超混沌Lorenz系統(tǒng)與超混沌Rossler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步

□蔣 楠

(山西廣播電視大學(xué)，山西 太原 030027)

引言

最近幾年，人們掀起了超混沌系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)同步研究的熱潮，其中4維不同超混沌系統(tǒng)之間的同步問題已經(jīng)成為研究者關(guān)注的一個重要研究方向。在保密通訊應(yīng)用中，由于高維非線性動力系統(tǒng)中通常會產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象，即同時存在2個或2個以上的正的Lyapunov指數(shù)，故其保密性和抗破譯性有了很大的改觀，因此研究超混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步具有很重要的價值。

Rssler給出了超混沌的概念，并提出了超混沌Rossler系統(tǒng)。經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)通過設(shè)計非線性狀態(tài)反饋控制器使之產(chǎn)生了超混沌行為。文獻［5］通過引入坐標變換分析了投影同步的產(chǎn)生機理，實現(xiàn)了單向耦合超混沌Lorenz系統(tǒng)的投影同步，文獻［6］采用自適應(yīng)同步方法，實現(xiàn)了4個不確定參數(shù)的超混沌Lorenz系統(tǒng)的同步。以上文獻集中討論了兩系統(tǒng)的參數(shù)和動力學(xué)方程相同條件下，超混沌系統(tǒng)的同步。而在實際應(yīng)用中，受噪聲和系統(tǒng)硬件等方面的影響，幾乎不存在兩個參數(shù)完全相同的系統(tǒng)。文獻［7］實現(xiàn)了參數(shù)全部未知的情況下，Lorenz系統(tǒng)與Rossler系統(tǒng)的主動與自適應(yīng)同步。文獻［8］研究了超混沌Rossler系統(tǒng)和超混沌Lorenz系統(tǒng)的全狀態(tài)混合投影同步。以上工作均沒有實現(xiàn)在參數(shù)不確定的情況下，超混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步問題。本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，實現(xiàn)了在參數(shù)全部未知情況下，超混沌Lorenz系統(tǒng)和超混沌Rossler系統(tǒng)的主動與自適應(yīng)同步，并用Matlab6．5軟件進行數(shù)值模擬，仿真結(jié)果表明該方法的有效性。

一、超混沌Lorenz系統(tǒng)與超混沌Rossler系統(tǒng)的主動同步

為了實現(xiàn)超混沌Lorenz系統(tǒng)與超混沌Rossler系統(tǒng)的主動同步，選取超混沌Rossler系統(tǒng)為驅(qū)動系統(tǒng):

以超混沌Lorenz系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng):

式(2)中 u1，u2，u3，u4為控制函數(shù)，以實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)系統(tǒng)(1)與響應(yīng)系統(tǒng)(2)的同步，由(2)減(1)得到誤差系統(tǒng)

由此將超混沌系統(tǒng)的主動同步轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)(3)在零點的穩(wěn)定性問題。式中ei=yi-xi，定義非線性反饋控制函數(shù)如下:

將(4)代入(3)中，得到誤差系統(tǒng)

誤差系統(tǒng)(5)是一個線性系統(tǒng)，V1，V2，V3，V4為誤差狀態(tài)e1，e2，e3，e4的控制輸入函數(shù)，能起到鎮(zhèn)定系統(tǒng)的作用，當t→∞時，e1，e2，e3，e4收斂于 0，這就說明驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達到了主動同步。對于 V1，V2，V3，V4有多種選擇，若

式中:A為4×4常數(shù)矩陣，為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，若選擇矩陣A為以下形式:

則反饋系統(tǒng)(5)的特征值為-1，-1，-1，-1，這種情況下，當 t→∞時，誤差狀態(tài) e1，e2，e3，e4收斂到 0，這就意味著超混沌Lorenz系統(tǒng)與超混沌Rossler系統(tǒng)達到主動同步。

