣時(shí)刻由信號(hào)波形決定，可能位于碼元中間時(shí)刻，也可能是碼元起始時(shí)刻或終止時(shí)刻，實(shí)際可行的方法層出不窮，如傳統(tǒng)的鎖相環(huán)法、早遲門同步法、Gardner算法［1］、數(shù)字濾波平方算法［2］、內(nèi)插估值法［3］等。其中，內(nèi)插估值法源于數(shù)值分析中多項(xiàng)式插值的思想，是指利用定時(shí)誤差來(lái)控制內(nèi)插濾波器［4～5］對(duì)采樣數(shù)值進(jìn)行某種插值運(yùn)算，以使其逼近最佳采樣時(shí)刻的信號(hào)值。

本文首先針對(duì)數(shù)據(jù)起始時(shí)刻的確定，提出一種能有效降低虛警概率的多同步頭聯(lián)合檢測(cè)算法，并通過(guò)Matlab仿真比較其性能。接著簡(jiǎn)要介紹通常所用的內(nèi)插估值方法的基本原理。最后討論一種基于最大似然估計(jì)的等分內(nèi)插逼近法，并在存在一定頻偏的情況下，通過(guò)Matlab仿真討論分析了過(guò)采樣數(shù)及訓(xùn)練序列長(zhǎng)度對(duì)誤碼性能的影響。

2 同步頭聯(lián)合檢測(cè)方法

通常數(shù)據(jù)以幀為基本單位進(jìn)行傳輸，對(duì)于數(shù)據(jù)起始位置的確定一般是集中插入特定的訓(xùn)練序列，利用其具有尖銳單峰特性的局部自相關(guān)函數(shù)來(lái)判別。為了提高正確檢測(cè)概率pc和降低虛警概率pf，可以增長(zhǎng)訓(xùn)練序列長(zhǎng)度，但同時(shí)傳輸?shù)拈_(kāi)銷會(huì)增大，使得傳輸信息的有效性降低。在確定同步頭長(zhǎng)度時(shí)，需要兼顧檢測(cè)的可靠性和傳輸?shù)挠行裕瑑烧哒壑刑幚?，一般同步頭長(zhǎng)度選取為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的5%～10%較為合理［6］。 鑒 于 此，提出了多同步頭聯(lián)合檢測(cè)的算法，其原理如圖1所示。

圖1 多同步頭聯(lián)合檢測(cè)示意圖

其具體做法是對(duì)于連續(xù)m幀數(shù)據(jù)，將每幀數(shù)據(jù)的同步頭提取出來(lái)，并行檢測(cè)這m幀數(shù)據(jù)內(nèi)總共能識(shí)別出多少個(gè)同步頭，將累加結(jié)果與一預(yù)先設(shè)定的門限值Nth進(jìn)行比較，這種做法可以在不增加每幀數(shù)據(jù)同步頭長(zhǎng)度的前提下大幅度提高檢測(cè)的可靠性。

對(duì)于單個(gè)同步頭檢測(cè)方法，作如下性能仿真：

在誤碼率p＝0.1的條件下，同步頭為8個(gè)比特碼元，通過(guò)仿真得出pc、pf相對(duì)于門限值的性能曲線如圖2所示。

對(duì)于多個(gè)同步頭聯(lián)合檢測(cè)方法，作如下性能仿真：

在誤碼率p＝0.1的條件下，同步頭為8個(gè)比特碼元，單同步頭檢測(cè)的判決門限設(shè)為6，檢測(cè)的數(shù)據(jù)幀數(shù)m設(shè)為16，則通過(guò)仿真得出pc、pf相對(duì)于門限值的性能曲線如圖3所示。

圖2 單同步頭檢測(cè)

圖3 多同步頭檢測(cè)

比較原始的與改進(jìn)后的仿真結(jié)果：圖3相對(duì)于圖2，其正確檢測(cè)概率pc隨著門限值Nth增大有明顯提高，而虛警概率pf隨著門限值Nth增大大幅度降低。由此可得出如下結(jié)論：多同步頭聯(lián)合累加檢測(cè)算法的檢測(cè)性能明顯優(yōu)于單一同步頭檢測(cè)方法。

3 內(nèi)插估值的基本原理

內(nèi)插的基本思想是接收端采用獨(dú)立于碼元周期T的固定采樣時(shí)鐘周期Ts采樣，正確的定時(shí)樣值點(diǎn)是通過(guò)對(duì)連續(xù)幾個(gè)采樣點(diǎn)做插值計(jì)算得到的近似值，如圖4所示：樣值點(diǎn)kT的值是通過(guò)對(duì)（mk－1）Ts，mkTs，（mk＋1）Ts，（mk＋2）Ts這四個(gè)原始采樣值作內(nèi)插運(yùn)算獲得的。其中mk稱為基本指針，用于決定參與計(jì)算內(nèi)插值R（kT）的信號(hào)樣點(diǎn)集；uk稱為分?jǐn)?shù)間隔，用于指示內(nèi)插估值點(diǎn)并用來(lái)確定內(nèi)插濾波器的樣點(diǎn)值［7］。

