基于鍵合圖結型結構的矩陣變換建模法解析

田 樹 軍， 胡 全 義， 張 宏＊， 高 艷 明

（大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

鍵合圖結型結構（junction structure）的概念，是由對功率鍵合圖理論與方法的發(fā)展作出重要貢獻的Rosenberg于1971年首次提出的，并據此研發(fā)出從鍵合圖模型出發(fā)，實現由計算機通過矩陣變換操作建立系統(tǒng)狀態(tài)方程的自動建模程序ENPORT［1］.這種矩陣變換建模方法在系統(tǒng)動力學研究領域具有較大的影響，其核心理念及建模推理規(guī)則對后續(xù)的自動建模軟件開發(fā)具有獨特的促進作用.

本文將對鍵合圖結型結構的概念［2］作簡要介紹，并著重對矩陣變換建模方法的要點及其適用條件等進行較深入的解析，以利于相關研究的借鑒和應用.

1 能量場與結型結構的基本概念

鍵合圖中的功率鍵可分為內部鍵和外部鍵兩類：凡與作用元相連接的鍵稱之為外部鍵，而在結點及轉換器、旋轉器之間起連接作用的鍵稱之為內部鍵.

如圖1所示，對于內部鍵，所連接的是0結點、1結點、轉換器TF和旋轉器GY這4種連接對象的集合，該集合即為鍵合圖的結型結構.

對于外部鍵，所連接的是各作用元，即容性元C、感性元I、阻性元R、流源Sf和力源Se.這5種作用元的功能又分為3類：容性元C、感性元I起儲能作用，統(tǒng)稱為儲能元；阻性元R起耗能作用，故又稱之為耗能元；流源Sf和力源Se則為外界的能量輸入，統(tǒng)稱之為源.根據這5種3類作用元各自的能量屬性，將其歸結為不同的能量作用場，簡稱為能量場或場.其中，儲能元的集合稱之為儲能場，耗能元的集合稱之為耗能場，而流源Sf和力源Se的集合則稱之為源場.依據場的概念，任一能量系統(tǒng)，均可視為相互連接起來的各類能量場的集合.

圖1為基于能量場概念的系統(tǒng)構成.

圖1 能量場與系統(tǒng)構成Fig.1 Energy fields and systems composition

通過引入能量場和結型結構的概念，在應用功率鍵合圖作為建模工具進行動態(tài)模型設計時，有以下兩點鮮明的作用和意義：其一，便于研究分析人員站在更高的層面，全面、清晰地審視和了解所研究系統(tǒng)的動態(tài)結構，準確把握各種動態(tài)影響因素的特征及屬性，正確處理建模過程中所遇到的各類相關問題；其二，便于規(guī)范和理順系統(tǒng)中各種功率變量的關系，明確相關數學描述形式（諸如各功能矩陣）的特征和屬性，以在鍵合圖相關規(guī)則的基礎上，更為順暢有序地推導建立起系統(tǒng)數學模型——狀態(tài)方程.

2 場方程、結型結構方程和系統(tǒng)狀態(tài)方程［3－4］

2.1 場方程

場方程是用來描述結型結構向能量場的輸入向（變）量與場的輸出向（變）量之間關系的方程.場方程所涉及的系統(tǒng)變量，除鍵合圖的基本變量流變量f和力變量e外，還有如下其他變量.

（1）能量變量X

能量變量X是指結型結構（結點）通過儲能鍵向儲能元C或I輸入的相應流變量f或力變量e的積分.通常，若不考慮建模中較少出現的機械旋轉運動和電能量，則可認為能量變量X為如下元素的集合：液體體積運動件位移運動件動量液體動量.故此，能量變量X又可表示為X

（2）共能變量Z

共能變量Z是指在儲能鍵上，儲能元C或I作用并輸出給結型結構（結點）的相應流變量f或力變量e.之所以稱之為共能變量，是因為這種變量的量值一經從儲能元反饋輸出到結點，則被結點周圍其他各鍵上相同屬性的變量所共有.

基于和能量變量X同樣的考慮，則共能變量Z可認為是如下元素的集合：液體壓力p，p＝運動件彈性力運動件速度液體流量q，q＝

（3）耗能場的輸入變量Din和輸出變量Dout

由于耗能鍵所連接的阻性作用元R在因果關系設定上具有自由性，耗能鍵上的兩個功率分量即流變量f和力變量e，均有可能作為對阻性元R的輸入變量和由R反饋回結點的輸出變量.分別記輸入變量為Din，輸出變量為Dout.

