基于MATLAB的靜電場模擬

畢 升，葉紅軍

（空軍工程大學(xué)，陜西 西安 710051）

隨著科學(xué)研究和工程技術(shù)中對于靜電場的應(yīng)用以及人們對于靜電應(yīng)用和靜電現(xiàn)象研究的日益深入，近年來對于各類靜電場電位和電場強度的分布的了解也是越來越迫切［1］。電場強度E和電位V是兩個用來描述靜電場的基本物理量，由于標量在計算中和測量上要比矢量簡單得多，所以靜電場的模擬實驗中對靜電場的研究往往通過描繪出其電勢分布來進行。但是即便是這樣，想直接測量出靜電場的分布仍然是相當困難的。首先，靜電場是指對于觀察者靜止的電場，場區(qū)不能有電荷運動，所以不能用伏特計直接測量其電勢。其次，當探針放入待測的靜電場內(nèi)時，由于靜電感應(yīng)，探針會產(chǎn)生感應(yīng)電荷，這些電荷產(chǎn)生的電場疊加在原電場上，將會使原電場發(fā)生明顯的畸變，測量將會失去意義?；谝陨蟽牲c原因，傳統(tǒng)的靜電場模擬實驗中實際利用靜電場和穩(wěn)恒電流場具有相似的空間分布這一原理而進行模擬的。因此，模擬實驗中實驗結(jié)果得到的是近似的電場分布圖，而本文中的利用計算機（MATLAB為代表）模擬實驗則是從嚴格的靜電場公式出發(fā)，建立靜電場模型，運用計算機（MATLAB）強大的圖形功能，獲得了更為準確的靜電場等位線和電力線分布圖，從而更加成功地模擬了靜電場。

1 靜電場概述

靜電場是由靜止電荷（相對于觀察者靜止的電荷）激發(fā)的電場［2－3］。根據(jù)靜電場的高斯定理，靜電場的電場線起始于正電荷或無窮遠處，終止于負電荷或無窮遠處，因此靜電場是有源場；又從安培環(huán)路定理來說，在靜電場中沿任何閉合路徑移動電荷，靜電場所做的功為零，故靜電場又是保守場。由于靜電場是無旋場（位場），故用標量電位φ來表征靜電場，它的單位是伏特（voltage）。電位亦稱電勢。電位是相對的，某點P的電位為從該點到某一參考點M（該點處電勢為零）移動單位正電荷時，電場對其所做的功。參考點通常位于無窮遠處，或者出于實用考慮，取地球表面為參考點。

2 傳統(tǒng)的靜電場模擬實驗

靜電場的分布主要取決于電荷的分布［4］。由于帶電體周圍的靜電場分布在科學(xué)研究和工程技術(shù)中具有重要作用，因此對靜電場的研究的必要性由此可見。電位的分布常用來描繪靜電場，在傳統(tǒng)實驗中，通常采用穩(wěn)恒電流場模擬靜電場的方法，即測量出與靜電場相對應(yīng)的穩(wěn)恒電流場的電位分布，從而確定出靜電場的分布。

靜電場與穩(wěn)恒電流場是兩種不同本質(zhì)的物理場，但是在一定條件下兩者的數(shù)學(xué)形式（遵守的規(guī)律）相同，都遵守高斯定律，引入電位U之后，電場強度

對于靜電場，電場強度在無源區(qū)域內(nèi)滿足一下數(shù)學(xué)關(guān)系

而對于穩(wěn)恒電流場，電流密度j在無源區(qū)域內(nèi)也滿足以下積分關(guān)系

由此可見E和j在各自的區(qū)域內(nèi)滿足相同的數(shù)學(xué)規(guī)律。在相同邊界條件下，具有相同的解。因此我們可以用穩(wěn)恒電流場模擬靜電場。在模擬條件上要保證電極形狀一定，電極電位不變，空間介質(zhì)均勻。

