沖擊塊與金屬圓柱殼相互作用的緩沖吸能分析

戴向勝，馬建敏

（復(fù)旦大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433）

引 言

由于金屬圓柱殼能夠以可控的疊縮模式，通過(guò)塑性變形吸收能量，因此，金屬圓柱殼緩沖吸能結(jié)構(gòu)已在航空航天、導(dǎo)彈發(fā)射、汽車等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但由于其緩沖吸能是通過(guò)金屬的塑性大變形完成的，因此給研究其吸能機(jī)理和精確計(jì)算吸收能量和變形之間的關(guān)系帶來(lái)了困難。因而引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此問(wèn)題的探索研究。Alexander把塑性變形分為兩類：彎曲變形和伸縮變形，假定圓柱殼是由理想剛塑性材料制成的，根據(jù)圓柱殼的最終破壞模式提出了靜態(tài)塑性鉸模型，并且得到了圓柱殼吸收的能量［1］。Singace在移行直線型塑性鉸模型基礎(chǔ)上研究了偏心率與吸能效率之間的關(guān)系，并給出最優(yōu)偏心率、塑性鉸長(zhǎng)度和平均壓縮載荷位移曲線以及瞬時(shí)載荷位移曲線［2］。Wierzbicki和Bhat提出了更接近實(shí)際疊縮變形過(guò)程的移行S型塑性鉸模型，在計(jì)算塑性變形能時(shí)依然把圓柱殼作為理想剛塑性材料計(jì)算出載荷位移曲線［3］。Karagiozova應(yīng)用有限元軟件LS－DYNA對(duì)圓柱殼在沖擊情況下的緩沖作用進(jìn)行了研究，得到了在低速?zèng)_擊和高速?zèng)_擊下的金屬圓柱殼的響應(yīng)歷程［4］。

在文獻(xiàn)［1～3］中所研究的都是圓柱殼靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)吸能問(wèn)題，從而把材料假設(shè)為剛塑性的，文獻(xiàn)［4］應(yīng)用有限元軟件對(duì)圓柱殼在沖擊情況下的緩沖吸能進(jìn)行了研究。因?yàn)閳A柱殼在沖擊載荷作用下會(huì)出現(xiàn)大變形，高應(yīng)變率以及絕熱溫升現(xiàn)象，所以本文引入了Johnson Cook材料本構(gòu)方程對(duì)沖擊物體和圓柱殼之間的相互作用進(jìn)行了理論研究，運(yùn)用角度增量疊縮法計(jì)算圓柱殼的塑性變形能、沖擊塊的速度和位移曲線以及圓柱殼的載荷位移曲線。

1 圓柱殼緩沖吸能計(jì)算

在計(jì)算圓柱殼緩沖吸能時(shí)，本文選擇了在準(zhǔn)靜態(tài)情況下能夠滿足工程需要的Singace模型，把整個(gè)疊縮過(guò)程根據(jù)角度增 量Δα分成N個(gè)疊縮，整個(gè)塑性變形能是所有N個(gè)疊縮的塑性變形能之和，塑性變形能包括彎曲變形能和伸縮變形能［1］。

1．1 疊縮模型及基本假設(shè)

設(shè)具有一定初始機(jī)械能的沖擊塊（質(zhì)量M）在碰撞接觸圓柱殼時(shí)的初始沖擊速度是V0，在整個(gè)疊縮過(guò)程中沖擊塊和圓柱殼頂面一直保持接觸，因此當(dāng)沖擊塊的垂直位移為δ、速度為V時(shí)，圓柱殼頂面的疊縮速度也是V。設(shè)零勢(shì)能面在圓柱殼的底面，圓柱殼高度是L、厚度是h、平均半徑是R。Singace疊縮模型把整個(gè)疊縮過(guò)程分為內(nèi)翻和外翻兩個(gè)階段，如圖1所示。假設(shè)圓柱殼所受到的沖擊載荷以及所產(chǎn)生的疊縮變形都是軸對(duì)稱的；不考慮應(yīng)力波效應(yīng)以及其他能量損失；沖擊塊的機(jī)械能絕大部分轉(zhuǎn)化為圓柱殼的塑性變形能；金屬圓柱殼在厚度方向上沒有變形。

