二射影對應面束與二次曲面

劉阜平， 丁 勇

（太原理工大學，山西 太原 030024）

橢圓、拋物線和雙曲線，可以通過同一對對應的二射影線束相對運動來形成[1]。與其相對應，橢圓柱面、拋物柱面和雙曲柱面，也可以通過同一對對應平行的二射影面束相對運動來形成。那么圓錐面、單葉雙曲面和雙曲拋物面呢？我們都知道，斜橢圓錐面無軸線[2]，是否有圓截口？如果沒有圓截口，原因是什么？為什么單葉雙曲面[3]的截交線是拋物線、雙曲線和橢圓，與圓錐面的截交線種類相同？這些問題都可以通過對二射影對應面束的相對運動，合同線束所在截平面位置等問題的討論來回答。

1 二射影對應面束的兩對合同線束作圖法

如圖 1所示，二射影對應面束l1(A1α,B1α,C1α…),l2(A2α,B2α,C2α…)，如果分別取垂直于底l1l2的平面T1αT2α截切，得到對應線束L1(a1,b1,c1…),L2(a2,b2,c2…)，如果l1l2平行，移動共底后二線束L1L2成橢圓形對合，也就是二面束l1l2成橢圓形對合。如圖2所示，二線束L1L2的兩對主直線m1m2和n1n2兩對“等角線”x1x2和y1y2以及反映二線束度量性的α角與二面束相對應。

圖1 二射影對應面束示意圖

圖2 二線束成橢圓形對合

與二射影線束不同的是，二射影對應面束存在兩對對應合同線束。如圖3所示，如果我們把共底成橢圓形對合的二面束其中之一l1（或l2）沿某一主平面移動，其對應平面的交線形成橢圓柱面，垂直于底的橢圓截面長短軸比與二面束的α角是相關的。顯然，該橢圓柱面可以得到兩個圓截面Rα和Sα。在Rα和Sα上，存在兩對對應合同線束。為了敘述方便，我們可以稱存在合同對應線束的平面為“圓面場”。兩個圓面場R、S與面束底l1l2的夾角θ=arcsin(tgα/2)。

圖3 二射影面束被平面R、S截切得到合同線束

2 二射影對應面束形成的錐面和單葉雙曲面

如圖 4所示，在l2上任取一點作圓面場R的垂線OO，讓面束l2繞OO軸旋轉180°，得到面束l3，l1l3二面束對應平面交線形成回轉（可稱圓形）單葉雙曲面。顯然，在圓面場R上，如果移動二合同線束共底后，成正交對合。

圖4 L2繞OO旋轉180°形成回轉單葉雙曲面

如圖5所示，固定圓面場R不動，讓l3面束平移到l4位置，這時l4與l1面束底相交，l1l4二面束對應平面交線形成圓錐面。此時圓面場上合同線束移動共底后仍然有正交對合現(xiàn)象。

圖5 L3平移與L1相交形成圓錐面

如圖6所示，如果讓圖2中的l2面束繞OO軸旋轉任意角度（銳角或鈍角，90°情況另外討論），得到面束l5，l1l5二面束對應平面交線形成正橢圓形（軸線O0O0與圓平面斜交）單葉雙曲面。

圖6 L2繞OO旋轉形成正橢圓形單葉雙曲面

如圖7所示，固定圓面場R不動，讓l5面束平移到l6位置，這時l6與l1面束底相交，l1l6二面束對應平面交線形成正橢圓形（軸線O0O0與圓面場斜交）錐面。顯然，這時軸線O0O0與二面束底l1l6夾角，和正橢圓形單葉雙曲面中O0O0與l1l6的夾角相同，這種情況說明了錐面與單葉雙曲面，在由二射影面束形成的過程中，有一種“孿生”現(xiàn)象。

圖7 L5平移與L1相交形成正橢圓錐面

空間的任意二射影對應面束，用某一平面P截切，得到截交線類型，取決于這時二射影線束存在的對應平行線數(shù)量[1]。顯然，這時平移某一面束位置并不改變截交線的類型，這就是為什么單葉雙曲面上，除了橢圓、雙曲線，還有拋物線型截交線的原因[5]。

由于同向二合同線束對應直線交點形成圓，因此，只有二射影對應面束圓面場共面，且合同線束同向時，二次曲面具有圓截口。

斜橢圓錐面無軸線，此時生成斜橢圓錐面的二射影對應面束的圓面場不共面，因此無圓截口。與其相對應的斜橢圓形單葉雙曲面同樣。

3 二射影對應面束形成正斜兩種形式的雙曲拋物面

圖8表示了T1αT2α上二射影對應線束的合同點列透視作圖法，如果我們需要設計二射影面束l1l2，使其底與T1αT2α垂直，用計算機自動生成具有特定α角的二射影面束是可能的。這時若l1l2平行，形成虛柱面。l1l2相交，形成虛錐面。

圖8 合同點列法形成二射影線束

如圖9所示，二射影面束底l1l2交叉，且有一對對應平行平面X1α（l1，x1）X2α（l2，x2） ，這時用任一平面P截切，不可能出現(xiàn)橢圓形對應線束（二線束無對應平行線），因此無橢圓截交線。所以，這時二面束形成的曲面應該是雙曲拋物面。X1α（或X2α）是該雙曲拋物面的導平面方向，兩個面束底l1l2方向，就是其雙曲線截交線的兩個漸近線方向。

圖9 二面束形成斜雙曲拋物面

雙曲拋物面可細分為兩種形式，一種是二面束底l1l2公垂線L1L2垂直于X1α（或X2α），稱為正雙曲拋物面，如圖 10所示。另一種是二面束底l1l2公垂線L1L2不垂直于X1α（或X2α），稱為斜雙曲拋物面，如圖9所示。這和二合同對應點列、二仿射對應點列形成兩種類型雙曲拋物面并不矛盾[3]。

圖10 正雙曲拋物面斜二軸測圖

4 二射影對應面束形成各種二次曲面簡表

二射影對應面束底l1l2的相對位置，二射影面束存在對應平行平面的數(shù)量等因素對二次曲面的影響可以由表1來說明。

表1 射影面束形成二次曲面簡表

說明：關于二平行面束形成的虛柱面可參照二射影線束的退化情況[1]。實際上，二射影面束的底也有“固對固”、“固對非”和“非對非”型，且它們的退化情況種類繁多。

5 結 束 語

通過上述討論，我們可以嘗試用計算機繪制一對對應射影面束，并讓其作為最小運動單元，來生成各種柱面、錐面、單葉雙曲面和雙曲拋物面等。如果要生成帶有圓截口的二次曲面，必須讓存在合同線束的截平面同向共面。由于一對對應射影面束與另一對“大小”是不同的，這種度量性怎樣影響二次曲面的形狀還需進一步研究。

[1]劉阜平, 丁 勇. 射影線束形成二階曲線及其退化形式[J]. 圖學學報, 2012, 33(4): 24-28.

[2]大連理工大學工程畫教研室編·畫法幾何學[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992: 102.

[3]劉阜平, 丁 勇. 空間二仿射對應點列形成的雙曲拋物面[J]. 工程圖學學報, 2011, 32(6): 1-4.

[4]南開大學數(shù)學系《空間解析幾何引論》編寫組編. 空間解析幾何引論[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978:154-160.

[5]劉阜平, 丁 勇. 空間二射影對應點列形成的單葉雙曲面[J]. 圖學學報, 2012, 33(5): 28-31.