軸承位置對渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響研究

竇 唯，褚寶鑫

（北京航天動力研究所，北京 100076）

0 引言

低溫液體火箭發(fā)動機渦輪泵轉(zhuǎn)子通常在高轉(zhuǎn)速下工作，轉(zhuǎn)子的振動特性直接影響火箭發(fā)動機的性能。軸承為旋轉(zhuǎn)軸系提供剛度，其軸向位置對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性有著重要的影響，包括轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速、振型、不平衡響應以及穩(wěn)定性特性等[1-15]。因此，開展軸承軸向位置對渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響研究具有重大的理論和工程實際意義。

本文針對低溫液體火箭發(fā)動機渦輪泵轉(zhuǎn)子非線性系統(tǒng)開展了軸承軸向位置對動力穩(wěn)定性的影響研究。建立了渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學模型，分別研究了理想安裝情況下和非理想安裝情況下泵端和渦輪端軸承軸向位置變化對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，給出了失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨軸向位置的變化規(guī)律，為液體火箭發(fā)動機渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設計、故障診斷與安裝維護提供理論依據(jù)。

1 液體火箭發(fā)動機渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學模型

渦輪泵轉(zhuǎn)子軸系主要包括轉(zhuǎn)子、輪盤、軸承和密封等，本文采用有限元方法形成渦輪泵轉(zhuǎn)子軸系的剛度、質(zhì)量和陀螺矩陣；進而建立渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學模型。

1.1 非線性密封力模型

渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在實際運行時，其密封結(jié)構(gòu)不僅起到減弱流體逸出的作用，同時近似為滑動軸承結(jié)構(gòu)，滑動軸承的交叉剛度項可引起軸系的失穩(wěn)。本研究在計算時，將密封結(jié)構(gòu)做滑動軸承處理，并采用Capone非線性密封力模型。該模型由Capone于1986年推導得出，是基于短圓柱瓦軸承假設得到的[5-6]，即忽略了密封壓力沿周向變化產(chǎn)生的影響。

徑向滑動軸承的幾何關(guān)系如下圖1所示。

軸承長度即垂直于紙面方向為z軸；c為軸承的半徑間隙；圖中O為軸承的幾何中心，OJ為軸頸的幾何中心，R為軸頸半徑；W為軸頸所承受的載荷；Ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速；e為偏心距；θ為轉(zhuǎn)角；φ為偏位角。

由于Capone非線性密封力模型是基于短軸承理論假設提出的，因此可以忽略Reynold方程中壓力梯度沿周向的變化，即可得到流體密封中的壓力的微分方程的無量綱形式，可以簡寫為下式

可以獲得無量綱流體密封壓力表達式為

如圖1所示，當轉(zhuǎn)角θ在區(qū)間[β，β+π]內(nèi)時，流體密封所形成的壓力區(qū)域為正壓區(qū)，其中，角度β的值可由下式得到

由自由邊界條件可知，流體密封在空穴區(qū)和軸承兩端的壓力為零，故在軸承邊界上流體密封壓力為0。

對式 (2)沿著軸頸表面密封流體作用的弧段積分，就可得到非線性流體密封力的無量綱表達式如式 (4)所示

對上式積分，就可得到無量綱非線性密封力fx和fy的最后的表達式

將根據(jù)短圓柱瓦軸承理論得到的無量綱的Capone非線性密封力fx和fy轉(zhuǎn)換成有量綱的非線性密封力Fx和Fy，得到的表達式如式(9)所示

式中：σ為軸承特性參數(shù)；μ為軸承密封流體粘度；Ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；R為軸頸半徑；L為軸承有效長度；D為軸承直徑。

1.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學模型

將渦輪泵轉(zhuǎn)子劃分為若干個軸段，每個軸段單元采用Timoshenko梁單元模型，這樣就可建立渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的無阻尼自由運動微分方程。