1．2 塑性變形能計(jì)算

以下是內(nèi)翻階段圓柱殼塑性變形能的計(jì)算過(guò)程，外翻階段同理。

圖1 Singace疊縮模式Fig．1 Singace fold model

彎曲變形能包括在疊縮過(guò)程中的3個(gè)塑性鉸B，C和D（圖2所示，對(duì)應(yīng)的j＝1，2，3）因角度變化而產(chǎn)生的塑性變形能計(jì)算公式如下

圖2 BC，CD疊縮單元示意圖Fig．2 BC，CDfold element diagram

式中rj為每個(gè)塑性鉸到軸線的距離為第i個(gè)疊縮中材料的等效應(yīng)力，為第i個(gè)疊縮中塑性鉸變化的角度。

伸縮變形能是因圓柱殼在周長(zhǎng)方向上有伸縮變形而產(chǎn)生的塑性變形能，內(nèi)翻階段包括BC段和CD段的疊縮（如圖1（a）），計(jì)算公式如下

公式（1），（2）中的應(yīng)用Johnson Cook本構(gòu)方程進(jìn)行計(jì)算［5］

式中為等效應(yīng)力為等效應(yīng)變?yōu)闊o(wú)量綱應(yīng)變率為參考應(yīng)變率（取1s）［6］。Ti為材料溫度，Tm為室溫，Tr為材料的熔點(diǎn)溫度。式（3）中右邊3項(xiàng)括弧內(nèi)容分別描述了材料的應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)、應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)和溫度軟化效應(yīng)。

根據(jù)塑性體積不變?cè)硪约氨ぜ僭O(shè)有

式中ε1為在圓柱殼周長(zhǎng)方向上的應(yīng)變，ε2為在圓柱殼長(zhǎng)度方向上的應(yīng)變，ε3為在圓柱殼厚度方向上的應(yīng)變，所以等效應(yīng)變是

BC段和CD段在內(nèi)翻階段的圓柱殼周長(zhǎng)方向上的應(yīng)變?yōu)?/p>

為金屬圓柱殼的平均應(yīng)變率［7］，該參數(shù)可由下式計(jì)算得到

疊縮長(zhǎng)度H由下式得到［2］

沖擊載荷做功會(huì)導(dǎo)致圓柱殼材料的溫度升高，因此需要考慮溫度軟化效應(yīng)。因?yàn)楦鱾€(gè)部分變形的程度不同，所以各個(gè)部分還有溫度差異；這種溫度差異就會(huì)導(dǎo)致各個(gè)部分之間的熱傳導(dǎo)。即在計(jì)算第k個(gè)疊縮的塑性變形能時(shí)必須要考慮前k－1個(gè)疊縮因塑性變形而產(chǎn)生的溫度升高的影響。溫度升高包括兩個(gè)部分：一個(gè)是在塑性鉸部分因彎曲變形而導(dǎo)致溫度升高；一個(gè)是因沿著圓柱殼周長(zhǎng)方向上產(chǎn)生伸縮變形而導(dǎo)致溫度升高。

設(shè)因彎曲變形而產(chǎn)生的溫度升高全部集中在長(zhǎng)度是h的塑性鉸部分（圖2所示粗線部分）。把一個(gè)2H單元（BC或CD）作為一個(gè)計(jì)算整體，在沿長(zhǎng)度方向上建立熱傳導(dǎo)方程

式中φ為導(dǎo)熱系數(shù)，T為沿2H單元長(zhǎng)度方向上的溫度，t為熱傳導(dǎo)時(shí)間，l為2H單元上任一點(diǎn)到端點(diǎn)的距離。