基于上述定義和分析，若系統(tǒng)是線性的且不存在微分因果關系，可建立如下儲能場方程：

及耗能場方程：

式中：S、L均為方陣.

2.2 結型結構方程

能量變量X一般如前所述地表現為液體體積V、運動件位移x、運動件動量P和液體動量Ph這4種元素的集合；而這4種元素又以積分表達式的形式與相對應的流變量或力變量相聯系著.事實上，積分式可以等效地變換成微分表達式的形式，即

由于各微分式右端的變量都是對于儲能作用元的輸入變量，則左端各導數項也同樣是其輸入變量.通過由積分表達式向微分表達式的等效變換，將為系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立奠定基礎和提供便利.按照歸一化表達方式，上述各式左端的導數項均可歸結為能量變量X對時間t的導數，而各式的右端變量即液體流量q、作用力F、運動件速度v和液體壓力p均可歸結為相應的流變量f和力變量e.

表1給出了各類能量場的輸入和輸出變量.

不難看出，在系統(tǒng)動態(tài)過程中的任一時刻，能量場所接受的來自結型結構的輸入變量，就是表征系統(tǒng)在該時刻狀態(tài)的特征變量；而能量場對結型結構的輸出變量，則可視為是該時刻結型結構所受到的激勵，且正是這些激勵性變量的激勵作用，將引起結型結構即系統(tǒng)新的狀態(tài)變化.

表1 各類能量場的輸入、輸出變量Tab.1 Input and output variables for different energy fields

式（3）、（4）中的各關聯矩陣J表征了各能量通口對于相應輸入輸出變量所具有的關聯制約作用，且各J中的非零元素均與相應通口的屬性參數相對應.關聯矩陣J還具有一些數學上的特征和性質，如矩陣JSS和JLL（如果它存在）為反對稱矩陣，而JSL和JLS則是互為負轉置的矩陣.這些數學性質對于建模尤其是自動建模過程中實施檢查和判斷，以避免本質性錯誤的發(fā)生，具有其獨特的作用.

2.3 系統(tǒng)狀態(tài)方程

結型結構方程（3）已經構成了狀態(tài)方程的雛形.對比線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的基本形式BU可知，后續(xù)的工作將是如何消去式中作為中間變量的Dout；而要做到這一點，只需借助儲能場方程（1）、耗能場方程（2）和結型結構方程（4），實施必要的矩陣變換和等量代換，即可完成.這也就是矩陣變換建模法得名的由來.

經一系列矩陣變換，最后得

令

及

于是，得到系統(tǒng)狀態(tài)方程的最終通用形式：

3 關于矩陣變換建模法適用性的分析

（1）對于線性定常系統(tǒng)，且在無非標準型鍵合圖結構和混合因果關系的條件下，矩陣變換建模法可以無障礙地順利實施.

（2）對于線性非定常系統(tǒng)，雖然上述變換操作可以實現，但特定時刻的（即僅是某個時間點處的）實參A、B矩陣將不具有全程效力，必須逐時間點對相關矩陣元素作數值上的修正，這意味著建模過程和仿真過程必須同步進行.雖然逐時間點多次建模在操作上并無障礙和不可，但多次建模無疑將耗費大量的計算時間，尤其對于復雜大系統(tǒng)，因其仿真的計算時間問題比較突出，將會對仿真的計算效率產生顯著影響.

（3）對于非線性系統(tǒng)，因場方程、結型結構方程和系統(tǒng)狀態(tài)方程及其相關表達式都可能是非線性的，則 會有

這將使無論是結型結構方程還是系統(tǒng)狀態(tài)方程，均呈現很復雜的隱式表達形式，甚至連狀態(tài)矩陣A和輸入矩陣B都根本不存在.故此，對于非線性系統(tǒng)，矩陣變換建模法的實用價值將遠遠小于其理論價值；因為在建模操作中，相應的矩陣變換等數學手段難以順暢地實施.

（4）對于存在混合因果關系的鍵合圖模型，儲能場將被人為地劃分為對應積分因果關系的獨立儲能場和對應微分因果關系的非獨立儲能場.在線性系統(tǒng)的情況下，兩種儲能場的場方程可分別表示如下.

