Matlab在麥克斯韋速率分布律中的應(yīng)用

蔡莉莉，張 琳

（華北科技學(xué)院，河北 廊坊 065201）

Matlab是一套高性能的數(shù)值計算和可視化軟件，具有強大的數(shù)值、符號計算及繪圖、動畫功能，能形象生動、準(zhǔn)確和科學(xué)地反映物理學(xué)問題［1－2］，而且該軟件編程處理方便，效果形象直觀。麥克斯韋速率分布函數(shù)是大學(xué)物理熱學(xué)教學(xué)中很重要的一部分內(nèi)容，是研究氣體分子熱運動、氣體分子碰撞、大量分子熱運動服從統(tǒng)計規(guī)律性等問題的重要理論依據(jù)［3］。由于這部分內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識涉及概率、積分等復(fù)雜公式，其理論抽象、計算量大、曲線難畫，而 Matlab在數(shù)學(xué)推導(dǎo)、計算、繪圖上有其獨特的優(yōu)勢［4］，所以將Matlab軟件的繪圖和計算能力用于麥克斯韋速率分布函數(shù)的教學(xué)和研究中，通過Matlab形象地反映出復(fù)雜的物理函數(shù)式的含義及變化規(guī)律。在教學(xué)上更能生動和形象地以可視化形式展現(xiàn)熱運動現(xiàn)象的圖像，使需經(jīng)過復(fù)雜的理論學(xué)習(xí)、抽象的思維理解才能認識的現(xiàn)象，簡單而直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，幫助學(xué)生更深刻地理解和掌握麥克斯韋速率分布曲線的物理含義［5］。

1 麥克斯韋速度分布函數(shù)曲線

麥克斯韋認為：在任何方向，在單位速度間隔v～v＋dv內(nèi)的分子數(shù)dN與總分子數(shù)N0的比值的分布規(guī)律為［6］

其中，k是波爾茲曼常數(shù)是熱力學(xué)溫度；m是分子的質(zhì)量；v是某方向的速度，F(xiàn)（v）就稱為麥克斯韋速度分布函數(shù)。對該函數(shù)用Matlab編程，以文件maxwellsd.m為名存盤，得到同種氣體（以氧氣為例）在不同溫度下的F（v）～v曲線圖，編程語句如下：

當(dāng)分子的質(zhì)量一定時，溫度是參數(shù)，麥克斯韋速度分布函數(shù)的曲線形狀由溫度決定［7］，圖1是氧氣分子在不同溫度下的麥克斯韋速度分布曲線，從圖中可見不論溫度如何，分布函數(shù)的曲線都是對稱的，這說明在相等的速度間隔內(nèi)，運動速度方向相反的分子數(shù)是同樣多的，因而分子的平均速度為零，證實了熱運動中氣體分子沿各個方向運動的機會均等［8］。另外在F（v）～v曲線中間有一個峰值，這說明在速度接近零的速度間隔內(nèi)，分子數(shù)比較多，而速度很大的分子比較少，而且溫度升高峰值降低，而峰寬相應(yīng)增加，表明在相同的速度間隔內(nèi)，隨著溫度的升高速度小的分子減少了，速度大的分子增加了，說明溫度越高分子運動越劇烈。

圖1 不同溫度下麥克斯韋速度分布曲線

2 溫度、分子質(zhì)量對麥克斯韋速率分布的影響

當(dāng)只考慮速度的大小而不考慮速度的方向時，速度分布律蛻化為速率分布律。在三維速度空間中，在速度間隔vx～vx＋dvx，vy～vy＋dvy，vz～vz＋dvz內(nèi)，分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為［9］

引入速度空間的球坐標(biāo)v，θ，φ以球坐標(biāo)的體積元v2sinθdvdθdφ代替直角坐標(biāo)空間的體積元dvxdvydvz，并對方位角φ從0到2π積分，對仰角θ積分，體積元變?yōu)?πv2dv，（2）式可改

