基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖土材料變形研究

段曉夢，殷德順，李彥青，張 偉

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇南京 210098)

巖土材料的變形特性十分復(fù)雜，剪縮剪脹性是其最大特點(diǎn)之一?，F(xiàn)有的剪縮剪脹研究多以常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)為基礎(chǔ)，針對不同種類的巖土材料提出了相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系或變形理論［1－2］。然而這些研究得到的理論模型多以某一種特定巖土材料的試驗(yàn)結(jié)果為基礎(chǔ)，適用性有所局限。模型參數(shù)大多形式復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用不夠便捷。另外，現(xiàn)有的巖土材料變形研究更多地關(guān)注體積變形，很少有人探討橫向－縱向應(yīng)變關(guān)系的問題。筆者認(rèn)為材料的橫向－縱向應(yīng)變關(guān)系的復(fù)雜性是導(dǎo)致變形特性復(fù)雜的主要原因。

材料的橫向－縱向應(yīng)變關(guān)系常用泊松比來表示。Tschoegl等［3］將黏彈性材料具有時(shí)間依賴性的泊松比記為ν(t)，從而在某些情況下可以用ε'=－ν(t)ε描述黏彈性材料的橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系。但對于不同的加載方式，ν(t)具有不同的表達(dá)式，且形式較為復(fù)雜，應(yīng)用時(shí)不夠簡潔。另外，泊松比的本質(zhì)是橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系，泊松比研究的根本目的是為了能夠便捷地通過縱向應(yīng)變求出橫向應(yīng)變。而黏彈性材料泊松比較理想彈性材料的泊松比復(fù)雜得多，所以筆者希望通過直接探討橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系來研究巖土材料的變形特性。

分?jǐn)?shù)階微積分作為數(shù)學(xué)理論的一個(gè)重要分支，已被成功用于許多復(fù)雜現(xiàn)象的研究中，諸如黏彈性力學(xué)［4］、電磁學(xué)［5］、動(dòng)力學(xué)［6］等領(lǐng)域。殷德順等［7］還將分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于巖土材料流變模型的研究中。利用分?jǐn)?shù)階微積分建立的物理模型能夠較好地描述具有記憶及時(shí)間依賴性的物理現(xiàn)象，且具有參數(shù)少、形式簡單的優(yōu)點(diǎn)。因此，筆者嘗試用分?jǐn)?shù)階微積分建立一種既能較好地描述巖土材料剪縮剪脹現(xiàn)象，又形式簡單、參數(shù)少，還能適用于多種巖土材料的變形模型。分?jǐn)?shù)階微積分的定義有很多種，筆者基于Riemann－Liouville定義的分?jǐn)?shù)階微積分［8］建立巖土材料分?jǐn)?shù)階橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系和分?jǐn)?shù)階體積應(yīng)變模型，希望探索一條研究巖土材料變形的新思路。

1 分?jǐn)?shù)階巖土應(yīng)變模型

1.1 分?jǐn)?shù)階橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系

對于理想彈性材料，應(yīng)力與應(yīng)變之間遵循虎克定律，即σ=Eε。對于非理想彈性材料，Smit等［9］基于分?jǐn)?shù)階微積分，提出了分?jǐn)?shù)階應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)模型:

式中:E，θ——材料常數(shù);α——分?jǐn)?shù)階階數(shù)。

模型(1)利用了分?jǐn)?shù)階微積分的優(yōu)點(diǎn)，具有參數(shù)少、形式簡單的特點(diǎn)，能夠反映材料力學(xué)性質(zhì)的時(shí)間依賴性。

在彈性力學(xué)中，對應(yīng)于虎克定律有橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系式ε'=－νε，其中ε'表示橫向應(yīng)變，ε表示縱向應(yīng)變。在Wong等［10］的研究中，可以發(fā)現(xiàn)軟骨在應(yīng)力松弛時(shí)荷載隨時(shí)間的變化曲線與體積隨時(shí)間的變化曲線很相似。因此，可以設(shè)想是否也存在著一種與分?jǐn)?shù)階應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系相對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系，于是筆者大膽地提出如下公式(即分?jǐn)?shù)階橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系):

