紐結(jié)的（m，n）－變換

李雁南

（大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028）

0 引 言

紐結(jié)理論從19世紀(jì)發(fā)展至今，取得了極其豐富的結(jié)論.而關(guān)于紐結(jié)的局部變換也有很多，如交叉點(diǎn)變換（crossing change）、＃－變換（＃－move）及Δ－變換等.這些變換都能夠使紐結(jié)變成平凡結(jié).本文將討論一類(lèi)新的變換——（m，n）－變換.改變紐結(jié)交叉點(diǎn)的上下關(guān)系是紐結(jié)理論研究中的一種常用的技術(shù)手段，如交叉點(diǎn)變換和＃－變換.一個(gè)紐結(jié)可以通過(guò)交叉點(diǎn)變換變?yōu)槠椒步Y(jié)的最少次數(shù)稱(chēng)為這個(gè)紐結(jié)的解結(jié)數(shù)（unknotting number）.解結(jié)數(shù)的研究一直都是紐結(jié)理論研究中的基本問(wèn)題.本文所定義的（m，n）－變換是交叉點(diǎn)變換與＃－變換的推廣.影.2重點(diǎn)也稱(chēng)為紐結(jié)的交叉點(diǎn).通常用紐結(jié)的正則投影圖來(lái)直觀地表示一個(gè)紐結(jié).在畫(huà)紐結(jié)的正則投影圖時(shí)，上面的線(xiàn)用一條直線(xiàn)畫(huà)出，而在下面的線(xiàn)則用一個(gè)斷開(kāi)的線(xiàn)表示.

關(guān)于紐結(jié)的基本定義，還可以參見(jiàn)一些經(jīng)典教材［1－3］.在下面的討論中，本文將不加區(qū)別地使用紐結(jié)K與其正則投影p（K）.

定義1 如圖1所示的3種變換稱(chēng)為Reidemeister變換.

1 紐結(jié)的基本定義

從S1到R3的光滑嵌入稱(chēng)為紐結(jié).設(shè)K是R3中的一個(gè)紐結(jié)，R2是R3中的一個(gè)平面，并且p：R3→R2是從R3到R2的正交投影映射.稱(chēng)p（K）是K的投影.設(shè)c是投影上的一點(diǎn)，如果p－1（c）∩K包含n個(gè)點(diǎn)，就稱(chēng)c是一個(gè)n重點(diǎn).如果p（K）只含有有限個(gè)2重點(diǎn)，并且對(duì)每個(gè)重點(diǎn)c，存在c的充分小的鄰域N（c）使得p作用在p－1（N（c）∩L）的兩個(gè)分支上是橫截相交的，則稱(chēng)p（K）為K的正則投

圖1 Reidemeister變換Fig.1 Reidemeister moves

定義2 如果一個(gè)紐結(jié)可以通過(guò)有限次Reidemeister變換變?yōu)闊o(wú)重點(diǎn)的紐結(jié)，則稱(chēng)這個(gè)紐結(jié)為平凡結(jié).

定義3 對(duì)于某種變換，如果對(duì)任意紐結(jié)的正則投影圖，都能使其經(jīng)過(guò)有限次Reidemeister變換及這種變換后變?yōu)槠椒步Y(jié)，就稱(chēng)這種變換為可平凡化變換（unknotting operation）.

2 交叉點(diǎn)變換與雙交叉點(diǎn)變換

定義4 設(shè)K是一個(gè)紐結(jié)，如果把K的一個(gè)交叉點(diǎn)的上下兩條線(xiàn)段交換，就能得到一個(gè)新的紐結(jié)，稱(chēng)這種變換為紐結(jié)的交叉點(diǎn)變換，如圖2所示.

圖2 交叉點(diǎn)變換Fig.2 Crossing change

交叉點(diǎn)變換是紐結(jié)變換中研究較為廣泛的一種變換.Scharlemann［4］證明了所有解結(jié)數(shù)為1的紐結(jié)都是素紐結(jié).對(duì)于交叉點(diǎn)變換，有如下引理.

引理1 交叉點(diǎn)變換是可平凡化變換.

證明 見(jiàn)文獻(xiàn)［1］中定理11.1.2.

定義5 設(shè)有一個(gè)定向紐結(jié)，且其在局部有一個(gè)如圖3所示的“?！弊中蔚慕Y(jié)構(gòu)，同時(shí)改變4條線(xiàn)的上下關(guān)系的變換稱(chēng)為＃－變換.

