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    用插值函數(shù)繪制離心泵葉片流線展開圖

    2013-10-15 08:11:06胡家順
    化工裝備技術(shù) 2013年2期
    關(guān)鍵詞:軸面分點流線

    胡家順 王 冕 楊 明 董 川 熊 勃

    (武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院)

    在葉輪的繪型中,當(dāng)完成流線的分點后需將流線在方格網(wǎng)圖上展開。傳統(tǒng)的繪制方法是用彈性較好的軟尺,彎折其兩端使與流線的入、出口安裝角相等,按軟尺自然形成的曲線繪出。若按此繪出的展開流線前后角度不平緩時,需修改葉片入口邊在軸面投影圖上的位置,再繪制流線的展開圖,直到符合要求為止??梢娫摲椒ㄕ`差大、效率低。

    因此不少研究者對此提出了改進(jìn)的方法,如文獻(xiàn) [1] 給出的用樣條函數(shù)和文獻(xiàn) [2] 給出的用貝賽爾曲線繪制流線展開圖的方法都十分方便有效,但均有數(shù)值計算量偏大之疵。

    本文給出了一種用n次插值函數(shù)繪制離心泵葉片流線展開圖的方法。利用該方法繪制葉片流線展開圖,可通過選擇不同的插值節(jié)點,方便地控制或改變?nèi)~片流線展開圖形,以滿足不同的設(shè)計要求。

    1 一元n點插值函數(shù)的構(gòu)成

    當(dāng)已知n個點時,可以通過全部n個點作一插值函數(shù)P(x),如式 (1)所示,可以用它求其任意節(jié)點間的函數(shù)插值。

    一元n點插值函數(shù),雖然在應(yīng)用時十分方便,但由于該插值函數(shù)為一高次方程,特別是當(dāng)n值很大時(節(jié)點數(shù)很多時),可能出現(xiàn)插值的不穩(wěn)定性。為避其弊端,現(xiàn)取n=4構(gòu)成插值函數(shù),用以繪制葉片流線展開圖。插值函數(shù)的具體表達(dá)式如下式所示。

    其一階導(dǎo)數(shù)為

    2 插值函數(shù)節(jié)點的確定

    2.1 節(jié)點0、1、3、4的確定

    節(jié)點0(x0,y0)和節(jié)點4(x4,y4)可選在流線的進(jìn)出口的兩個端點上 (見圖1),即

    式中m——流線在入口邊處的分點序號;

    φ——葉片包角;

    Δφ——任意軸面間夾角。

    為使流線兩端點處滿足

    可將節(jié)點1(x1,y1)和節(jié)點3(x3,y3)分別選在流線進(jìn)出口安裝夾角 β1和 β2的射線 l1和 l3上 (見圖1)。筆者經(jīng)大量算例表明,當(dāng)取

    時,流線能較好地滿足式 (4)、式 (5)所給出的條件,且各流線在距出口端約20°~30°時具有趨于重合的特性。x1、x3確定后,y1、y3可按下式計算:

    2.2 節(jié)點2的確定

    由式 (4)、式 (5)給出的流線兩個端點處的邊界條件,可分別解得

    圖1 n=4插值函數(shù)節(jié)點確定的示意圖

    其 中 A、 B、 C、 D、 E分 別 為 x=x0時 , i=0, 1, 2, 3, 4 的

    值; A′、 B′、C′、 D′、 E′分別為 x=x4時 , i=0, 1,2, 3,4 的

    值。y21應(yīng)等于y22,即

    這是一個以x2為未知量的非線性方程,可用數(shù)值方法求解得x2后代回到式 (10)或式 (11),便可求得y2。由于用數(shù)值方法求解方程 (14)過于繁復(fù),為簡化計算,在按式(6)~式(9)確定節(jié)點1、3后,可將節(jié)點2的x2值取為x0、x4的中點,即

    而將y2取為

    經(jīng)筆者大量算例表明,用上述簡化方法確定的節(jié)點所構(gòu)成的插值函數(shù)來繪制流線展開圖,均獲得較為滿意的結(jié)果。

    3 計算實例

    某電解液循環(huán)泵葉輪的繪型中,已知葉片流線進(jìn)口處的分點值及進(jìn)出口安裝角 (見表1),葉片包角及任意軸面間夾角為=110°、 Δφ=5°。

    表1 葉片流線分點值及進(jìn)出口安裝角

    先確定繪制前蓋板流線a插值函數(shù)的節(jié)點。

    節(jié)點0: 取x0=0,y0=9.34;

    節(jié)點 4: 取 x4=φ/Δφ=110°/5°=22, y4=0;

    節(jié)點1:按式 (6)取 x1=0.01,

    節(jié)點3:按式 (7)取x3=0.95x4=21,

    其中 A′、 B′、 C′、 D′、 E′由式 (13) 計算得到:

    將上述數(shù)值及y0、y1、y3、y4值一并代入上式得

    后蓋板流線b和中間流線c插值函數(shù)的節(jié)點確定方法同上。表2列出了各流線插值函數(shù)的節(jié)點以及由這些節(jié)點所構(gòu)成的插值函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)在兩個端點上的值。

    表2 插值函數(shù)節(jié)點值

    在確定了各流線的插值函數(shù)的節(jié)點后可按式(2)分別計算各不同x值時的P(x),得到一系列點(x,P(x)),連接這些點即得各流線的展開圖,其結(jié)果見圖2。

    圖2 Q25H58電解液循環(huán)泵葉片流線展開圖之一

    將表2中節(jié)點3的x3值取為21.5而其他條件均保持不變,據(jù)此繪出的各流線展開圖如圖3所示。 比較圖2、 圖3可見, 在90°~110°(即x=18~22)處有明顯的差異,圖2上各流線在此范圍的重合度較之圖3的要高,也更符合離心泵葉片流線在出口處的走向特性。

    圖3 Q25H58電解液循環(huán)泵葉片流線展開圖之二

    由此可見,用插值函數(shù)繪制葉片流線展開圖,通過選擇不同的插值節(jié)點,即能方便地控制或改變?nèi)~片流線展開圖形,以獲得滿意的結(jié)果。

    [1] 陳世亮.葉片流線展開的計算方法 [J] .流體工程,1992 (2): 44-45.

    [2] 謝俊.貝賽爾曲線設(shè)計離心泵葉輪的葉片型線 [J] .排灌機(jī)械, 2000, 18 (4): 1-3.

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