分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解的存在性

靳 威，寇春海

（東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620）

分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解的存在性

靳 威，寇春海

（東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620）

研究了一類帶有積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題，運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了邊值問題正解存在的充分條件，改進(jìn)了已有的結(jié)果，同時(shí)給出了一些實(shí)例，說明所得結(jié)果的有效性.

分?jǐn)?shù)階微分方程；積分邊值問題；正解；Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題得到廣泛的關(guān)注，其在力學(xué)、物理、化學(xué)工程和經(jīng)濟(jì)等方面有著廣泛的應(yīng)用，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視［1－11］.文獻(xiàn)［1］研究了如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題：

其中：2＜α≤3，0＜λ＜2，CDα是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；f：［0，1］×［0，＋∞）→ ［0，＋∞）是連續(xù)函數(shù).運(yùn)用Guo－Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了邊值問題（1）的正解的存在性條件.

本文運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，以期在更弱的條件下，保證邊值問題（1）的正解的存在性，改進(jìn)文獻(xiàn)［1］的結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

給出本文用到的有關(guān)定義和引理.

定義1［2］假設(shè)f：R＋→R，f的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中：α＞0，t≥0.

根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)，文獻(xiàn)［1］得到如下結(jié)果.

引理1［1］設(shè)2＜α≤3，λ≠2，p（t）∈C［0，1］，則邊值問題

有唯一解

這里

引理3［1］設(shè)2＜α≤3，0＜λ＜2，則對(duì)于任意的t，s∈［0，1］，下面的不等式成立，

本文主要運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理.

引理4（Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理） 設(shè)Ω是Banach空間X的一個(gè)有界凸閉集，T是Ω到其自身的全連續(xù)映射，則T在Ω內(nèi)至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

對(duì)于任意y（t）∈C［0，1］，定義范數(shù)

首先考慮式（3）的邊值問題

由引理1知，邊值問題（3）有唯一解

定義算子

易證，y（t）是邊值問題（1）的解當(dāng)且僅當(dāng)y（t）是算子T的不動(dòng)點(diǎn)，于是，問題轉(zhuǎn)化為只需證明T存在不動(dòng)點(diǎn).

定理1 若f0＝0，則邊值問題（1）至少存在一個(gè)正解.

對(duì)于y∈Ω1，由函數(shù)G和f的連續(xù)性和非負(fù)性可得，

同時(shí)，由引理2知，

由引理3知，對(duì)任意t∈［0，1］，下述不等式成立，

下面證明 ‖Ty‖ ≤B，事實(shí)上，由式（4）及β的定義，有

因此，TΩ1?Ω1.

運(yùn)用與文獻(xiàn)［1］中類似的方法，可以證明T：Ω1→Ω1是全連續(xù)的.由引理4知，T在Ω1中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，從而邊值問題（1）至少存在一個(gè)正解.

注1 在文獻(xiàn)［1］中，要求同時(shí)滿足f∞＝ ∞.本文定理1去掉了這樣的假設(shè)，從而改進(jìn)了文獻(xiàn)［1］的相關(guān)結(jié)果.

定理2 若f∞＝0，則邊值問題（1）至少存在一個(gè)正解.

對(duì)于y∈Ω2，類似于定理1的證明，可以知道

下面證明‖Ty‖≤B′，事實(shí)上，

因此，TΩ2?Ω2.

運(yùn)用與文獻(xiàn)［1］類似的方法，可以證明T：Ω2→Ω2是全連續(xù)的.由引理2知，T在Ω2中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，從而邊值問題（1）至少存在一個(gè)正解.

注2 在文獻(xiàn)［1］中，要求同時(shí)滿足f0＝∞.本文定理2去掉了這樣的假設(shè)，從而改進(jìn)了文獻(xiàn)［1］的相關(guān)結(jié)果.

運(yùn)用與定理1類似的證明方法，可知T在Ω3中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，從而邊值問題（1）至少存在一個(gè)正解.

運(yùn)用與定理2類似的證明方法，可知T在Ω4中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，從而邊值問題（1）至少存在一個(gè)正解.

3 舉 例

下面給出兩個(gè)例子來說明本文結(jié)果的有效性.

例1 考慮邊值問題：

顯然，

根據(jù)定理1知邊值問題（5）至少存在一個(gè)正解.

例2 考慮邊值問題：

參 考 文 獻(xiàn)

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［4］ZHANG S.Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations［J］.Electron J Differential Equations，2006，2006（36）：1－12.

［5］DARWISH M A，NTOUYAS S K On initial and boundary value problems for fractional order mixed type functional differential inclusions［J］.Comput Math Appl，2010，59（3）：1253－1265.

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［9］BAI Z B，Lü H S.Positive solutions of boundary value problems of nonlinear fractional differential equation［J］.J Math Anal Appl，2005，311（2）：495－505.

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［11］AHMAD B，SIVASUNDARAM S.Existence of solutions for impulsive integral boundary value problems of fractional order［J］.Nonlinear Anal：Hybrid Syst，2010，4（1）：134－141.

Existence of Positive Solutions for Fractional Differential Equation with Integral Boundary Value Conditions

JINWei，KOUChun－h(huán)ai
（College of Science，Donghua University，Shanghai 201620，China）

A class of fractional differential equation with integral boundary value problems is investigated.By using the Schauder fixed－point theorem，some sufficient conditions are established to guarantee the existence of positive solutions for this kind of problems，which improve the known results.Furthermore，some examples are given to illustrate the advantages of the results.

fractional differential equation；integral boundary conditions；positive solutions；Schauder fixed－point theorem

O 175.8

A

1671－0444（2013）05－0695－04

2012－06－29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10971221）

靳 威（1986—），男，河南項(xiàng)城人，碩士研究生，研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程.E－mail：jinwei1987316＠126.com

寇春海（聯(lián)系人），男，教授，E－mail：kouchunhai＠dhu.edu.cn