獨立儲能場：

非獨立儲能場：

故此，結型結構方程中各關系式將含有非獨立儲能場輸出變量Xd的導數項X·d，使方程的表達結構明顯復雜化.雖然從這種結型結構方程出發(fā)建立相應的系統(tǒng)狀態(tài)方程在理論上是可行的，但要通過數學變換消去作為中間變量的Xd、Zd、Din和Dout，使之成為僅含獨立儲能場能量變量Xi和系統(tǒng)輸入量U的最終形式，其過程將十分復雜.之所以如此，是因為獨立儲能場和非獨立儲能場常常是耦合關聯的，其各自的變量相互間也耦合關聯，由此構成具有較大處理難度的代數環(huán)問題.所謂代數環(huán)，意指某個（些）狀態(tài)變量導數的定義表達式中出現了該導數本身，形成了遞歸表達；而且嚴重時各導數相互定義表達的情況也在所難免，此為多代數環(huán)耦合表達，屬于代數環(huán)問題中更難處理的一類.事實上，由式（5）可見，當因混合因果關系以及非標準型鍵合圖（見下文）所導致的代數環(huán)現象存在時，必有矩陣JLL≠0，此時要想順利實施建模甚至解耦操作，矩陣（I－JLLL）的逆陣必須確保存在，而這一充要條件并非在任何情況下都能滿足.

可以證明，如果系統(tǒng)為非線性且具有混合因果關系所導致的代數環(huán)問題，在理論上，系統(tǒng)狀態(tài)方程將為如下的隱性形式：

而要經過數學變換手段推導出該方程的具體表達形式，幾乎是僅有理論意義而并無實際操作的可能.

（5）對于非標準型鍵合圖模型，因其與具有混合因果關系的鍵合圖模型一樣，會導致代數環(huán)現象發(fā)生，則應用矩陣變換建模法的難度與之相同.

（6）矩陣變換建模法的另一顯著特征是必須在實參形式下操作，因此它只有在線性定常的情況下才能“一勞永逸”，否則必須與仿真計算同步實施多次建模操作，這不僅將耗費相當的計算時間，而且也與通用仿真軟件開發(fā)中的模型“一模多用”原則相悖.

4 矩陣變換建模法應用實例

為進一步說明和驗證矩陣變換建模法在特定條件下的可行性和合理性，下面給出先導式溢流閥調壓系統(tǒng)［5］的應用實例.

首先作如下假設：

（1）系統(tǒng)是一個完全線性且定常的系統(tǒng)；

（2）系統(tǒng)鍵合圖是標準型鍵合圖，其因果關系設定無需人為指定；

（3）系統(tǒng)中不存在混合因果關系.

圖2為系統(tǒng)的鍵合圖模型.

圖2 系統(tǒng)鍵合圖模型Fig.2 Bond graph model of system

確定各相關向量和矩陣的方法如下：

（1）能量向量X

（2）共能向量Z

由各儲能元的輸出變量，可得共能向量為

（3）方陣S

由各儲能元鍵上能量變量和共能變量之間的對應關系，如p2＝V2／C1，可得矩陣S，同時可知S為7階方陣，其非主對角線上元素均為零，如下所示：

（4）耗能場的輸入向量Din和輸出向量Dout

本例鍵合圖中共含有8個耗能元，其中，有5個的因果線標在不靠近結點端，故其對耗能場的輸入為力變量e，輸出則為流變量f；另外3個的因果線標在靠近結點端，其輸入為流變量f，輸出為力變量e，如表2所示.

表2 各耗能元的輸入、輸出變量Tab.2 Input and output variables for different energy dissipation elements

于是，可得

（5）方陣L

由各耗能元鍵上輸入變量和輸出變量之間的對應關系，如q3＝p3／R3，F10＝R10v10，可知L為8階方陣，其非主對角線上元素均為零，如下所示：

（6）矩陣JSS

參照圖2的鍵合圖結構，可得矩陣JSS.因本例有7個儲能元，故矩陣JSS是一個7階方陣，如下所示：

顯然，JSS是一個反對稱矩陣，這是由能量流動的本質特征所決定的.任一部分功率流，從一個結點流出（輸出），必定是要流向另一結點（輸入）.矩陣JSS的這一性質，為檢驗模型的正確性提供了方便.

（7）矩陣JSL

由于本例中能量向量X為7階向量，而耗能場輸出向量Dout為8階向量，故JSL為7×8階矩陣.

參照圖2的鍵合圖結構，可得矩陣JSL如下所示：

可見，矩陣JSL的特征是其所含非零元素均為1或－1，這是由鍵合圖上0結點的流變量代數和為零和1結點上力變量代數和為零的性質及特征所決定的.

（8）矩陣JSU

從圖2可見，3個系統(tǒng)輸入變量Sf、Se1和Se3均在其所處的結點上直接參與流變量或力變量的平衡，由此可得矩陣JSU，且可知它是一個7×3階的矩陣.其中的非零元素為

（9）矩陣JLS

矩陣JLS是耗能場輸入向量Din與共能向量Z之間的關聯矩陣.