在整個(gè)2H單元中塑性鉸部分的溫度值是最高的，熱量是從2H單元的兩端向中間傳導(dǎo)的，即塑性鉸部分是有阻隔的作用，因此可以假設(shè)塑性鉸兩端的熱交換為零，從而可以得到一個(gè)2H單元熱傳導(dǎo)的邊界條件是

根據(jù)式（9），（10）在2H單元上的溫度分布函數(shù)為

根據(jù)式（11），設(shè)第i個(gè)疊縮因彎曲變形和伸縮變形而產(chǎn)生的溫度變化在經(jīng)過(guò)時(shí)間t之后沿著2H單元長(zhǎng)度方向上的溫度分布函數(shù)分別為

彎曲變形的熱傳導(dǎo)初始條件是

為塑性鉸部分在第i個(gè)疊縮時(shí)所產(chǎn)生的溫度升高值，其計(jì)算公式為

對(duì)熱傳導(dǎo)的初始條件（14）進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開得到

對(duì)2H單元，在初始時(shí)刻的溫度分布函數(shù)式（12）和（16）應(yīng)該相等

由上式可以得到式（12）中的系數(shù)是

第i個(gè)疊縮時(shí)因伸縮變形而引起的溫度升高可用下式進(jìn)行計(jì)算

式中ρ為材料密度，Cv為比熱，φ為塑性功轉(zhuǎn)化為材料溫升的比例。

因此2H單元在初始時(shí)刻的溫度分布函數(shù)為

由上式得到式（13）的系數(shù)為

第i個(gè)疊縮因彎曲變形和伸縮變形而產(chǎn)生的溫度升高在經(jīng)過(guò)時(shí)間t之后在2H單元長(zhǎng)度方向上的溫度分布函數(shù)為式（12），（13）兩者疊加之和

圓柱殼頂面的疊縮速度V和圓柱殼頂面的疊縮垂直位移δ之間的關(guān)系是

其中

根據(jù)初始條件

可以得到疊縮時(shí)間t，疊縮速度V以及瞬時(shí)角度α之間的關(guān)系

通過(guò)式（27）可以計(jì)算得到熱傳導(dǎo)的時(shí)間。在計(jì)算第i個(gè)疊縮圓柱殼塑性變形能時(shí)，應(yīng)該將i－1個(gè)

把公式（5），（7）以及（28）代入公式（3），即得到了圓柱殼任意一點(diǎn)的等效應(yīng)力，再把公式（3）代入公式（1）和（2）可以得到圓柱殼在內(nèi)翻階段總的塑性變形能ES－in為

上式就是基于Johnson Cook本構(gòu)方程，考慮應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)、應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)和溫度效應(yīng)的圓柱殼塑性變形能的理論計(jì)算公式，是本文理論計(jì)算的依據(jù)。同理可得到圓柱殼在外翻階段的塑性變形能ES－out。疊縮所產(chǎn)生的溫度疊加并考慮熱傳導(dǎo)，所以在第i個(gè)疊縮時(shí)2H單元的溫度分布函數(shù)應(yīng)為

2 沖擊塊的速度位移及圓柱殼的瞬時(shí)載荷計(jì)算

圓柱殼在受到?jīng)_擊塊的碰撞時(shí)會(huì)因疊縮而產(chǎn)生一部分機(jī)械能，該部分機(jī)械能與圓柱殼在碰撞過(guò)程中所產(chǎn)生的塑性變形能相比較數(shù)值很小，所以在本文的計(jì)算中忽略不計(jì)。

在初始時(shí)刻系統(tǒng)的總能量E0為沖擊塊的動(dòng)能及勢(shì)能之和

在沖擊接觸過(guò)程中，當(dāng)沖擊塊的垂直位移為δ時(shí)，系統(tǒng)總能量Eδ包括沖擊塊的機(jī)械能EMδ以及圓柱殼的塑性變形能ES，ES為圓柱殼經(jīng)過(guò)內(nèi)翻和外翻循環(huán)疊縮所產(chǎn)生的垂直位移為δ時(shí)的塑性變形能，具體根據(jù)內(nèi)翻塑性變形能ES－in或外翻塑性變形能ES－out計(jì)算。而沖擊塊的機(jī)械能為

