廣義測不準(zhǔn)關(guān)系對無限深勢阱問題的影響

馬孟森，李懷繁，趙惠華

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

廣義測不準(zhǔn)關(guān)系對無限深勢阱問題的影響

馬孟森，李懷繁，趙惠華

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009）

考慮了廣義測不準(zhǔn)原理，并重新計算無限深勢阱問題，得到能量本征值。結(jié)果表明，此時的能量本征值除了包含通常的En=h2π2n2/2ma2以外，還包含能量修正項。而且能量本征值修正項只與參數(shù)α有關(guān)，與其它的參數(shù)沒有關(guān)系。

廣義測不準(zhǔn)關(guān)系；無限深勢阱

1 引言

自從20世紀(jì)30年代人們就已經(jīng)知道位置和動量之間的測不準(zhǔn)關(guān)系的存在，[x^，p^]=i?或者ΔxΔp≥?/2。根據(jù)坐標(biāo)算符和動量算符可以構(gòu)成一些其他量子算符。但是近年來隨著量子引力理論的發(fā)展，特別是在弦論和圈量子引力理論中都預(yù)言“最小尺度”的存在[1]。而這個所謂的“最小尺度”可能正是來自于廣義測不準(zhǔn)關(guān)系[2-3]。這也開辟了一個很有意思的研究方向。

最完整的廣義測不準(zhǔn)關(guān)系是[4-6]：考慮一種特殊情況[7-9]：α=χ=0，此時上式化為一個簡單的形式：

或者

本文考慮β=0的特殊情況，此時在位置表象下，滿足方程（1）的坐標(biāo)和動量算符可表示為：因此，

2 無限深勢阱

當(dāng)x?（0，a）時有Ψ（x）=0，特別是在邊界上有Ψ（0）=Ψ（a）=0。當(dāng)x∈（0，a）時，薛定諤方程變?yōu)閷挒閍的一維無限深勢阱有即做變量代換，令方程（9）變成

其中，ε＝2mE蛐?2α，Δ＝γ蛐α。注意這里的波函數(shù)＝（ρ）。

從方程（11）可以看出，若γ=0，則方程化為通常的一維無限深勢阱的波動方程，只是這里的變量是ρ而不是x。因為γ是任意的，所以物理量應(yīng)該不依賴于γ的值。事實上，可以通過計算證明γ=0和γ≠0給出同樣的能量本征值。下面只給出γ=0的結(jié)果，更一般的情況筆者另文論述。此時方程為該方程有通解為其中，C1，δ是兩個積分常數(shù)。在新坐標(biāo)下邊界為ρ=0和ρ=ρa(bǔ)=arctana，在邊界上有（0）＝（ρa(bǔ)）＝0。據(jù)此可推得δ=0以及故能量本征值為

把ρa(bǔ)=arctana代入上式并做泰勒級數(shù)展開，可得顯然，該結(jié)果首要項即為通常的一維無限深勢阱的能量本征值，修正項都依賴于α。所以，如果α=0，則由廣義測不準(zhǔn)關(guān)系得到的能量本征值就回到了通常的結(jié)果。

3 結(jié)論

根據(jù)廣義測不準(zhǔn)關(guān)系，得到修正的一維無限深勢阱問題的能量本征值。結(jié)果表明，存在與α相關(guān)的能量修正項，而與其它參數(shù)沒有關(guān)系。雖然無限深勢阱是一種理想情況，但是對這種理想問題的研究既可以反映出廣義測不準(zhǔn)原理的特點，而且該研究方法還可以推廣到其他情況，如有限深勢阱以及線性諧振子等問題。無論如何，廣義測不準(zhǔn)關(guān)系是否成立及其參數(shù)的值都需要在將來的量子力學(xué)實驗中進(jìn)行驗證。

[1]AmatiD，CiafaloniM，Veneziano G.Can spacetime be probed below the string size[J].Phys Lett B，1989 226：41.

[2]Konishi K，PaffutiG，Provero P.Minimum physical length and the generalized uncertainty principle in string theory[J].Phys Lett B，1990，234：276-284.

[3]Maggiore M.Quantum groups，gravity，and the generalized uncertainty principle[J].Phys Rev D，1994，49：5182-5187.

[4]Kempf A，Mangano G，Mann R B.Hilbert space representation of theminimal length uncertainty relation[J].Phys Rev D，1995，52：1108-1118.

[5]Kempf A.Uncertainty relation in quantum mechanicswith quantum group symmetry[J].JMath Phys，1994，35：4483-4496.

[6]NozariK，Pedram P，Molkara M.Minimal length，maximalmomentum and the entropic force law[J].Int JTheor Phys，2012，51：1268-1275.

[7]Chang L N，Minic D，Okamura N，et al.Takeuchi，Exact solution of the harmonic oscillator in arbitrary dimensions with minimal length uncertainty relations[J].Phys Rev D，2002，65：125027.

[8]Medved A JM，Vagenas E C.When conceptual worlds collide-The generalized uncertainty principle and the Bekenstein-Hawking entropy[J].Phys Rev D，2004，70：124021.

[9]Zhao R，Wu Y Q，Zhang L C.Generalized uncertainty principle and thermodynamic quantities of the Achucarro-Ortiz b lack hole [J].Mod Phys Lett A，2008，23：839-846.

〔責(zé)任編輯 李 ?！?/p>

Generalized U ncertainty P rincip le and its E ffect on S quare W ell

MA Meng-sen，LIHuai-fan，ZHAO Hui-hua

（School of Physical Science and Electronics，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

In this paper we considered the generalized uncertainty principle and recalculated the infinite potential square well to obtain the energy eigenvalue.It show s that the energy eigenvalue is different from the usual result En＝h2π2n2蛐2ma2because of the existence of some correction terms.Moreover，the correction terms are only relevant to the parameterα.

generalized uncertainty principle；infinite potential squarewell

O411.1

A

2012-10-10

國家自然科學(xué)基金理論物理專項[11247261]；國家自然科學(xué)基金項目[11075098，11175109]；山西大同大學(xué)博士科研啟動經(jīng)費[2011-B-03]；

馬孟森（1984-），男，河北滄州人，博士，講師，研究方向：引力理論、黑洞物理、宇宙學(xué)。

1674－0874（2013）01－0030－04