3 MATLAB計算軟件及其利用該軟件模擬靜電場

MATLAB是一種高效的科學(xué)計算語言［5－6］。它將高性能的計算與可視化集成在一起，并提供了大量的內(nèi)置函數(shù)及工具箱，從而被廣泛地應(yīng)用于科學(xué)計算、控制系統(tǒng)、信息處理等領(lǐng)域的分析、仿真和設(shè)計工作。其典型應(yīng)用主要有科學(xué)計算、算法開發(fā)、數(shù)據(jù)采集、建模仿真和原型設(shè)計、數(shù)據(jù)分析研究和可視化、科學(xué)和工程繪圖、應(yīng)用開發(fā)環(huán)境。因此用MATLAB是描繪靜電場的電場分布的有效工具之一。利用該軟件強大的實現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化的功能，可以在能夠推導(dǎo)出靜電場場強或電勢的合法公式甚至是測量出其足夠點處多場強或電勢值時，便可將靜電場的等電位線用二維或三維基本圖形和特殊圖形繪制出來，從而再利用正交原理將電場分布描繪出來。

利用該軟件模擬靜電場的最一般方法則是先將電位線或電場線的微分方程通過已有的物理和數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)出來，然后在MATLAB中求解得到的方程并用相關(guān)的函數(shù)做出對應(yīng)圖形即可。下面就以最簡單的等量異號點電荷系和同軸電纜的靜電場為例，利用MATLAB將其等電位線和電場線繪制出來以描述其靜電場的分布。（其他的靜電場類似于此過程）

3.1 等量異號的點電荷系電勢的分布：

（1）建立模型：XOY平面上在（2，0）和（－2，0）上分別有一帶正點的點電荷和一帶負電的點電荷［5］；

（3）利用MATLAB軟件進行模擬后得到的結(jié)果如圖1～2所示：

圖1 等量異號點電荷系電勢分布

圖2 等量異號的點電荷系電場分布圖

3.2 同軸電纜的靜電場及電勢的分布：

（1）建立模型：空間內(nèi)有以Z軸為中心軸線的一長直圓柱導(dǎo)體A（為方便建立模型，將其半徑忽略）和半徑為1的長直圓筒導(dǎo)體B；

（2）推導(dǎo)出計算公式：經(jīng)推導(dǎo)可得出其電勢公式 U＝λ／（2π＊ε）＊In（r2／r）.（r2為導(dǎo)體B的半徑，r為點到導(dǎo)體A的距離）；

（3）利用MATLAB軟件進行模擬運行后的結(jié)果如圖3～4所示。

4 分析及結(jié)論

傳統(tǒng)的靜電場模擬實驗是使用物理模擬法，借助與靜電場具有相同數(shù)學(xué)表達式和邊界條件的穩(wěn)恒電流場來模擬靜電場的一般方法。但是，傳統(tǒng)的靜電場實驗通常會存在較大的誤差。首先，實驗是用穩(wěn)恒電流場來模擬靜電場，由于二者本質(zhì)上就不是同一性質(zhì)的物質(zhì)場，因此便直接決定了誤差的產(chǎn)生。其次，在實驗過程中由于儀器誤差和操作不當又會造成一定的誤差。因此，傳統(tǒng)的靜電場模擬不能夠足夠準確地模擬出靜電場的真實分布。而從一定意義上來說，利用計算機模擬靜電場的實驗由于省去了穩(wěn)恒電流場這一中間橋梁便至少從根本上一定程度地削弱了實驗的誤差。在科學(xué)研究和工程技術(shù)中利用此方法可以更加準確地掌握靜電場從而可以更加廣泛地使用某些技術(shù)或達到事半功倍的效果。而在普通的物理學(xué)習(xí)和物理實驗中，此方法的介入可以激發(fā)學(xué)生積極探索的思維。

圖3 同軸電纜的靜電場電勢分布圖

圖4 同軸電纜的靜電場電場分布圖

［1］王斌科，傅振堂.大學(xué)物理實驗［M］.西安：西北大學(xué)出版社，2011：67－71.

［2］馬文蔚.大學(xué)物理［M］.北京：高等教育出版社，2006：232－234.

［3］張瑞杰，王靜.靜電場模擬描述實驗的誤差分析和儀器改進［J］.大學(xué)物理實驗，2012，25（3）：35－47.

［4］周莉英.靜電場的計算機模擬［D］.蘇州：蘇州大學(xué).

［5］張雅男，徐飛，葉影.MATLAB模擬靜電場與模擬靜電場實驗的比較［J］.物理與工程，2008：32－33.

［6］張笑天，楊 奮 強.MATLAB7.x 基 礎(chǔ) 教 程 ［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008：46－49.