彈性軸的無阻尼自由運動微分方程如式 (11)所示

式中：q為彈性軸節(jié)點的位移向量；Ms為彈性軸的一致 (協(xié)調(diào))質(zhì)量矩陣；Ks為彈性軸的剛度矩陣；Gs為彈性轉(zhuǎn)軸的陀螺矩陣。

由動能定理及根據(jù)Lagrange方程可以得到輪盤的運動方程如式 (12)所示

式中：Q(t)為作用在輪盤上的外力，N。

寫成矩陣形式為

式中：Md為輪盤的質(zhì)量矩陣；Gd為輪盤的陀螺矩陣。

由于制造加工及裝配等誤差的影響，實際運行的轉(zhuǎn)子輪盤系統(tǒng)不可避免地會存在不平衡量，且輪盤部分的不平衡量遠大于彈性軸段部分。本文在計算轉(zhuǎn)子軸系的穩(wěn)定性時只考慮輪盤結(jié)構(gòu)(即渦輪、離心輪、誘導輪)的影響。

不平衡激勵力的表達式為

式中：mi為輪盤的質(zhì)量；ei為該輪盤的偏心距；αi為該輪盤的初始偏位角。將不平衡力寫為向量的形式為

式中：Fu,i即為輪盤不平衡量在轉(zhuǎn)子節(jié)點i處所產(chǎn)生的不平衡激勵力，表達式中各行對應轉(zhuǎn)子節(jié)點i 處的四個自由度

然后根據(jù)渦輪泵軸系的軸承所在節(jié)點及作用在軸承上的載荷，從而可計算四個軸承剛度系數(shù)和四個支承結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)（不考慮游隙的影響）。

若軸頸中心的坐標為xs和ys，則軸承作用于渦輪機節(jié)點處的軸承力和分別為

將線性軸承力移到系統(tǒng)的運動微分方程的左端，對軸承所在的節(jié)點而言，系統(tǒng)的運動微分方程中與節(jié)點的振動有關(guān)的項可以寫成下式

因此，可以把每個軸承的剛度系數(shù)分別根據(jù)軸承所在的節(jié)點位置加到彈性軸的剛度矩陣上Ksi(i=1,2)，得到考慮了軸承剛度的轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的剛度矩陣Ksbi(i=1,2)。

把輪盤的質(zhì)量矩陣Md按照輪盤所在的節(jié)點對應的自由度加到彈性轉(zhuǎn)軸的一致質(zhì)量矩陣Ms對應的位置上，形成轉(zhuǎn)子－輪盤系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣。同理，把輪盤的陀螺矩陣Gd按照輪盤所在位置加到轉(zhuǎn)子的陀螺矩陣Gs上，形成轉(zhuǎn)子－輪盤系統(tǒng)的陀螺矩陣。

按照節(jié)點的排列順序?qū)⑥D(zhuǎn)子－輪盤系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和陀螺矩陣組合成系統(tǒng)的整體質(zhì)量矩陣M，整體剛度矩陣K和整體陀螺矩陣G。

根據(jù)系統(tǒng)的剛度矩陣、陀螺矩陣和質(zhì)量矩陣，可得到轉(zhuǎn)子－輪盤－軸承系統(tǒng)的無阻尼自由振動微分方程為

考慮不平衡激勵力、密封非線性液膜力及轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的阻尼作用時，可得到轉(zhuǎn)子－輪盤－軸承系統(tǒng)的有阻尼強迫振動微分方程為

1.3 渦輪泵轉(zhuǎn)子模型簡化

渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要由轉(zhuǎn)子、離心輪和誘導輪三部分組成。工作時，三部分結(jié)構(gòu)一起旋轉(zhuǎn)。建立有限元模型時，須對各部分連接區(qū)域進行適當簡化。該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要通過兩個滾動軸承支承，其中密封結(jié)構(gòu)也能起到一定的支承剛度作用，在穩(wěn)定性分析中均將其作滑動軸承近似處理。文中所提支承剛度均指軸承、鼠籠及阻尼器的總剛度。綜上，渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型如圖2所示，軸系總長420 mm，共劃分為41個梁單元及4個輪盤單元，由兩個滾動軸承及兩個迷宮密封結(jié)構(gòu)共同支承。