寫為

令

（3）式就是麥克斯韋速率分布函數(shù)，以溫度為參數(shù)對（3）式進行編程，編程語句只需將文件maxwellsd.m中的速度分布函數(shù)改為速率分布函數(shù)，將速率分布范圍設(shè)置為（0～1 600）m以文件maxwellsl.m為名存盤，運行該程序后得到不同溫度下的速率分布函數(shù)，見圖2。圖2中清晰地顯示，隨著溫度的升高，速率分布曲線變得平緩，峰值右移，向高速區(qū)域擴展，其最概然速率增大，說明溫度越高，分布在高速率區(qū)間的分子數(shù)所占百分比就越大，這就是通常所說的溫度越高，分子運動越劇烈的真正含義。由于歸一化條件的約束，其速率分布函數(shù)（峰值）減小，因此分布曲線在寬度增大的同時，高度降低，分布也就越趨均勻，整個曲線將變得“較平坦”。對于溫度為300K對應(yīng)的曲線速率超過1 200m／s的分子數(shù)趨于0，而對于溫度為600K對應(yīng)的曲線速率要大于1 600m／s才趨于0。

圖2 不同溫度下麥克斯韋速率分布曲線

以質(zhì)量為參數(shù)對（3）式進行編程時，只需修改文件maxwellsl.m中的溫度和氣體分子質(zhì)量即可。在溫度一定的情況下，不同分子的質(zhì)量是參數(shù)，麥克斯韋速率分布的函數(shù)曲線會隨質(zhì)量這個參數(shù)的改變而有所改變。圖3中分別是氖氣、氮氣、氧氣和氟氣在同一溫度（300K）下處于平衡態(tài)時的速率分布曲線，由圖清晰地看到隨著氣體分子質(zhì)量的增加，其最概然速率減小，但其速率分布函數(shù)的峰值增大，說明在相同速率間隔內(nèi)，向著各個方向運動的速率大的分子數(shù)量比較多，速率小的分子數(shù)量比較少，也就是說：在相同溫度下，質(zhì)量較大的分子運動的劇烈程度較小。平均平動動能僅與平衡態(tài)下的溫度有關(guān)［10］，因此，分子質(zhì)量越小，其運動就越劇烈，最概然速率也越大，分布在高速率區(qū)間的分子數(shù)百分比就越大，分布也越趨均勻。

圖3 同一溫度不同氣體的麥克斯韋速率分布曲線

3 一定速率范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比

根據(jù)麥克斯韋速率分布可求任何一個速率段的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例，設(shè)總分子數(shù)為N0，分子速率在區(qū)間0～v的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比可表示為［11］

（5）代入（4），得

利用Matlab中的梯形累積函數(shù)cumtrapz可計算（6）式積分值，編程語句如下：

將Matlab數(shù)值計算結(jié)果作圖得到圖4，從圖中看到，分子速率在0～v之間的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例隨著v單調(diào)增加，這是因為v越大，0～v之間的分子數(shù)就越多。圖4給出了三種典型速率處的分子百分率，當(dāng)x＝v／vp＝l即v＝vp時，分子數(shù)占分子總數(shù)的比例是42.8%，分子數(shù)小于總分子數(shù)的一半，而分子速率大于最概然速率vp的分子占總數(shù)的比例是57.2%，超過總分子分子速率小于平均速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例是53.31%，分子數(shù)超過總分子數(shù)的一半；當(dāng)x方均根速率的分子數(shù)占分子總數(shù)的比例是60.84%；當(dāng)x＝2.5即v＝2.5vp時，分子速率從0到v的分子數(shù)就占了全部分子數(shù)的絕大部分。

圖4 0～u之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例

4 結(jié) 論

通過Matlab軟件在大學(xué)物理熱學(xué)部分的麥克斯韋分布律的教學(xué)中的實例應(yīng)用，可見該軟件在大學(xué)物理教學(xué)中有其獨特的優(yōu)勢：第一，由Matlab繪制的分布曲線具有精確的位置關(guān)系、描述準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，引入課堂帶來生動感、真實感，起到非常好的教學(xué)輔助作用；第二，利用Matlab可以很方便地將數(shù)值計算的結(jié)果可視化，可以利用Matlab解物理方程及微積分問題，從而擺脫枯燥乏味的數(shù)學(xué)運算；第三，可以利用Matlab強大的繪圖功能把復(fù)雜物理公式中的規(guī)律直觀地展現(xiàn)出來，從而更深入地理解其中的物理奧秘。總之，通過Matlab軟件的使用可以有效地提高教學(xué)效率，讓學(xué)生更直觀地理解物理原理，可以降低實驗教學(xué)的成本，提高教學(xué)效果。

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