數(shù)字信號處理中的最小相位系統(tǒng)初探

陶 丹，陳后金

(北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院國家電工電子實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，北京100044)

最小相位系統(tǒng)在信號處理等相關(guān)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，如同態(tài)系統(tǒng)、因果穩(wěn)定數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)、倒譜和倒濾波的計(jì)算和處理等。在現(xiàn)有“數(shù)字信號處理”課程教學(xué)環(huán)節(jié)中，主要集中于對最小相位系統(tǒng)本身定義及特性的抽象闡述，相關(guān)的教學(xué)案例和素材也極少。

為更深刻地了解最小相位系統(tǒng)特性及工作機(jī)理，本文利用Matlab中FDATool工具設(shè)計(jì)IIR濾波器和與之對應(yīng)的最小相位系統(tǒng)，通過對比信號經(jīng)過兩個(gè)系統(tǒng)的時(shí)域波形變化，對最小相位系統(tǒng)的重要性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證，以助學(xué)生對最小相位系統(tǒng)的理解。

1 最小相位系統(tǒng)定義與性質(zhì)

1.1 定義

零極點(diǎn)都在z平面單位圓內(nèi)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)，記作Hmin;類似地，零點(diǎn)有在z平面單位圓內(nèi)也有在單位圓外的因果穩(wěn)定系統(tǒng)，稱為混合相位系統(tǒng)，記作H;零點(diǎn)全在z平面單位圓外的因果穩(wěn)定系統(tǒng)，稱為最大相位系統(tǒng)，記作Hmax。

從定義來看，最小相位系統(tǒng)一定是因果穩(wěn)定系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)稱為最小相位序列。

1.2 性質(zhì)

［性質(zhì)1] 在具有相同幅頻特性的因果穩(wěn)定系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)具有最小的相位延時(shí)。

我們通過對二階最小相位系統(tǒng)Hmin、同幅頻特性的混合相位系統(tǒng)H和同幅頻特性的最大相位系統(tǒng)Hmax的相位進(jìn)行比較(如圖1所示)，可以發(fā)現(xiàn)最小相位系統(tǒng)有負(fù)的相位，但相位絕對值最小。其中Hmin(z)，H(z)和Hmax(z)表達(dá)式如下:

其中，系統(tǒng)的幅頻特性主要受零極點(diǎn)分布的影響，而與系統(tǒng)函數(shù)的增益K無關(guān)。當(dāng)兩因果穩(wěn)定系統(tǒng)具有相同零極點(diǎn)分布，增益滿足線性比例關(guān)系時(shí)，它們與同階Hmin(z)相位相比可以得到類似結(jié)論。

圖1 H、Hmin和Hmax相位比較圖

［性質(zhì)2]任一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可表示為一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)的級聯(lián)，即H(z)=Hmin(z)Am(z)。

證明:設(shè)系統(tǒng)H(z)只有一個(gè)零點(diǎn)z=1/a*在單位圓外，|a|＜1，那么該H(z)就可以表示成H(z)=H1(z)(z-1－a*)。根據(jù)定義，H1(z)是一個(gè)最小相位系統(tǒng)。

H(z)也可等效的表示為

由此可得，H(z)=Hmin(z)A1(z)。以此類推可以得到H(z)=Hmin(z)Am(z)。證畢。

Am(z)是全通系統(tǒng)，滿足系統(tǒng)幅度響應(yīng)恒為常數(shù)，故H(z)和Hmin(z)必然滿足相同的幅度響應(yīng)。

［性質(zhì)3] 在幅頻特性|H(ejω)|相同的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)具有最小的群延時(shí)。

［性質(zhì)4] 在幅頻特性|H(ejω)|相同的系統(tǒng)中，存在唯一的最小相位系統(tǒng)。

［性質(zhì)5] 對具有相同傅里葉變換幅度的各序列，最小相位序列的hmin(0)最大。

性質(zhì)3、4、5可由性質(zhì)1得到，推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)［1] 。

2 IIR濾波器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

我們采用Matlab工具設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)最小相位系統(tǒng)并驗(yàn)證相關(guān)性質(zhì)。根據(jù)性質(zhì)2，考慮設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定IIR濾波器(系統(tǒng))，并找到其對應(yīng)最小相位系統(tǒng)和全通系統(tǒng)的級聯(lián)形式。由于IIR濾波器和最小相位系統(tǒng)均為非線性相位系統(tǒng)，信號經(jīng)過這兩種系統(tǒng)后時(shí)域波形會(huì)發(fā)生滯后平移。通過比較輸出時(shí)域波形的滯后平移程度，驗(yàn)證最小相位系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì)。IIR濾波器的經(jīng)典設(shè)計(jì)方法是設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器，利用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器［2]。然而，經(jīng)典設(shè)計(jì)方法僅限于幾種標(biāo)準(zhǔn)的低通、高通、帶通和帶阻濾波器設(shè)計(jì)，比如Butterworth濾波器、切比雪夫I/II型濾波器和橢圓濾波器等，對具有任意形狀或者多頻帶濾波器的設(shè)計(jì)則無能為力［3]。IIR濾波器的直接設(shè)計(jì)方法是利用Matlab的Yulewalk函數(shù)［3]，使用最小二乘法擬合給定頻率，使設(shè)計(jì)的濾波器達(dá)到期望頻率特性。