模型主要進行以下簡化：將渦輪轉(zhuǎn)子的軸套結(jié)構(gòu)等效為轉(zhuǎn)子的一部分；輪盤、誘導輪和離心輪簡化為規(guī)則結(jié)構(gòu)，并附加部分集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；動環(huán)結(jié)構(gòu)以集中質(zhì)量、集中轉(zhuǎn)動慣量近似處理。

2 液體火箭發(fā)動機渦輪泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性穩(wěn)定性分析

軸系穩(wěn)定性分析主要計算軸系由于低頻渦動產(chǎn)生液膜振蕩的頻率大小及低頻振蕩出現(xiàn)時的轉(zhuǎn)速，即失穩(wěn)轉(zhuǎn)速。因為流體密封力是非線性因素，并且系統(tǒng)的動力學模型是高維方程，本文采用直接積分法來求解系統(tǒng)的動態(tài)響應。因為Newmark方法的2個參數(shù)滿足一定值時，該方法是無條件穩(wěn)定的，所以本文采用Newmark方法逐步積分，計算一系列不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的動力學響應，確定轉(zhuǎn)子的低頻成分，其中轉(zhuǎn)速間隔取為200 r/min。數(shù)值仿真無量綱時間步長取π/500，Newmark方法的收斂偏差標準取2×10-6。仿真500個周期，舍棄非穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)，取后50個周期穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)進行分析。

軸系的穩(wěn)定性計算采用梁單元模型編程實現(xiàn)，計算時簡化了轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，去掉輪盤結(jié)構(gòu)，將輪盤的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量附加到相應質(zhì)心處；另一方面，穩(wěn)定性計算時密封結(jié)構(gòu)采用上文的非線性流體密封力模型。

理想情況下，軸系在安裝時各軸段軸線及密封、軸承的中心軸線等完全重合。實際工作中，軸系安裝時總會存在偏心，此時密封結(jié)構(gòu)的液膜厚度會發(fā)生變化，并影響轉(zhuǎn)子的動力特性。為此，分析中引入安裝偏心影響因素?？紤]到安裝偏心小于密封間隙，因此給定為10 μm。

2.1 無安裝偏心時泵端軸承位置變化時穩(wěn)定性分析

將軸承在模型原始位置處軸向調(diào)整±5 mm，計算軸承位置對軸系穩(wěn)定性的影響，由圖2可知，離心輪和渦輪分別支承軸承的外側(cè)，其中泵端軸承軸向位置為負值表示靠近離心輪，渦輪端軸承軸向位置為負值表示遠離渦輪輪盤。分別取泵端軸承軸向位置為-5 mm，0 mm，5 mm三個值，計算不同泵端軸承軸向位置時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化規(guī)律，不同泵端軸承軸向位置下失穩(wěn)轉(zhuǎn)速結(jié)果如表1所示，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨泵端軸承軸向位置的變化曲線見圖3。

表1 泵端軸承位置對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響Tab.1 Influence of position of bearing near pump on instability rotation speed

從表1中可以看出，當泵端軸承軸向位置在-5～5 mm范圍內(nèi)調(diào)整時，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化明顯，軸向位置為-5 mm時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速值已經(jīng)超出了計算范圍，且隨著泵端軸承遠離密封結(jié)構(gòu)軸系失穩(wěn)轉(zhuǎn)速減小，這是因為隨著泵端軸承逐漸遠離密封結(jié)構(gòu)，在轉(zhuǎn)子靜撓曲及泵端軸承處轉(zhuǎn)子靜變形相對不變的條件下，轉(zhuǎn)子在密封處靜變形加大，密封激勵力增大，密封非線性激勵力越強，引發(fā)軸系不穩(wěn)定因素增多，從而導致軸系更容易失穩(wěn)。