圖4 固定采樣點(diǎn)與定時(shí)樣值點(diǎn)關(guān)系圖

數(shù)字內(nèi)插濾波器的基本方程為

式（1）中uk的提取是有效實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確內(nèi)插同步的關(guān)鍵，通常由NCO控制器來(lái)完成。每次進(jìn)行內(nèi)插運(yùn)算時(shí)，都需要根據(jù)不同的uk值來(lái)更新內(nèi)插濾波器的系數(shù)。

4 最大似然估計(jì)

4.1 最大似然估計(jì)原理

4.2 最大似然估計(jì)器

基于判決修正方法（DD）的最大似然誤差估計(jì)是利用數(shù)據(jù)符號(hào)的估計(jì)來(lái)使定時(shí)估計(jì)的似然函數(shù)最大化，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（6）：

基于非判決修正方法 （NDD）的最大似然誤差估計(jì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

文獻(xiàn)［9］給出了式（7）兩種非線性替換形式：一種采用絕對(duì)值近似的非線性形式（AVN）：

另一種采用平方率近似的非線性形式（SLN）：

文獻(xiàn)［10］給出了另一種非線性形式（FLN）；

5 內(nèi)插逼近方法

5.1 基本原理及實(shí)現(xiàn)步驟

采用基于判決修正方法（DD）的最大似然估計(jì)，即運(yùn)用式（6）計(jì)算ΛL。等分內(nèi)插逼近法的具體步驟歸納如下：

1）將接收信號(hào)經(jīng)過(guò)匹配濾波器后以K倍速率進(jìn)行采樣，在一個(gè)符號(hào)周期內(nèi)得到K個(gè)采樣值分別為x（1），x（2），…，x（k），逐個(gè)計(jì)算每個(gè)樣本的似然函數(shù)值ΛL，找到較大的兩個(gè)ΛL值所對(duì)應(yīng)的樣本值，分別標(biāo)示為x1（a）和x1（b）。從理論上講，在一個(gè)符號(hào)間隔內(nèi)以兩倍的符號(hào)速率采兩個(gè)樣值，只要保持這兩個(gè)樣值分別位于峰值兩側(cè)即可實(shí)現(xiàn)逐次內(nèi)插逼近最佳定時(shí)時(shí)刻。當(dāng)內(nèi)插逼近次數(shù)n＝1時(shí)，取x1（a）和x1（b）等分點(diǎn)，記為x1（c）；

2）當(dāng)內(nèi)插逼近次數(shù)n＝2時(shí)，在完成1）的基礎(chǔ)上，計(jì)算x1（a）、x1（b）和x1（c）的似然函數(shù)值ΛL，找到較大的兩個(gè)ΛL值，例如此時(shí)x1（b）和x1（c）的ΛL值較大，則將x1（b）標(biāo)記為x2（a），x1（c）標(biāo)記為x2（b），再取這兩個(gè)值的等分點(diǎn)得到最佳定時(shí)位置，記為x2（c）；

3）當(dāng)內(nèi)插逼近次數(shù)n＝3時(shí)，完成上述1）2）后，計(jì)算x2（a）、x2（b）和x2（c）的似然函數(shù)值ΛL，找到較大的兩個(gè)，依次標(biāo)記為x3（a）和x3（b），再在這兩個(gè)值之間進(jìn)行等分內(nèi)插得到最佳定時(shí)位置x3（c）；

當(dāng)n＞3時(shí)，重復(fù)執(zhí)行步驟3）即可。由上述逐次內(nèi)插逼近的步驟可知，最佳定時(shí)位置的精確度主要由逼近的次數(shù)n決定。經(jīng)觀察得出：逼近次數(shù)n與相鄰估值點(diǎn)的間距Δ的關(guān)系為：Δ＝2－（n＋2）T，n＝1、2、…。所以，當(dāng)逼近次數(shù)n＝4時(shí)，定時(shí)同步可達(dá)到的精度為碼元周期的1／64，此時(shí)計(jì)算似然函數(shù)的總次數(shù)為n＋1＝5，其運(yùn)算量?jī)H等價(jià)于對(duì)5個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行似然函數(shù)計(jì)算，通常達(dá)到同樣的精度則需要對(duì)64個(gè)采樣點(diǎn)的似然函數(shù)都進(jìn)行計(jì)算并作比較。于是可看出此算法在取得同樣定時(shí)精度的情況下，能明顯減少運(yùn)算量。

