須叢曲線理論研究

吳紅艷，王府梅

（東華大學(xué) 紡織學(xué)院，上海 201620）

1940年，文獻(xiàn)[1]提出照影機(jī)曲線理論，即利用梳子取樣法，在纖維長(zhǎng)度根數(shù)累積分布圖中，一根被握持著的纖維，其左端伸出握持點(diǎn)的長(zhǎng)度至少為L(zhǎng)的概率是L右邊面積除以總面積，進(jìn)而得出照影機(jī)曲線為纖維長(zhǎng)度根數(shù)累積分布曲線的一次積分，也等于纖維長(zhǎng)度根數(shù)分布曲線的兩次積分.

1959年，文獻(xiàn)[2]對(duì)Hertel提出的照影機(jī)曲線理論進(jìn)行了分析與批判，并指出對(duì)各種長(zhǎng)度的纖維而言，其左端伸出握持點(diǎn)的長(zhǎng)度不小于L的事件是不等概率事件，而Hertel卻簡(jiǎn)單地把它看作等概率事件，因此認(rèn)為Hertel的理論存在缺陷.

1972年，文獻(xiàn)[3]采用基于氣流式棉纖維長(zhǎng)度測(cè)試儀的鉗夾取樣器，從須叢的長(zhǎng)度根數(shù)頻率分布角度，根據(jù)纖維頭端在夾子內(nèi)的分布情況，利用條件概率和邊緣分布理論推導(dǎo)出3種不同的照影機(jī)曲線，并給出平均長(zhǎng)度和變異系數(shù)的計(jì)算方程，但沒有討論須叢長(zhǎng)度分布與原樣品長(zhǎng)度分布的關(guān)系.此外，指出Hertel推導(dǎo)的方程不適宜作照影機(jī)曲線方程.

1973年，文獻(xiàn)[4]指出文獻(xiàn)[3]得到的平均長(zhǎng)度應(yīng)為質(zhì)量平均長(zhǎng)度而不是根數(shù)平均長(zhǎng)度.

1987年，文獻(xiàn)[5]指出Hertel得出的須叢曲線的縱坐標(biāo)應(yīng)代表原樣品的相對(duì)質(zhì)量而不是相對(duì)根數(shù)，這與文獻(xiàn)[3，6]的觀點(diǎn)一致，且利用須叢曲線的切線方程給出了更多的長(zhǎng)度指標(biāo)計(jì)算方法.隨后，很多學(xué)者[7－9]對(duì)須叢曲線理論進(jìn)行過研究.

一個(gè)完整的須叢曲線理論應(yīng)包括：須叢曲線理論方程、須叢纖維長(zhǎng)度分布與原樣品長(zhǎng)度分布間的關(guān)系、纖維長(zhǎng)度根數(shù)分布與質(zhì)量分布的關(guān)系、纖維長(zhǎng)度指標(biāo)的計(jì)算方法，同時(shí)應(yīng)明確各個(gè)分布是長(zhǎng)度質(zhì)量分布還是長(zhǎng)度根數(shù)分布.文獻(xiàn)[10-12]都指出每個(gè)方程都應(yīng)明確是根數(shù)分布還是質(zhì)量分布.但現(xiàn)有研究尚未完整、充分、明確地闡述以上關(guān)系，很多觀點(diǎn)存在各種各樣的爭(zhēng)議.為此，本文提出一種纖維長(zhǎng)度測(cè)量的新制樣方法，推導(dǎo)論證新方法制得須叢曲線的理論方程，并完整地討論上述各種關(guān)系，給出各種長(zhǎng)度指標(biāo)的計(jì)算式.

1 制樣方法

本文延用由文獻(xiàn)[13]提出的須叢概念，即須叢為從原樣品中取出并經(jīng)過制樣得到的用于長(zhǎng)度測(cè)試的纖維試樣.