二、超混沌Lorenz系統(tǒng)與超混沌Rossler系統(tǒng)的自適應(yīng)同步

自適應(yīng)同步方法是在參數(shù)未知或者系統(tǒng)不確定，或受外界噪音、隨機擾動影響下，設(shè)計合理的自適應(yīng)控制函數(shù)。在系統(tǒng)運行過程中，發(fā)現(xiàn)問題并且提取相關(guān)信息，使系統(tǒng)模型逐步優(yōu)化完善，從而達到所預(yù)期的控制目標。因此自適應(yīng)同步方法具有廣泛適用性。

如果超混沌Lorenz系統(tǒng)與超混沌Rossler系統(tǒng)之間的誤差ei(i=1，2，3，4)隨時間的變化逐漸趨于零，則兩系統(tǒng)達到同步。假設(shè)系統(tǒng)參數(shù) a1，b1，c1，d1，r1，a，c，d 全部未知，由響應(yīng)系統(tǒng)(2)減去驅(qū)動系統(tǒng)(1)得到誤差動力系統(tǒng)(3)。

定理1:任意初始條件下，若選擇參數(shù)自適應(yīng)率β=ke4(k為常數(shù))和反饋控制函數(shù)u(x)為:

則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)達到全局漸進同步。

證明:將反饋控制函數(shù)(6)代入誤差動力系統(tǒng)(3)中，則誤差系統(tǒng)為:

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

則此函數(shù)沿著誤差系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)為:

如果a1＞0，c1＜0，d＞0，k＜0，則全導(dǎo)數(shù)˙v≤0。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，誤差動力系統(tǒng)一致漸進趨于原點。因此在參數(shù)自適應(yīng)率與非線性反饋控制函數(shù)的調(diào)控下，超混沌Lorenz系統(tǒng)與超混沌Rossler系統(tǒng)達到自適應(yīng)同步。

三、運用Matlab6．5進行數(shù)值模擬

運用Matlab6．5編程，采用步長為0．001的四階Runge-Kutta法進行仿真。當參數(shù)值 a=0．25，b=3，c=0．5，d=0．05，a1=35，b1=7，c1=12，d1=3，r1=5 時，兩系統(tǒng)同時達到混沌。當時間 t=10s，取初值 x1(0)=3，x2(0)=-4，x3(0)=2，y1(0)=-3，y2(0)=4，y3(0)=-2，y4(0)=-2，e(0)=［-5，4，-7，2］，得到誤差 e1，e2，e3，e4隨時間變化迅速趨于零的圖像，表明超混沌Lorenz系統(tǒng)和超混沌Rossler系統(tǒng)達到主動同步。

圖1 參數(shù)全部未知的主動同步誤差圖

圖2 采用自適應(yīng)方法(一)的同步誤差圖

從方程(7)出發(fā)，選取初值 e(0)=［-8，4，1，2］時，超混沌Lorenz系統(tǒng)和超混沌Rossler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)自適應(yīng)同步的數(shù)值仿真見圖2。

結(jié)論

本文研究了超混沌Lorenz系統(tǒng)與超混沌Rossler系統(tǒng)的主動同步與自適應(yīng)同步問題。首先從理論上構(gòu)造了超混沌誤差系統(tǒng)，通過設(shè)計合適的控制函數(shù)與參數(shù)自適應(yīng)率，使得驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達到同步，采用Lyapunov函數(shù)理論來判據(jù)同步誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時利用Matlab6．5軟件對其進行了數(shù)值模擬仿真，從而判定了在參數(shù)全部未知的情況下，兩個超混純系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步，其保密性和抗破譯性更強。因此超混純系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)混純同步可望在保密通訊應(yīng)用中大顯身手。兩個超混沌系統(tǒng)達到同步。

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［8］張群嬌．超混沌Rssler系統(tǒng)和超混沌Lorenz系統(tǒng)的全狀態(tài)混合投影同步［J］．動力學(xué)與控制學(xué)報，2009，(2):148-152．