式中:φ，η——材料常數(shù);β——應(yīng)變關(guān)系分?jǐn)?shù)階階數(shù)，能夠反映黏彈性材料在不同條件下的變形特性及變形能力，與材料性質(zhì)及加載條件等有關(guān)。

當(dāng)β=0時(shí)，式(2)能夠退化成ε'=－νε，此時(shí)式(2)中的φ就成為材料的泊松比ν。如果β是常量，則φηβ也是常量，可記為λ。在等應(yīng)變率加載時(shí)，縱向應(yīng)變表示為ε=ν0t(ν0為常數(shù))。通過式(2)可以得到

式(3)就是等應(yīng)變率加載時(shí)的分?jǐn)?shù)階橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系。根據(jù)式(3)可以得到β取不同值時(shí)的|ε'|～|ε|理論曲線(圖1)。由于式(2)中對時(shí)間求導(dǎo)，致使λ的量綱與泊松比ν的不相同，所以λ并不是材料的泊松比，類似于式(1)中的參數(shù)Eθα描繪了具有流變性的非理想彈性材料的性質(zhì)，與材料的微觀結(jié)構(gòu)特性有關(guān)，其明確的物理意義有待進(jìn)一步研究。

1.2 分?jǐn)?shù)階體積應(yīng)變

在一定條件下，體積應(yīng)變可以表示為 εv=ε+2ε'。將式(3)代入該式能夠得到等應(yīng)變率加載時(shí)的分?jǐn)?shù)階體積應(yīng)變公式:

圖1 等應(yīng)變率加載|ε'|～|ε|理論曲線Fig.1 |ε'|-|ε|theoretical curves at a constant longitudinal strain rate

根據(jù)式(4)，當(dāng)－1＜β＜0且ε＜0，即材料受壓時(shí)，β取不同值可得如圖2所示的理論曲線。這些曲線分別描述巖土材料在常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)中的剪縮與剪脹現(xiàn)象。容易發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階微積分在變形建模中能夠發(fā)揮其巨大優(yōu)勢:新模型參數(shù)少、形式簡單，能夠充分反映材料變形的時(shí)間依賴性，且參數(shù)易于確定，適用性廣泛，并能合理描繪巖土材料的剪縮剪脹性。

2 模型驗(yàn)證

由于巖土不能受拉，而高分子材料是典型的黏彈性材料，所以首先利用高分子材料來驗(yàn)證拉伸加載時(shí)分?jǐn)?shù)階變形模型的正確性，然后再通過3種具有代表性的巖土材料的變形數(shù)據(jù)來驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階變形模型在常規(guī)三軸壓縮情況下的正確性。根據(jù)式(3)可知橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之間呈冪函數(shù)關(guān)系，所以，只要提供相應(yīng)的對數(shù)關(guān)系便能獲得相關(guān)參數(shù)。筆者建立的模型在應(yīng)力松弛和等應(yīng)變率加載情況下能夠推導(dǎo)出解析應(yīng)變關(guān)系公式，不需要數(shù)值算法。如果遇到復(fù)雜的加載情況，可以通過數(shù)值算法求解。有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值算法問題可以參閱文獻(xiàn)［8］。

2.1 高分子材料等應(yīng)變率拉伸變形

Addiego等［11］曾研究過高密度聚乙烯在等應(yīng)變率單軸拉伸時(shí)的體積變形。通過式(3)和式(4)，可以得到|ε'|～|ε|和εv～ε的擬合曲線(圖3)。他們在研究中發(fā)現(xiàn)高分子材料在等應(yīng)變率拉伸初期，試件的體積幾乎保持不變，甚至?xí)l(fā)生微量收縮。通過圖3可以知道，分?jǐn)?shù)階變形模型不僅能夠很好地模擬高分子材料的變形行為，還能夠描述試件在加載初期體積發(fā)生微量收縮的現(xiàn)象。