本文提出一種纖維條梳夾取樣法用于制取測(cè)試用須叢.借助纖維引伸器或其他裝置將待測(cè)纖維制成纖維條，如圖1所示，使纖維沿纖維條軸向伸直、平行且隨機(jī)排列.在纖維條的任一橫截面處用鉗夾將其夾住，扯去未被夾持的纖維，并梳去浮游纖維，如圖2所示.然后用另一鉗夾緊貼原鉗夾口夾持須叢，移去初始鉗夾，梳去另一端浮游纖維，制成寬約5cm質(zhì)量約20～40mg的雙端測(cè)試用須叢，如圖3所示.

圖1 纖維條Fig.1 Sliver

圖2 須叢制作Fig.2 Production of the beard

圖3 須叢Fig.3 The beard

此制樣方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：纖維被夾持后不會(huì)有任何滑移、脫離的現(xiàn)象；纖維均伸直、平行，在夾持線處無糾纏且無一根纖維被多次握持現(xiàn)象；測(cè)試可以從緊貼夾持線處開始；制樣簡(jiǎn)單、快速、方便，試樣代表性強(qiáng).

2 須叢長(zhǎng)度分布與原樣品長(zhǎng)度分布的關(guān)系

須叢長(zhǎng)度分布與原樣品長(zhǎng)度分布存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系.只有明確了兩者間的數(shù)學(xué)關(guān)系，才能通過須叢長(zhǎng)度分布計(jì)算出原樣品的長(zhǎng)度分布，并討論由須叢所得的各統(tǒng)計(jì)量與原樣品參數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.而須叢與原樣品長(zhǎng)度分布的關(guān)系取決于取試樣和制樣方法.

根據(jù)纖維條梳夾取樣法可知，纖維上的被夾持點(diǎn)沿纖維長(zhǎng)度方向是隨機(jī)的，纖維被夾持的概率與其長(zhǎng)度及根數(shù)頻率成正比[8]，即長(zhǎng)度為l（0＜l≤lm，lm為最長(zhǎng)纖維的長(zhǎng)度）的纖維在任一點(diǎn)被夾取的概率為k·l·p（l，其中：k為常數(shù)，等于須叢與原樣品的纖維根數(shù)比；p（l）為原樣品長(zhǎng)度根數(shù)頻率密度函數(shù)；l為原樣品纖維根數(shù)平均長(zhǎng)度.

以N表示原樣品的纖維總根數(shù)，Nl表示須叢中長(zhǎng)度為l的纖維根數(shù)，則

所以，須叢中纖維長(zhǎng)度根數(shù)頻率密度函數(shù)f（l）為

原樣品纖維根數(shù)平均長(zhǎng)度由式（2）計(jì)算

將式（2）代入式（1）得

由前人研究可知，纖維長(zhǎng)度質(zhì)量分布pw（l）與長(zhǎng)度根數(shù)分布的關(guān)系[8，14－15]為

將式（3）和（4）聯(lián)立得

由此可見，由纖維條梳夾取樣方法制得的須叢長(zhǎng)度根數(shù)分布等于原樣品的長(zhǎng)度質(zhì)量分布.

3 須叢曲線理論方程

須叢曲線理論方程是指須叢中伸出夾持線某一距離L（0≤L≤lm）的相對(duì)纖維量F（L）與L的關(guān)系.

綜上，將式（5）代入式（6）可得

式（7）為本文提出的新測(cè)試方法的須叢曲線理論方程，它與原樣品的質(zhì)量頻率密度分布直接相關(guān).

在式（7）中對(duì)L求一次微分得

求二次微分得

化簡(jiǎn)式（9）得須叢曲線與原樣品長(zhǎng)度質(zhì)量分布的關(guān)系為

4 長(zhǎng)度指標(biāo)提取

由于實(shí)際操作中很難做到圖1所示的纖維條為理想隨機(jī)排列，導(dǎo)致實(shí)測(cè)須叢曲線方程難免包含一些誤差，若按式（10）求微分會(huì)進(jìn)一步放大誤差，所以式（10）所示的基于須叢曲線反推纖維長(zhǎng)度分布的問題是個(gè)難題[3].但可直接在須叢曲線上提取長(zhǎng)度指標(biāo)，由式（10）可知，須叢曲線上提取的各統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)著原樣品長(zhǎng)度質(zhì)量參數(shù).

