RBCC動(dòng)力飛行器等動(dòng)壓爬升方法①

閆曉東，賈曉娟，呂 石

(1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072;2.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

0 引言

火箭基組合循環(huán)推進(jìn)系統(tǒng)(Rocket Based Combined Cycle，RBCC)將高推重比、低比沖的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)和低推重比、高比沖的吸氣式發(fā)動(dòng)機(jī)有機(jī)地組合在一起，可實(shí)現(xiàn)航天推進(jìn)的高效性與經(jīng)濟(jì)性的最佳組合［1］，有望為未來空天飛行器提供先進(jìn)的推進(jìn)系統(tǒng)。國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對RBCC動(dòng)力空天飛行器進(jìn)行了大量的論證和設(shè)計(jì)工作［2－4］。

與傳統(tǒng)火箭動(dòng)力相比，由于吸氣原因，RBCC發(fā)動(dòng)機(jī)的性能與飛行環(huán)境密切相關(guān)。為保證其穩(wěn)定工作在一個(gè)最優(yōu)或穩(wěn)定狀態(tài)，一般RBCC動(dòng)力飛行器上升段采用等動(dòng)壓爬升方法，即當(dāng)飛行器達(dá)到一定動(dòng)壓后，保持動(dòng)壓不變進(jìn)行加速和爬升。文獻(xiàn)［5］提出了一種基于B樣條建立馬赫數(shù)-動(dòng)壓參考曲線，然后通過二分法迭代攻角，以跟蹤參考曲線的RBCC飛行器爬升軌跡設(shè)計(jì)方法，未給出等動(dòng)壓爬升的軌跡設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)［6］提出了一種等動(dòng)壓爬升的迭代方法，但未給出迎角的計(jì)算方法。文獻(xiàn)［7］嘗試采用優(yōu)化的方法，以獲得RBCC動(dòng)力重復(fù)使用運(yùn)載器最優(yōu)的爬升軌跡，其優(yōu)化結(jié)果是非等動(dòng)壓的。文獻(xiàn)［8］提出了3種迎角的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，以在POST中實(shí)現(xiàn)等動(dòng)壓爬升，但這些模型設(shè)計(jì)參數(shù)多，只能通過優(yōu)化的方法予以確定，因而不能提供實(shí)時(shí)的等動(dòng)壓爬升攻角制導(dǎo)指令。

本文通過推導(dǎo)等動(dòng)壓爬升的高度-速度代數(shù)方程，提出了一種基于高度-速度曲線的等動(dòng)壓爬升方法，可為吸氣式飛行器的等動(dòng)壓乃至非等動(dòng)壓爬升提供一種快速參考軌跡生成和制導(dǎo)方法。

1 動(dòng)力學(xué)方程

不考慮地球旋轉(zhuǎn)，縱向平面內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程可寫為

式中 m為飛行器質(zhì)量;g為重力加速度;v為速度;θ為彈道傾角;x、h分別為水平距離和高度;ms為發(fā)動(dòng)機(jī)秒耗量;α為迎角，α(t)表示迎角的變化規(guī)律;X、Y分別為氣動(dòng)阻力和升力;P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力。

P可由式(2)計(jì)算:

式中 Isp(α，Ma，H)為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖，是迎角、馬赫數(shù)及高度的函數(shù)。

2 等動(dòng)壓爬升軌跡

在RBCC動(dòng)力空天飛行器的爬升過程中，動(dòng)壓可表示為

式中 q為動(dòng)壓;ρ為大氣密度。

考慮指數(shù)形式的大氣密度:

式中 ρ0為基準(zhǔn)大氣密度;hs為參考高度，常數(shù)。

對動(dòng)壓求導(dǎo)，可得

將式(4)代入式(5)中，有

考慮到等動(dòng)壓爬升dq=0，且將式(6)代入式(5)中，有

對式(7)求積分，可得

式中 Cv為常數(shù)，由等動(dòng)壓爬升的動(dòng)壓常數(shù)唯一確定。

由式(8)不難發(fā)現(xiàn)，只要飛行器在爬升過程中滿足該高度和速度代數(shù)方程，就可實(shí)現(xiàn)等動(dòng)壓爬升。本文將該高度-速度的關(guān)系式稱為等動(dòng)壓線。要說明的是當(dāng)Cv不再為常數(shù)時(shí)，如Cv=f(v)，則動(dòng)壓就不再是常數(shù)，而是速度v的函數(shù)，此時(shí)的動(dòng)壓變化規(guī)律就可由該函數(shù)確定，據(jù)此可靈活設(shè)計(jì)出各種滿足爬升需求的高度-速度參考曲線或動(dòng)壓-速度參考曲線。

3 等動(dòng)壓爬升軌跡實(shí)現(xiàn)方法

由式(8)可知，只要沿著等動(dòng)壓線飛行，就可實(shí)現(xiàn)等動(dòng)壓爬升。若假設(shè)推力P(α，Ma，H)已知，則等動(dòng)壓爬升是一個(gè)典型的單輸入、單輸出的非線性跟蹤控制問題?；诜答伨€性化方法［9－10］，可推導(dǎo)出等動(dòng)壓爬升的迎角制導(dǎo)指令。

