鉛球運(yùn)行的再認(rèn)識——基于動力學(xué)方程

張 偉

(北京體育大學(xué)研究生院，北京100084)

以中國知網(wǎng)期刊為檢索數(shù)據(jù)源，檢索主題為力學(xué)，并含鉛球，精確匹配2004-2014年發(fā)表于核心期刊的論文，見附錄1。從中可以發(fā)現(xiàn)，有20篇論文主要是通過生物力學(xué)的方法進(jìn)行了研究，對鉛球出手前的各項(xiàng)身體參數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)地分析，大致有兩個目的:使讀者了解優(yōu)秀運(yùn)動員的生物力學(xué)特證;探求出手角度和初速度的最佳組合方式;有2篇論文是運(yùn)用了質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)和數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法，但解釋的是出手角度和初速度的關(guān)系，不是針對鉛球出手后的受力進(jìn)行分析。因此，本文從一個新的視角—動力學(xué)的角度分析鉛球的運(yùn)行軌跡，從理論的角度全面論述其受力過程。

1 研究對象與方法

本文以鉛球出手到落地的整個運(yùn)行過程為研究對象，并將運(yùn)行過程分為兩個階段，從出手到最高點(diǎn)為第一階段，鉛球位于最高點(diǎn)時其垂直方向的速度為零;第二階段為從最高點(diǎn)到落地。本文主要運(yùn)用動力學(xué)定律、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程和數(shù)學(xué)方程對鉛球的整個運(yùn)行過程進(jìn)行分析，其公式的基本表達(dá)形式為:d/dt(mV)=F。運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)的方法，根據(jù)實(shí)際比賽中測得的數(shù)據(jù)，代入質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程，求得兩種不同受力情況下鉛球的水平位移，并運(yùn)用SPSS進(jìn)行相關(guān)性和差異性檢驗(yàn)，為最后得出結(jié)論提供依據(jù)。本文主要分析的問題:

1)考慮鉛球所有受力和只受重力兩種不同的情況下，從出手到落地的運(yùn)行軌跡方程;

2)根據(jù)實(shí)際比賽中測得的出手初速度和角度分析空氣阻力和浮力對擲鉛球的影響。

2 結(jié)果與分析

2.1 全面受力分析下的鉛球運(yùn)行軌跡

在牛頓的經(jīng)典力學(xué)體系中，物體的質(zhì)量是恒量，時間與空間也是不變的。然而人們通過對近代物理的學(xué)習(xí)已經(jīng)認(rèn)識到，任何物體的質(zhì)量、時間和空間都是隨著物體速度的變化而變動的，但當(dāng)物體運(yùn)行的速度遠(yuǎn)小于光速時，物體速度的變化對其質(zhì)量、時間和空間的影響是可以忽略不計的(見圖1、圖2、圖3、表1、表2、表3)。由于鉛球運(yùn)行時其速度(Vt?V光速)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速，物理表達(dá)式因此本文不考慮鉛球速度變化對其產(chǎn)生的影響。

圖1 鉛球在空中的運(yùn)動軌跡

當(dāng)一個質(zhì)點(diǎn)受到幾個力(F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n)的共同作用時，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)第二定律，可以得出ma，矢量形式的微分方程是［2］。把整個空間看做一個三維整體，鉛球在xoy平面內(nèi)運(yùn)行，因此可以得出鉛球所受力在x軸上的投影為，在 y軸上的投影為根據(jù)圖2便可得出，x軸方向md2x/dt2=f2，y軸方向 md2y/dt2=f1+G-F(上升階段)，md2y/dt2=G-f1-F(下降階段)。f2=fsina，取f=-μV，即阻力與速度方向相反，μ為粘滯阻尼系數(shù)。左圖為上升階段的受力情況，右圖為下降階段的受力情況。

表1 圖1中各符號屬性

圖2 鉛球運(yùn)行過程中的受力

表2 圖2中各符號屬性

圖3 鉛球運(yùn)行過程中的加速度

水平方向，a2=f2/m;垂直方向a1=f1/m，a=ρVg/m，V表示鉛球體積，左圖為上升段，右圖為下降段。以出手位置為原點(diǎn)，y軸向下為正，如圖1所示。上升階段，鉛球的運(yùn)動微分方程為:，當(dāng)t=0時，，對上述兩式定積分可得:

求得鉛球速度隨時間變化的規(guī)律為:

t=0時，x=0，y=0，在x、y軸方向上做鉛球速度隨時間變化的定積分得:

求得鉛球在x、y軸方向的運(yùn)行軌跡分別為:

即鉛球在xoy平面內(nèi)上升階段的運(yùn)行軌跡。下降階段，鉛球在x軸方向上的受力沒有變化，因此鉛球在x軸的運(yùn)行軌跡不變，在y軸方向，阻力垂直分量f1方向雖然發(fā)生改變，但是始終與速度方向相反，因此鉛球在y軸的微分方程同樣為:

t'=0時，V'y=0，在y軸方向做鉛球速度隨時間變化的定積分得:

2.2 重力作用下的鉛球運(yùn)行軌跡

根據(jù)2.1的計算過程，將鉛球的運(yùn)行過程分為上升和下降兩個階段，分別建立兩個不同坐標(biāo)，僅考慮重力的影響，水平方向不受力的影響，垂直方向受重力影響(見圖4)。上升階段鉛球速度隨時間變化的規(guī)律為:

圖4 鉛球下降方程坐標(biāo)示意圖

可求得鉛球的軌跡方程為:

下降階段鉛球速度隨時間變化的規(guī)律為:

可求得鉛球的軌跡方程為:

2.3 鉛球運(yùn)行軌跡分析

由鉛球在x軸方向的軌跡方程可發(fā)現(xiàn)，鉛球的投擲距離與鉛球出手的初速度(V0)和出手角度α的大小呈正相關(guān)，并隨著時間t的變化而改變。

當(dāng)鉛球位于最高點(diǎn)時，取垂直方向的速度為零。下面以第11屆全運(yùn)會女子鉛球前八名為例來分析空氣阻力與浮力對投擲距離的影響。

2.3.1 全面受力分析

考慮所有受力的情況下，當(dāng)上升階段Vy=0時，根據(jù)(2)式可求出鉛球到達(dá)最高點(diǎn)的時間T，將時間T分別代入(3)(4)中，可以算出上升階段水平方向和垂直方向的位移，如表6所示。根據(jù)H2=H1+y，將H2代入(6)中，可求得下降階段的時間T'，將T'代入(3)中，可求得下降階段的水平位移，從而求得總位移S1，見表5。

表4 第11屆全運(yùn)會女子鉛球前八名的出手速度與角度［1］

表5 上升階段數(shù)據(jù)

由表4可以看出，運(yùn)動員的出手角度都低于45°，因此鉛球出手后的速度Vx＞Vy，垂直方向的加速度遠(yuǎn)大于水平加速度，這使得鉛球水平方向的位移大于垂直方向，如表5和表7所示。不論是全面受力分析下還是重力分析下，無論是上升階段還是下降階段，從鞏立姣到崔爽，水平位移都呈現(xiàn)出減小的趨勢，這與實(shí)際的投擲距離相符，個別數(shù)據(jù)波動比較大，這是由于實(shí)際測得的初速度和出手角度以及計算過程都存在著一定的誤差。

2.3.2 重力計算

考慮只受重力的情況下，當(dāng)上升階段Vy=0時，根據(jù)⑺式可求出鉛球到達(dá)最高點(diǎn)的時間T，見表8。將數(shù)據(jù)T分別代入(8)(9)中，可以算出上升階段水平方向和垂直方向的移動距離，如表8所示。根據(jù)H2=H1+y，將H2代入(13)中，可求得下降階段的時間T'，將T'代入(12)中，可求得下降階段的水平位移，從而計算得總位移S2，計算得各項(xiàng)數(shù)據(jù)如表7和表8所示。

表6 下降階段數(shù)據(jù)

表7 上升階段數(shù)據(jù)

表8 下降階段數(shù)據(jù)

根據(jù)2.3.1與2.3.2計算的結(jié)果，可求出全面受力分析與重力分析下差的絕對值，以及絕對值與實(shí)際投擲距離的比值，見表9。

由表10可以看出，水平位移差絕對值 Δ S在(0.12～0.80)m的范圍內(nèi)，水平位移差絕對值與實(shí)際投擲距離的比值，不同運(yùn)動員的有差異，這與運(yùn)動員的出手初速度和出手角度有關(guān)。如果僅求水平位移的差值ΔS，便會發(fā)現(xiàn)差值ΔS的方向不同，這是由于在全面受力作用下，不同運(yùn)動員出手初速度和出手角度的組合不同，以及受到阻力和浮力的影響，使得求得的總時間與重力作用的總時間差值正負(fù)不同，從而使得不同運(yùn)動員的ΔS方向各異。因此，不同運(yùn)動員擲鉛球時，空氣阻力和浮力可能產(chǎn)生正影響，也可能產(chǎn)生負(fù)影響(見表10、表11)。

表9 兩種不同受力作用下水平位移差值

表10 Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)

表11 成對樣本t檢驗(yàn)

對兩組數(shù)據(jù)S1與S2進(jìn)行Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)和成對樣本t檢驗(yàn)，如表11和表12所示。從表11可知，P=0.401;在表12 中，P=0.319 ，兩種檢驗(yàn)都顯示出兩組數(shù)據(jù)的差異不顯著，不具有統(tǒng)計學(xué)意義。

3 結(jié)論

1)根據(jù)鉛球的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程可知，鉛球的水平速度與出手角度和初速度有關(guān)，在全面受力分析下，水平速度隨著時間逐漸減小，重力分析下鉛球的水平速度是恒量。

2)鉛球的水平位移與出手角度和初速度有關(guān)，在全面受力分析下，由于出手角度和初速度的組合不同，空氣阻力和浮力對投擲距離的影響可能是積極的，也可能是消極的。

3)全面受力分析下與重力分析下的絕對值與實(shí)際投擲距離比值波動比較大，這是因?yàn)槌鍪纸嵌群统跛俣纫约罢麄€計算過程中都存著一定的誤差。

4)由表11和表12可知，S1和S2的差異性不具有統(tǒng)計學(xué)意義，因此可以忽略空氣阻力和浮力的影響。

附錄1 文獻(xiàn)分布情況

［1］苑延剛，鄭富強(qiáng)，李愛東，李汀.第11屆全運(yùn)會女子鉛球項(xiàng)目前8名運(yùn)動員關(guān)鍵運(yùn)動技術(shù)參數(shù)三維錄像分析［J］.課題成果，2013，21(4):3-9.

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