依據前述Din和Z的構成，結合0結點上各鍵力變量相等、1結點上流變量相等及1結點上力變量代數和為零等規(guī)則，不難得出如下關系式：

由以上各式可得矩陣JLS.依據Din和Z的階數，可知JLS是8×7階矩陣，如下所示：

對比矩陣JLS和JSL，可見二者互為負轉置矩陣，這一性質也可用來作模型正確性檢驗.

（10）矩陣JLL

根據前述假設條件，對于標準型鍵合圖且無混合因果關系的情況，Din元素的表達式在推導中不會出現遞歸現象，即無代數環(huán)現象，故可知JLL＝0.

（11）矩陣JLU

矩陣JLU所表征的是結點上無儲能元存在，相應的共能變量由對應的源來代為確定的情況；若將圖2中的C2去掉，并將輸入改為恒壓元Se，則各R鍵上的流量qi將是Se的函數.根據本例假設條件，JLU＝0.

至此，各關聯矩陣定義完畢，接下來的工作是建立系統(tǒng)狀態(tài)方程.

由于所需的各向量和矩陣均已確定，則這一過程變得十分簡單，只要按照結型結構的理論規(guī)則將各向量和矩陣進行組合并實施相應的矩陣變換，即可求出狀態(tài)矩陣A和輸入矩陣B的具體形式，從而完成建模過程.

特別是，在本例中，由于有JLL＝0和JLU＝0，建模操作大為簡化.其中

限于篇幅，本文將不再給出狀態(tài)矩陣A的具體推導變換過程及最終完整結果，這里僅以矩陣A的左上角元素A11的形成過程為例，略作展示：因為（JSS）11＝0，所以（JSSS）11＝0.又據上文矩陣JSL，有（JSL）11＝ （JSL）12＝ （JSL）13＝－1.則得

且據上文矩陣JLS，有（JLS）11＝ （JLS）21＝ （JLS）31＝1，故（JSLLJLS）11＝－（1／R3＋1／R4＋1／R14），及（JSLLJLSS）11＝－（1／R3＋1／R4＋1／R14）／C2.

最后，得

作為對比，在人工推導建模時，有

將兩種方法的建模結果相比較，可知二者完全相同.

由此可斷定，對于符合特定條件（尤其是線性條件）的系統(tǒng)，矩陣變換建模法是很方便適用的，且所得建模結果同人工推導狀態(tài)方程的結果完全一致，從而驗證了該方法的可行性和合理性.

5 結 論

（1）對結型結構的理論作用和意義應予充分肯定.它從能量場的高度，借助嚴密的數學手段，明確而嚴謹地闡述了鍵合圖模型結構的基本特征、能量和物理屬性，以及各種動態(tài)影響因素的作用特征、特性和規(guī)律，同時清晰地給出了從鍵合圖模型向系統(tǒng)數學模型即狀態(tài)方程轉化過渡的數學實施方法即矩陣變換建模法.結型結構理論和矩陣變換建模法的提出與不斷完善，為鍵合圖技術的發(fā)展奠定了有特色的理論基礎，也對該項技術的廣泛應用起到了重要的推動作用.

（2）從實用角度看，對于線性、定常且無非標準型鍵合圖結構及混合因果關系（即代數環(huán)）的系統(tǒng)，矩陣變換建模法是十分有效的，尤其便于實現自動建模和通用仿真軟件的開發(fā).即使對于非定常系統(tǒng)，只要對相關矩陣和向量中的時變元素單獨提出并處理，則方法仍可適用.

（3）利用該方法所給出的有關矩陣的數學性質，可以很方便地進行模型正確性的檢驗和判定，這應視為鍵合圖結型結構理論和矩陣變換建模法的一個鮮明特色.

（4）對于一般的非線性系統(tǒng)，由于在非線性因素建模處理上的難度和障礙，該方法的實用效能將顯著降低，特別對于非線性因素較多的復雜大系統(tǒng)而言，單獨使用將難以奏效，而必須同其他方法相結合.

（5）對于含有非標準型鍵合圖結構和混合因果關系的系統(tǒng)，若系統(tǒng)是線性的，矩陣變換建模法尚可采用，但實施過程將會很復雜和繁瑣；而若是非線性系統(tǒng)，則因建模實施的難度太大，則該建模方法僅具有理論意義，除非對極個別的特殊簡單情況，一般難以實際采用.

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