所以在沖擊接觸過(guò)程中，當(dāng)沖擊塊的垂直位移為δ時(shí)系統(tǒng)的總能量為

根據(jù)沖擊塊以及圓柱殼所組成的系統(tǒng)能量守恒有

根據(jù)公式（30），（32），（33）可以得到?jīng)_擊塊的速度與位移之間的關(guān)系

沖擊過(guò)程中的瞬時(shí)載荷可用第i個(gè)疊縮中，圓柱殼的塑性變形能變化量和疊縮垂直位移的變化量之比得到，即

3 理論計(jì)算和比較分析

受試驗(yàn)條件的限制，為了驗(yàn)證本文提出的理論計(jì)算方法的可靠性，選用在沖擊計(jì)算方面應(yīng)用廣泛且可靠性較高的LS－DYNA有限元軟件［8］，對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，把其計(jì)算結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。

3．1 數(shù)值計(jì)算過(guò)程

建立和實(shí)際情況相同的有限元模型如圖3所示。

圖3 沖擊塊和金屬圓柱殼相互作用有限元模型Fig．3 FEM model of interaction between impact object and metal shell

圓柱殼用Shell163單元，算法是Belytschkowong，沖擊塊用solid 164，屬性是剛體；加載時(shí)通過(guò)給沖擊塊一個(gè)初始的速度沖擊圓柱殼；網(wǎng)格劃分是2mm×2mm；接觸是single contact；把圓柱殼模型頂部各節(jié)點(diǎn)的3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度進(jìn)行約束；并且把底部各節(jié)點(diǎn)全部自由度進(jìn)行約束。圖4為給定參數(shù)的有限元模擬結(jié)果。

圖4 沖擊塊和圓柱殼相互作用有限元模擬結(jié)果Fig．4 FEM simulation result between interaction of impact object and metal shell

3．2 理論計(jì)算與分析

選擇3組不同的材料2024Al－T351，4340Steel與1006Copper進(jìn)行計(jì)算。對(duì)應(yīng)的Johnson Cook本構(gòu)參數(shù)以及物理參數(shù)如表1，2所示。

表1 不同材料的Johnson Cook方程系數(shù)Tab．1 Johnson Cook equation coefficient of different material

表2 不同材料的物理參數(shù)Tab．2 Physical parameters of different material

圓柱殼幾何參數(shù)是：平均半徑30mm、壁厚2mm、設(shè)疊縮時(shí)的偏心率是λ＝0．65，轉(zhuǎn)化系數(shù)φ＝0．95，沖擊塊的質(zhì)量是25kg，初始沖擊速度是15m／s。

（1）不同計(jì)算方法2024Al－T351圓柱殼一個(gè)完整疊縮過(guò)程所吸收能量的比較

圖5 圓柱殼所吸收能量位移曲線Fig．5 Absorbed energy displacement curve of metal shell

圖5是在不同計(jì)算方法下完成一個(gè)完整疊縮（包括一個(gè)內(nèi)翻階段和一個(gè)外翻階段），2024Al－T351圓柱殼的塑性變形能，采用Johnson Cook本構(gòu)計(jì)算所得到的塑性變形能最大值是1 279．7J；對(duì)應(yīng)的剛塑性材料模型計(jì)算得到的塑性變形能最大值是1 051J；通過(guò)有限元軟件計(jì)算得到的塑性變形能最大值是1 246J。因?yàn)椴扇×四軌蛎枋霾牧蟿?dòng)態(tài)特征的Johnson Cook本構(gòu)方程進(jìn)行計(jì)算，所以選擇Johnson Cook本構(gòu)方程對(duì)圓柱殼的塑性變形能所得到的曲線更接近有限元軟件的計(jì)算結(jié)果；并且比剛塑性材料計(jì)算得到的塑性變形能多大約20%，這與文獻(xiàn)9中的圖9所提及的動(dòng)態(tài)試驗(yàn)與靜態(tài)試驗(yàn)之比的比例很接近，可見使用Johnson Cook本構(gòu)方程計(jì)算是較為可行的。