4.1 質(zhì)量加權(quán)平均長(zhǎng)度

文獻(xiàn)[3，5，15]都曾將數(shù)學(xué)期望應(yīng)用于求纖維長(zhǎng)度均值，這里也將利用數(shù)學(xué)期望求質(zhì)量平均長(zhǎng)度.根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義可得纖維長(zhǎng)度為l的數(shù)學(xué)期望為

將式（10）代入式（11）得

利用分部積分法得

從上文的分析可知式（13）的第一部分為0，所以

再利用分部積分法得

所以原樣品的質(zhì)量加權(quán)平均長(zhǎng)度為須叢曲線與坐標(biāo)軸包圍面積的2倍.

4.2 長(zhǎng)度質(zhì)量分布的變異系數(shù)

由方差的定義可得

將式（10）代入式（16）得

對(duì)式（17）進(jìn)行兩次分部積分得

因此可得變異系數(shù)CV為

可利用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算出長(zhǎng)度質(zhì)量分布的變異系數(shù).

4.3 主體長(zhǎng)度

須叢曲線分布如圖4所示，設(shè)F（l0）為須叢曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)（l1）為臨近F（l0）的一點(diǎn).兩點(diǎn)間的弧長(zhǎng)為ΔS，作兩點(diǎn)的切線相交于F，夾角為Δα，兩切線分別與y軸相交于D和E.則根據(jù)曲率定義得l0處的曲率為

圖4 須叢曲線Fig.4 The fibrogram

因此，當(dāng)ΔS為定值時(shí)kl0∝Δα.由圖4可知，在∠BFE中Δα＝∠BFE－∠BFD，Δα∝，所以有

另外，根據(jù)須叢曲線可求得l0處的質(zhì)量頻率密度為

由式（7）和（8）聯(lián)立可得

將式（23）代入式（22）可得

所以有

聯(lián)合式（21）和（26）可得

主體長(zhǎng)度是指在纖維長(zhǎng)度分布中占質(zhì)量或根數(shù)最多的那部分纖維長(zhǎng)度[16]，因此當(dāng)最大時(shí)，pw（l）最大，此時(shí)的l0即為纖維的主體長(zhǎng)度lz，而此時(shí)l0處的曲率kl0也為最大，即須叢曲線上具有最大曲率點(diǎn)的橫坐標(biāo)值就是原樣品的質(zhì)量主體長(zhǎng)度.

4.4 品質(zhì)長(zhǎng)度

品質(zhì)長(zhǎng)度是指主體長(zhǎng)度lz以上各組纖維的質(zhì)量加權(quán)平均長(zhǎng)度[16].根據(jù)定義可得品質(zhì)長(zhǎng)度lp的表達(dá)式為

將式（10）代入式（28）的分子，并利用分部積分法可得

由式（23）可知，當(dāng)L＝lz時(shí)有

將式（29）和（30）代入式（28）可得品質(zhì)長(zhǎng)度為

5 結(jié) 語

本文提出一種制取纖維長(zhǎng)度測(cè)量用須叢的新方法——纖維條梳夾取樣法，推證分析了須叢長(zhǎng)度分布與原樣品長(zhǎng)度分布的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)利用新制樣法得到的須叢長(zhǎng)度根數(shù)分布等于原樣品的長(zhǎng)度質(zhì)量分布.然后建立了須叢曲線理論方程，推導(dǎo)出原樣品長(zhǎng)度質(zhì)量分布與須叢曲線的關(guān)系.最后給出由須叢曲線求取原樣品長(zhǎng)度特征指標(biāo)（包括平均長(zhǎng)度、主體長(zhǎng)度、品質(zhì)長(zhǎng)度、變異系數(shù)）的方法，其中平均長(zhǎng)度為須叢曲線與坐標(biāo)軸包圍面積的2倍；主體長(zhǎng)度為須叢曲線上具有最大曲率點(diǎn)的橫坐標(biāo)值；而變異系數(shù)和品質(zhì)長(zhǎng)度也可利用數(shù)學(xué)軟件快速算得.

參 考 文 獻(xiàn)

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