為了分析低頻成分的變化規(guī)律，圖4中給出了無安裝偏心時不同泵端軸承軸向位置下離心輪后凸肩密封節(jié)點的三維譜圖。

當安裝偏心為0時，不同泵端軸承軸向位置下軸系也只有一階渦動，且一階渦動頻率均在12 600 r/min附近。從三維譜圖的基頻曲線也可以看出，泵端軸承軸向位置在小幅度內(nèi)變化時，軸系臨界轉(zhuǎn)速的變化也很小，一階臨界轉(zhuǎn)速約為9 000 r/min，二階臨界轉(zhuǎn)速約為24 000 r/min。

綜上，泵端軸承軸向位置對軸系的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響較大，但對一階渦動的幅值及頻率影響較小。隨著泵端軸承逐漸遠離密封結(jié)構(gòu)，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速逐漸減??；一階渦動的頻率約為12 600 r/min。

2.2 無安裝偏心時渦輪端軸承位置變化時穩(wěn)定性分析

分別取渦輪端軸承軸向位置為-5 mm，0 mm，5 mm三個值研究不同渦輪端軸承軸向位置時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化規(guī)律，不同渦輪端軸承軸向位置下失穩(wěn)轉(zhuǎn)速結(jié)果見表2所示，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨渦輪端軸承軸向位置的變化曲線見圖5。

表2 渦輪端軸承軸向位置對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響Tab.2 Influence of radial position of bearing near turbine on instability rotation speed

從表2中可以看出，渦輪端軸承軸向位置變化時，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速也變化顯著，但變化幅度小于泵端軸承軸向位置時的結(jié)果，且隨著渦輪端軸承靠近渦輪輪盤，軸系失穩(wěn)轉(zhuǎn)速增大，這是因為隨著渦輪端軸承逐漸遠離密封結(jié)構(gòu) (即靠近渦輪輪盤)，相當于泵端軸承逐漸靠近密封，故穩(wěn)定性結(jié)果與改變泵端軸承軸向位置時的結(jié)果相反。但由于該作用為間接的，因而沒有直接改變泵端軸承軸向位置時效果顯著。

為分析低頻成分的變化規(guī)律，圖6中給出無安裝偏心時不同渦輪端軸承軸向位置下離心輪后凸肩密封節(jié)點的三維譜圖。其中，渦輪端軸承軸向位置為0 m時的結(jié)果在圖4（b）中已經(jīng)給出，此處予以省略。

同樣，當安裝偏心為0時，不同渦輪端軸承軸向位置下軸系也只有一階渦動，且一階渦動頻率均在12 600 r/min附近；雖然失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化顯著，但一階渦動的幅值幾乎不隨軸向位置的變化而變化。從三維譜圖的基頻曲線也可看出，渦輪端軸承軸向位置在小幅度內(nèi)變化時，軸系臨界轉(zhuǎn)速的變化也很小，一階臨界轉(zhuǎn)速約為9 000 r/min，二階臨界轉(zhuǎn)速約為24 000 r/min。

綜上，渦輪端軸承軸向位置對軸系的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響仍較大，但小于泵端軸承軸向位置的影響效果，對一階渦動的幅值及頻率影響很小。隨著渦輪端軸承逐漸靠近渦輪輪盤結(jié)構(gòu)，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速逐漸增大；一階渦動的頻率約為12 600 r/min。

2.3 有安裝偏心時泵端軸承軸向位置變化時穩(wěn)定性分析

與安裝偏心等于0時的取值相同，計算安裝偏心為10 μm時不同泵端軸承軸向位置下的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，其結(jié)果見表3。此時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨軸向位置的變化曲線見圖7（與安裝偏心等于0時的結(jié)果進行對比）。