在本實(shí)驗(yàn)中，采用Matlab中FDATool工具來設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)IIR濾波器，并找到相應(yīng)最小相位系統(tǒng)和全通系統(tǒng)的級聯(lián)形式。具體可以采用如下方法:

(1)利用FDATool工具設(shè)計(jì)滿足一定頻率特性的IIR濾波器，如圖2所示。

圖2 利用FDATool工具設(shè)計(jì)IIR濾波器

(2)將IIR濾波器單位圓上零點(diǎn)拉出單位圓，得到零點(diǎn)全部在單位圓外的IIR濾波器。

(3)對調(diào)IIR系統(tǒng)函數(shù)H(z)二階式表達(dá)中分子系數(shù)，即可得到二階式表達(dá)的直接II型最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù):

其中，|a|和|b|＞1，|c|和|d|＜1。Hout(z)是零點(diǎn)都在單位圓外的因果穩(wěn)定系統(tǒng)，Hout(z)對應(yīng)的最小相位系統(tǒng)可表示為

(4)通過IIR和最小相位系統(tǒng)兩者系統(tǒng)函數(shù)相除，可以得到全通系統(tǒng)函數(shù)。

相比于經(jīng)典和直接設(shè)計(jì)方法，利用FDATool工具設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)IIR濾波器更加直觀和便捷。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證步驟

1)設(shè)定輸入信號—不失一般性選擇兩種不同頻率的正弦信號疊加作為輸入信號:

2)利用Matlab的FDATool工具設(shè)計(jì)IIR系統(tǒng);

3)由IIR濾波器求得等幅度響應(yīng)的最小相位系統(tǒng)—根據(jù)前述介紹，設(shè)計(jì)得到IIR濾波器、最小相位系統(tǒng)和全通系統(tǒng)，相應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)分別表示為

三個(gè)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布如圖3所示。圖中o和x分別表示零點(diǎn)和極點(diǎn)。圖3(b)所示的最小相位系統(tǒng)的零極點(diǎn)都在z平面單位圓內(nèi)，且與圖3(a)所示的IIR系統(tǒng)的零點(diǎn)成倒數(shù)關(guān)系，極點(diǎn)相同。圖3(c)所示的全通系統(tǒng)的零極點(diǎn)存在共軛倒數(shù)的關(guān)系，即p=(1/z)。而且，全通系統(tǒng)的零點(diǎn)和IIR系統(tǒng)零點(diǎn)相同，極點(diǎn)位置是最小相位系統(tǒng)零點(diǎn)的位置。

圖3 H(z)、Hmin(z)和Am(z)零極點(diǎn)分布

三個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如圖4所示。對比圖4(a)所示IIR系統(tǒng)和圖4(b)的最小相位系統(tǒng)，它們具有相同的幅度響應(yīng)。圖4(c)所示的全通系統(tǒng)幅度響應(yīng)恒為常數(shù)，即0dB。由圖4的相位響應(yīng)曲線可見:最小相位系統(tǒng)具有最小的相位延時(shí)。

圖4 H(z)、Hmin(z)和Am(z)頻率響應(yīng)

4)比較輸入信號經(jīng)過IIR濾波器和最小相位系統(tǒng)的輸出信號時(shí)域波形—輸入信號采樣頻率為100kHz，低通濾波器截止頻率為12kHz。如圖5所示，輸入信號通過IIR系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)后，輸出信號的時(shí)域波形發(fā)生變化，這主要是由于兩個(gè)系統(tǒng)相位非線性變化導(dǎo)致高頻分量被濾除所引起的。特別地，相比于最小相位系統(tǒng)，輸入信號通過IIR系統(tǒng)后的時(shí)域波形平移明顯，說明最小相位系統(tǒng)具有最小的相位延遲。

4 結(jié)語

本文闡述了最小相位系統(tǒng)的含義和性質(zhì)并利用Matlab中FDATool工具設(shè)計(jì)最小相位系統(tǒng)。

圖5 通過IR濾波器和最小相位系統(tǒng)后的時(shí)域波形對比

本文所述的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)驗(yàn)證了最小相位系統(tǒng)的幾個(gè)重要性質(zhì)。筆者的“數(shù)字信號處理”課程教學(xué)實(shí)踐證明:該教學(xué)案例有助于學(xué)生對最小相位系統(tǒng)的原理、設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)形成清楚和直觀的認(rèn)知。

［1] 程佩青.《數(shù)字信號處理教程》第二版［M] .北京:清華大學(xué)出版社.2007.2

［2] 陳后金，薛健，胡健.《數(shù)字信號處理》第二版［M] .北京:高等教育出版社.2008.11

［3] 胡曉東，董辰輝.《MATLAB從入門到精通》［M] .北京:人民郵電出版社.2010.6