5.2 仿真結(jié)果與分析

使用matlab軟件對(duì)本算法進(jìn)行仿真分析，仿真參數(shù)設(shè)置如下：

目標(biāo)價(jià)格水平發(fā)生變化時(shí)，上述市場(chǎng)均衡會(huì)發(fā)生一系列反應(yīng)從而達(dá)到新的均衡。根據(jù)Muth和Gardner的方法，我們將上述結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行全微分，并利用克萊姆法則將其求解后得到模型的最終形式，即外生變量變化引起的內(nèi)生變量變化率。

調(diào)制方式：GMSK（同樣也適用于MSK、MPSK等其他調(diào)制方式）；

濾波器：發(fā)送端高斯低通濾波器BT＝0.3，接收端高斯低通濾波器BT＝0.5（如選用其他調(diào)制方式，如MPSK，可選用升余弦根濾波器）；

載波頻率：正弦載波fc＝2800Hz；

符號(hào)速率：f＝3200bps；

過(guò)采樣因子：K＝8、16，即抽樣頻率fs＝Kf；同步頭長(zhǎng)度：L＝32、256；

頻偏：Δf＝70Hz；

所加噪聲：加性高斯白噪聲；

逼近次數(shù)：n＝4（相當(dāng)于每個(gè)符號(hào)過(guò)采樣64個(gè)樣值點(diǎn)）。

圖5 Δf＝70Hz，L＝32和256時(shí)過(guò)采樣數(shù)K對(duì)誤碼率的影響

采用基于判決修正方法（DD）的最大似然估計(jì)方法，仿真結(jié)果如圖5所示。

不難發(fā)現(xiàn)：過(guò)采樣因子K和同步頭長(zhǎng)度L的增大都會(huì)使誤碼率降低，但對(duì)于相同長(zhǎng)度的同步頭，過(guò)采樣數(shù)K的增加，對(duì)誤碼率性能改善并不大，而該性能更多的是受同步頭長(zhǎng)度的影響。運(yùn)用此方法時(shí)，提高過(guò)采樣率對(duì)提高定時(shí)同步的精度意義并不大，可以通過(guò)不斷增加內(nèi)插逼近次數(shù)來(lái)獲得更好的誤碼性能。

6 結(jié)語(yǔ)

本文提出的符號(hào)同步算法具有性能優(yōu)良，算法高效，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。運(yùn)用多同步頭聯(lián)合累加檢測(cè)方法，能更加有效地提高正確檢測(cè)概率，同時(shí)具有良好的數(shù)據(jù)傳輸開(kāi)銷；此同步頭同時(shí)作為訓(xùn)練序列，利用最大似然估計(jì)的思想，通過(guò)等分內(nèi)插逼近的方法準(zhǔn)確找到每個(gè)碼元內(nèi)的最佳采樣時(shí)刻，只要內(nèi)插逼近的次數(shù)足夠多，就能達(dá)到滿意的誤碼性能。

［1］Gardner F M.Interpolation in digital modems–part I：Fundamentals［J］.IEEE Transaction On Communications，1993，41（3）：501－507.

［2］Martin Oerder，Heinrich Meyr.Digital filter and square timing recovery［J］.IEEE Transaction On Communications，1988，36（5）：605－612.

［3］Cowley W G，Sabel L P.The performance of two symbol timing recovery algorithm for PSK demodulators［J］.IEEE Transaction On Communications，1994，42（6）：2345－2355.

［4］Vesma J，Saramaki T.Interpolation Filters with Arbitrary Frequency Response for all digital Receivers［J］.IEEE Int.Symp，1996：568－571.

［5］Jaume Riba.A Performance Lower Bound for Quadratic Timing Recovery Accounting for the Symbol Transition Density［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2004，52（11）：3278－3288.

［6］侯戰(zhàn)斌.數(shù)字化鑒頻與位幀同步技術(shù)研究［D］.北方工業(yè)大學(xué)，2007：19－20.

［7］Lays.Erup F M，Gardner R A，Harris.Interpolation in digital modems－Part II：Implementation and Performance［J］.IEEE Transaction On Broadcasting，1993，41（6）：998－1008.

［8］肖瓏矯.突發(fā)通信中接收機(jī)的定時(shí)同步技術(shù)研究［D］.哈爾濱工程大學(xué)，2005：28－29.

［9］Ging Liu，Che Wei.Timing recovery techniques for digital cellular radio with pi／4DQPSK modulation［J］.Processing of ICC－92，1992：190－196.

［10］Andrea N D，Mengali U.A simulation study of clock recovery in QPSK and 9QPRS systems.IEEE Transaction On Commu－nications，1985，10：1139－1142.