（2）內(nèi)翻階段BC，CD段溫度分布圖

圖6 BC段溫度分布圖Fig．6 BCsection temperature distribution diagram

圖7 CD段溫度分布圖Fig．7 CDsection temperature distribution diagram

圖8 不同材料圓柱殼沖擊塊速度位移曲線Fig．8 Speed displacement curve of impact object with different material

從圖6，7中可以看出，塑性鉸部分的溫度上升了35℃左右，而在中間段部分的溫度上升了約15℃，這是因?yàn)閺澢冃文芩急壤哭D(zhuǎn)化為塑性鉸部分的溫度，而伸縮變形能要分布在整個(gè)2H部分，又因?yàn)榀B縮的時(shí)間很短，溫度傳導(dǎo)的時(shí)間也很短，所以呈現(xiàn)出在一個(gè)2H單元中靠近塑性鉸部分的溫度高，而在2H單元中間的溫度低的情況。

圓柱殼在緩沖過(guò)程中因塑性變形而導(dǎo)致圓柱殼材料溫度升高的數(shù)值在30～40°C之間，也就是在公式（3）中的溫度效應(yīng)項(xiàng)（Ti－Tr），該項(xiàng)與（Tm－Tr）的比例大約在5%左右，而且m的數(shù)值一般在1．05左右，可見疊縮導(dǎo)致溫度升高對(duì)材料特性的影響很小。

（3）沖擊作用下不同材料圓柱殼疊縮速度和瞬時(shí)載荷計(jì)算

3種材料的Johnson Cook本構(gòu)方程的系數(shù)各不相同，對(duì)應(yīng)變、應(yīng)變率以及溫度的敏感程度也不同，但是其理論計(jì)算結(jié)果與有限元軟件計(jì)算得到的曲線較為接近，因此可以認(rèn)為Johnson Cook本構(gòu)方程對(duì)不同材料在沖擊過(guò)程中都有較好的適用性。

因?yàn)閳A柱殼在疊縮過(guò)程中依次經(jīng)過(guò)內(nèi)翻和外翻兩個(gè)階段的循環(huán)，所以會(huì)出現(xiàn)圓柱殼瞬時(shí)載荷位移曲線內(nèi)翻階段的波峰波谷與外翻的階段的波峰波谷周期性變化。

圖9 不同材料圓柱殼瞬時(shí)載荷位移曲線Fig．9 Instantaneous load elisplacement curves of different material

4 結(jié) 論

在研究金屬圓柱殼在沖擊作用下，塑性變形緩沖吸能問(wèn)題時(shí)，考慮到金屬圓柱殼塑性變形大、形變形式多樣化和溫度變化等因素的影響，選用考慮應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)、應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)和溫度效應(yīng)的Johnson Cook本構(gòu)方程，對(duì)其疊縮變形能進(jìn)行理論計(jì)算是切實(shí)可行的，不但可以用于不同材質(zhì)的金屬圓柱殼，且計(jì)算精度較高；Singace疊縮模型雖然和實(shí)際疊縮形式有一定的差異，但可以用于計(jì)算金屬圓柱殼塑性變形能，和有限元計(jì)算結(jié)果比較誤差比較小；從本文對(duì)不同材質(zhì)的金屬圓柱殼塑性變形能的計(jì)算結(jié)果可見，在小沖擊情況下，金屬圓柱殼由于疊縮變形而引起的材料溫升比較小，因此溫度效應(yīng)對(duì)計(jì)算圓柱殼的塑性變形能影響較小。

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