方程組(1)的狀態(tài)變量為 X=［v，θ，X，H，M］T。為了跟蹤等動(dòng)壓線，選取系統(tǒng)輸入u=α，輸出y=h，依據(jù)反饋線性化方法，現(xiàn)對方程組(1)的第4式求導(dǎo):

基于等動(dòng)壓線，參考高度的導(dǎo)數(shù)可表示為

將式(8)代入式(10)中

對式(11)求二階導(dǎo):

將式(12)代入到方程(9)中，可得跟蹤等動(dòng)壓線的彈道傾角:

考慮到吸氣式爬升過程中迎角較小，可令sinα≈α，并將升力Y表示為Y=Yαα，Yα為升力對迎角的偏導(dǎo)數(shù)，且有

將式(13)代入方程組(1)的第2式，可得等動(dòng)壓爬升的參考迎角指令為

為減小等動(dòng)壓線跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差，且補(bǔ)償參數(shù)干擾或建模不確定性的影響，考慮如下迎角補(bǔ)償:

其中，khd和kh為調(diào)節(jié)系數(shù)，可取為

式中 ζ為阻尼系數(shù)，可取為0.7;ωn為自然頻率，可根據(jù)飛行器實(shí)際控制能力確定。

最終，等動(dòng)壓爬升的迎角制導(dǎo)指令為

4 仿真算例

以某RBCC飛行器為例，對本文所設(shè)計(jì)的等動(dòng)壓爬升方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。該飛行器的參考面積為9.3 m2，飛行器初始質(zhì)量為52 000 kg，等動(dòng)壓爬升階段推進(jìn)劑秒耗量為60 kg/s，等動(dòng)壓爬升的初始條件如表1所示。升力系數(shù)和阻力系數(shù)分別為

發(fā)動(dòng)機(jī)比沖擬合公式為

需要指出的是，該比沖擬合公式僅在一定范圍內(nèi)可用，不能應(yīng)用于RBCC發(fā)動(dòng)機(jī)全程的性能計(jì)算。

表1 彈道初始條件Table 1 Initial conditions of trajectory

4.1 仿真結(jié)果

飛行器按照42 kPa等動(dòng)壓爬升，將初始高度和速度代入到式(7)中，不難得到Cv=－72 063。

除能夠?qū)崿F(xiàn)等動(dòng)壓爬升外，還可實(shí)現(xiàn)按某一規(guī)律進(jìn)行爬升。本算例給出了一種動(dòng)壓隨速度增加的爬升方法。令

其中，令C1=－71 063，則爬升過程中動(dòng)壓由42 kPa變化到52 kPa。

4.2 結(jié)果分析

該飛行器從Ma=3.4開始爬升，并到Ma=8結(jié)束(圖1)，經(jīng)歷了亞燃沖壓模態(tài)和超燃沖壓模態(tài)。圖2表明，等動(dòng)壓爬升過程中可實(shí)現(xiàn)預(yù)定等動(dòng)壓線的良好跟蹤，且動(dòng)壓一直保持在42 kPa左右，變化幅度很小(如圖3所示)?？梢?，本文提出的方法可精確地實(shí)現(xiàn)等動(dòng)壓爬升。圖4表明，在爬升過程中，制導(dǎo)指令αcom通過跟蹤高度-速度等動(dòng)壓線實(shí)時(shí)生成，迎角指令平滑，保持在5°以內(nèi)。

除了可實(shí)現(xiàn)等動(dòng)壓爬升外，該方法也可實(shí)現(xiàn)非等動(dòng)壓爬升軌跡設(shè)計(jì)。圖6表明，該方法可按照預(yù)定的非等動(dòng)壓規(guī)律進(jìn)行爬升。由圖5不難發(fā)現(xiàn)，非等動(dòng)壓爬升與等動(dòng)壓爬升相比，由于動(dòng)壓逐漸增加，因而在相同的終端速度下，高度較低，較低的高度也導(dǎo)致迎角較小(圖4)。

5 結(jié)論

(1)RBCC動(dòng)力飛行器吸氣式爬升過程速度變化范圍大，推力性能與飛行狀態(tài)密切相關(guān)，因而設(shè)計(jì)合適的爬升軌跡對于RBCC動(dòng)力飛行器性能充分發(fā)揮具有重要作用。

(2)本文設(shè)計(jì)的等動(dòng)壓爬升方法可完成RBCC動(dòng)力飛行器的等動(dòng)壓爬升。此外，該方法可綜合考慮熱流、動(dòng)壓等約束，完成RBCC動(dòng)力飛行器的各種爬升規(guī)律的軌跡設(shè)計(jì)，具有設(shè)計(jì)過程簡單、便于跟蹤的優(yōu)點(diǎn)，并可擴(kuò)展到其他吸氣式飛行器的軌跡設(shè)計(jì)中。

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