圖2 等應(yīng)變率加載時(shí)的εv～ε曲線示意圖Fig.2 εv-ε theoretical curves at a constant longitudinal strain rate

圖3 高密度聚乙烯等應(yīng)變率拉伸應(yīng)變曲線Fig.3 Strain curves at a constant longitudinal strain rate for high-density polyethylene

2.2 巖土材料常規(guī)三軸壓縮變形

常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)是測量可變形固體力學(xué)性質(zhì)的一種有效方法，其加載過程可分為2個(gè)階段:第1階段，將恒定應(yīng)力加到試樣上，直至試樣應(yīng)變不再變化;第2階段，在第1階段加載基礎(chǔ)上施加一個(gè)逐漸增大的應(yīng)力σ1－σ3，或一個(gè)變化的縱向應(yīng)變?chǔ)?。對于第2階段，如果縱向應(yīng)變?chǔ)?只與σ1－σ3有關(guān)，則可以等同于單軸壓縮試驗(yàn)。因此，針對單軸加載的分?jǐn)?shù)階變形模型可用于常規(guī)三軸試驗(yàn)。

李治［12］和劉萌成等［13］分別對黏土和堆石料做過常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)研究，得到一系列試驗(yàn)數(shù)據(jù)。利用式(3)和式(4)，可以得到|ε'|～|ε|和εv～ε的擬合曲線，分別如圖4和圖5所示。由圖4、圖5可知，筆者建立的分?jǐn)?shù)階橫向-縱向應(yīng)變關(guān)系與巖土材料的實(shí)際變形情況較吻合。

研究發(fā)現(xiàn):等應(yīng)變率拉伸時(shí)β為正，壓縮時(shí)β為負(fù)。眾所周知，材料拉伸和壓縮時(shí)其內(nèi)部力學(xué)行為是有區(qū)別的，而β的正負(fù)號(hào)變化正好能夠表征這種差別。隨著圍壓σ3的增加，β值不斷減小(絕對值增大)，表明β能反映常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)中圍壓對巖土材料剪縮剪脹性的影響。從多孔介質(zhì)角度考察巖土材料，其變形行為是孔隙水和土顆粒運(yùn)動(dòng)的外在反映，即β可以反映孔隙水和土顆粒的運(yùn)動(dòng)行為。綜上所述，β實(shí)際上是巖土材料在不同加載條件下其內(nèi)部復(fù)雜運(yùn)動(dòng)機(jī)理的宏觀度量。當(dāng)然，β如何與材料內(nèi)部行為相對應(yīng)還需要結(jié)合相關(guān)研究進(jìn)行深入探討。另外，筆者發(fā)現(xiàn)即使有些|ε'|～|ε|曲線相當(dāng)接近直線(β值接近零)，但卻不能用直線來擬合，否則在擬合體積應(yīng)變時(shí)將出現(xiàn)誤差。

圖4 黏土常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)應(yīng)變曲線Fig.4 Strain curves for clay in triaxial compression tests

3 結(jié) 論

a.分?jǐn)?shù)階變形模型具有分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)少、形式簡單的優(yōu)點(diǎn)。

b.分?jǐn)?shù)階橫向－縱向應(yīng)變關(guān)系符合巖土材料的實(shí)際變形情況，能夠較好地?cái)M合試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

c.巖土材料的剪縮剪脹現(xiàn)象能夠被分?jǐn)?shù)階體積應(yīng)變模型合理地描述。β能反映常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)中圍壓對于巖土材料剪縮剪脹性的影響。

d.雖然一些巖土材料的橫向－縱向應(yīng)變關(guān)系近似線性關(guān)系，但若用線性關(guān)系來描述，會(huì)在描述其體積變形時(shí)產(chǎn)生誤差。

e.模型如何擴(kuò)展為三維，以及將該理論模型與計(jì)算機(jī)數(shù)值算法相結(jié)合，是需要繼續(xù)關(guān)注的方向。

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