圖3 ＃－變換Fig.3 ＃－move

＃－變換最早由 Murakami［5］給出.對(duì)于無(wú)定向紐結(jié)，可以定義以下類(lèi)似的變換：

定義6 如果一個(gè)紐結(jié)在局部有一個(gè)如圖4所示的“?！弊中蔚慕Y(jié)構(gòu)，同時(shí)改變4條線(xiàn)的上下關(guān)系的變換稱(chēng)為雙交叉點(diǎn)變換.

引理2 雙交叉點(diǎn)變換是可平凡化變換.

證明 對(duì)于任意給定的紐結(jié)K，賦予其一個(gè)定向.由文獻(xiàn)［1］中定理11.1.6可知，其一定可以通過(guò)＃－變換變成平凡結(jié).從而對(duì)未定向的K，其一定可以通過(guò)雙交叉點(diǎn)變換變?yōu)槠椒步Y(jié).

圖4 雙交叉點(diǎn)變換Fig.4 Double crossing change

3 （m，n）－變換

定義7 設(shè)一個(gè)紐結(jié)K的局部存在一個(gè)如圖5所示的結(jié)構(gòu)，即m條線(xiàn)在下方，n條線(xiàn)在上方.同時(shí)把在下面的m條線(xiàn)挪到n條線(xiàn)的上方的變換稱(chēng)作（m，n）－變換.

圖5 （m，n）－變換Fig.5 （m，n）－move

由上面的定義可以看出（m，n）－變換是交叉點(diǎn)變換和雙交叉點(diǎn)變換的推廣.其中交叉點(diǎn)變換為（1，1）－變換，而雙交叉點(diǎn)變換為（2，2）－變換.

引理3 （1，2）－變換和（2，1）－變換是可平凡化變換.

證明 設(shè)K是一個(gè)紐結(jié).由引理2可知，其一定存在一個(gè)投影圖，可以通過(guò)a個(gè)雙交叉點(diǎn)變換變?yōu)槠椒步Y(jié).觀察到每個(gè)雙交叉點(diǎn)變換可由兩個(gè)（1，2）－變換得到，如圖6所示，因此K一定可以通過(guò)2a個(gè)（1，2）－變換變?yōu)槠椒步Y(jié)，即（1，2）－變換是可平凡化變換.同理，由對(duì)稱(chēng)性可知（2，1）－變換也是可平凡化變換.

定理1 對(duì)任意的正整數(shù)m和n，（m，n）－變換是可平凡化變換.

證明

（1）設(shè)K是一個(gè)紐結(jié).由引理1～3可知，（1，1）－變換、（1，2）－變換、（2，1）－變換及（2，2）－變換都是可平凡化變換.

（2）設(shè)紐結(jié)K可經(jīng)過(guò)（m0，n0）－變換變成平凡結(jié).由圖7可知每個(gè)（m0，n0）－變換都可以用（m0＋2，n0）－變換代替.因此K一定可以通過(guò)（m0＋2，n0）－變換化為平凡結(jié).同理可知K一定也可以通過(guò)（m0，n0＋2）－變換化為平凡結(jié).

圖6 兩個(gè)（1，2）變換等于一個(gè)（2，2）變換Fig.6 Two（1，2）－moves are equal to one（2，2）－move

圖7 （m0，n0）－變換等價(jià)于（m0＋2，n0）－變換Fig.7 （m0，n0）－move is equal to（m0 ＋2，n0）－move

通過(guò)歸納可得，對(duì)任意的正整數(shù)m和n，K一定可以通過(guò)（m，n）－變換變?yōu)槠椒步Y(jié).

4 結(jié) 論

設(shè)紐結(jié)K的投影圖的局部存在著m條線(xiàn)在下方，n條線(xiàn)在上方的結(jié)構(gòu)，將下面的m條線(xiàn)挪到n條線(xiàn)的上方的變換稱(chēng)作（m，n）－變換.本文證明了對(duì)任意紐結(jié)及任意正整數(shù)m、n，一定可以通過(guò)有限次Reidemeister變換和（m，n）－變換把這個(gè)紐結(jié)變?yōu)槠椒步Y(jié).

［1］Kawauchi A.A Survey of Knot Theory［M］.Basel：Birkhauser Verlag，1996.

［2］Burde G，Zieschang H.Knots［M］.Hawthorne：Walter de Gruyter，1985.

［3］Rolfsen D.Knots and Links［M］.Berkeley：Publish or Perish，Inc.，1976.

［4］Scharlemann M.Unknotting number one knots are prime［J］.Invented Mathematics，1985，82（1）：37－55.

［5］Murakami H.Some metrics on classical knots［J］.Annals of Mathematics，1985，270（1）：35－45.