表3 泵端軸承軸向位置對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響Tab.3 Influence of radial position of bearing near pump on instability rotation speed

從圖7中可以看出，增大安裝偏心后，泵端軸承軸向位置對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響仍然較大，此時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化規(guī)律與安裝偏心為0時的結(jié)果基本相同，變化幅度略有增大，但數(shù)值較安裝偏心為0時增大較大，軸向位置為-5 mm時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速值也超出了計算范圍。

為分析低頻成分的變化規(guī)律圖8中給出有安裝偏心時不同泵端軸承軸向位置下離心輪后凸肩密封節(jié)點的三維譜圖。

安裝偏心增大后，軸系出現(xiàn)二階、三階渦動；隨階數(shù)增加，渦動幅值迅速降低，但各階渦動幅值基本不隨泵端軸承軸向位置的改變而改變；一階、二階渦動頻率近似為12 600 r/min，24 000 r/min。

綜上所述，增大安裝偏心后，泵端軸承軸向位置對軸系的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響仍然較大，但對各階渦動的幅值及頻率大小影響很?。煌瑫r，安裝偏心增大會導致二階、三階渦動的出現(xiàn)。

2.4 有安裝偏心時渦輪端軸承軸向位置變化時穩(wěn)定性分析

與安裝偏心等于0時的取值相同，計算安裝偏心為10 μm時不同渦輪端軸承軸向位置下的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，其結(jié)果見表4。此時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨軸向位置的變化曲線見圖9（與安裝偏心等于0時的結(jié)果進行對比）。

表4 有安裝偏心時渦輪端軸承位置對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響Tab.4 Influence of position of bearing near turbine on instability rotation speed when installation eccentricity exists

從圖9中可以看出，增大安裝偏心后，渦輪端軸承軸向位置對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響仍然較大，此時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化規(guī)律與安裝偏心為0時的結(jié)果基本相同，變化幅度略有增大，但數(shù)值較安裝偏心為0時增大較大，同時軸向位置為5 mm時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速值超出了計算范圍。

為分析低頻成分的變化規(guī)律，圖10中給出了有安裝偏心時不同渦輪端軸承軸向位置下離心輪后凸肩密封節(jié)點的三維譜圖。其中，安裝偏心10 μm，渦輪端軸承軸向位置為0時的結(jié)果在圖8中已經(jīng)給出，此處予以省略。

與泵端軸承軸向位置變化時的結(jié)果類似，安裝偏心增大后，軸系開始出現(xiàn)二階和三階渦動；隨著階數(shù)增加，渦動幅值迅速降低，三階渦動的幅值幾乎為零，但各階渦動幅值基本不隨渦輪端軸承軸向位置的改變而改變；一階、二階渦動的頻率近似為12 600 r/min和24 000 r/min。

綜上所述，增大安裝偏心后，渦輪端軸承軸向位置對軸系的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響仍然較大，但對各階渦動的幅值及頻率大小影響很小。

3 結(jié)論

通過研究軸承軸向位置對液體火箭發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響研究，得出以下結(jié)論：

1)安裝偏心為0時，不論軸承軸向位置如何變化，軸系均只存在一階渦動；增大安裝偏心后，軸系開始出現(xiàn)二階、三階渦動。

2)各階渦動幅值和頻率基本不受軸承軸向位置參數(shù)變化影響，隨階數(shù)增加，各階渦動幅值迅速降低，一階、二階渦動頻率近似為1 260 r/min，24 000 r/min；隨著安裝偏心增大，低頻渦動幅值基本呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，但一階渦動幅值隨安裝偏心增大逐漸減小。

3)渦輪端軸承軸向位置對軸系的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響較大；泵端、渦輪端軸承軸向位置變化時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速變化規(guī)律相反，泵端軸承遠離密封結(jié)構(gòu)時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速減小，而渦輪端軸承遠離密封結(jié)構(gòu)時失穩(wěn)轉(zhuǎn)速增大。

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