轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)分析

孫述鵬，曹登慶，初世明

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

引 言

轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼在諸多工程機(jī)械中應(yīng)用廣泛，如高速離心機(jī)、航空發(fā)動(dòng)機(jī)高速轉(zhuǎn)動(dòng)鼓筒等。轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來(lái)的科氏力、離心慣性力及環(huán)向初應(yīng)力，使得轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼具有不同于靜態(tài)圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性。具體說(shuō)來(lái)，一方面，離心慣性力使殼體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生環(huán)向初應(yīng)力，導(dǎo)致殼體剛度增加，從而使轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼頻率隨轉(zhuǎn)速的升高而增加；另一方面，受轉(zhuǎn)動(dòng)速度矢量與變形速度矢量不一致而導(dǎo)致的科氏力的影響，轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼頻率隨轉(zhuǎn)速的變化發(fā)生分岔，產(chǎn)生不同頻率的前、后行波，區(qū)別于靜態(tài)圓柱殼頻率所對(duì)應(yīng)的駐波（振型）。轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼這種行波振動(dòng)的特點(diǎn)，使得傳統(tǒng)的求解靜態(tài)圓柱殼振動(dòng)響應(yīng)的方法不再適用。因此，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)的研究，具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者通過(guò)解析、數(shù)值、實(shí)驗(yàn)等手段對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究工作［1～12］，比較之下，對(duì)激振力作用下轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)的研究則相對(duì)較少［13～16］。在為數(shù)不多的行波振動(dòng)響應(yīng)研究中，以Huang的工作最具代表性［13～15］。Huang將兩端簡(jiǎn)支圓柱殼行波模態(tài)（travelling mode）代入基于Love－Timoshenko殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的振動(dòng)微分方程中，并利用三角函數(shù)的正交性將方程離散為常微分方程組，通過(guò)數(shù)值求解常微分方程組，進(jìn)而采用類似模態(tài)疊加的方法求得響應(yīng)?；诖怂悸?，Huang著重分析和探討了科氏力對(duì)兩端簡(jiǎn)支轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱殼強(qiáng)迫振動(dòng)的影響以及簡(jiǎn)諧移動(dòng)載荷作用下的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼體的共振現(xiàn)象。需要指出的是，Huang的結(jié)果，均針對(duì)兩端簡(jiǎn)支邊界條件的轉(zhuǎn)動(dòng)柱殼，而對(duì)其他類型的邊界條件并沒(méi)有提及。兩端簡(jiǎn)支約束的圓柱殼的振型可以解析地表達(dá)為三角函數(shù)組合的形式，而對(duì)于其他類型邊界條件下圓柱殼的振型，解析表達(dá)式的獲取則是困難的，因此有必要發(fā)展一種適用于求解各種類型邊界約束的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)的方法。國(guó)內(nèi)也有部分學(xué)者在轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)響應(yīng)的求解方面做了一些工作。如李健等應(yīng)用Donnell殼體理論［16］，采用復(fù)分析的方法研究了轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁懸臂圓柱殼在法向激勵(lì)作用下的行波振動(dòng)。因作者僅通過(guò)在靜態(tài)薄壁圓柱殼上施加反向轉(zhuǎn)動(dòng)的激勵(lì)來(lái)處理轉(zhuǎn)動(dòng)柱殼受迫振動(dòng)問(wèn)題，因此轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來(lái)的離心慣性力、科氏力等的影響未能在模型中反映出來(lái)，并且作者采用的Donnell簡(jiǎn)化殼體理論盡管形式簡(jiǎn)單，但因其主要考慮法向彎曲變形，忽略了平面內(nèi)兩個(gè)方向的慣性力，不能準(zhǔn)確反映3個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的耦合，且對(duì)環(huán)向波數(shù)較小的模態(tài)，頻率計(jì)算并不準(zhǔn)確。

本文考慮由轉(zhuǎn)動(dòng)引起的科氏力、離心慣性力及環(huán)向初應(yīng)力影響，利用Hamilton原理，建立了基于Sanders殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程［17］。選取滿足相應(yīng)邊界條件的軸向梁函數(shù)來(lái)逼近各類邊界條件下的圓柱殼軸向振型分布［18］。進(jìn)而采用Galerkin方法，對(duì)振動(dòng)微分方程進(jìn)行離散，得到6自由度陀螺轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。然后，通過(guò)疊加各行波模態(tài)的響應(yīng)，得到了任意典型邊界條件下轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)一般解的形式。最后，分別針對(duì)靜坐標(biāo)系下橫向簡(jiǎn)諧力和恒力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)，給出了相應(yīng)算例，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了簡(jiǎn)要分析。

1 基于Sanders殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程

考慮長(zhǎng)L、厚H、半徑為R，并以角速度Ω繞中軸轉(zhuǎn)動(dòng)的各向同性薄壁圓柱殼，該圓柱殼的密度、彈性模量、泊松比分別為ρ，E，μ。如圖1所示，正交曲線坐標(biāo)系（x，θ，z）為建立在殼體中曲面上的動(dòng)坐標(biāo)系。相對(duì)于該坐標(biāo)系，殼體中曲面上點(diǎn)的軸向、切向、法向的變形位移分別為u，v，w。在殼體中面微元上，x，θ，z三個(gè)方向的單位面積外載荷分量分別為qx，qθ，qz。

圖1 載荷作用下的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼模型圖Fig．1 Sketch of the geometrical relations of a thin rotating cylindrical shell

轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的動(dòng)能可表示為

由環(huán)向初應(yīng)力所引起的初應(yīng)變能為［11］

式中＝ρHΩ2R2為離心慣性力導(dǎo)致的環(huán)向初應(yīng)力。

其中，基于Sanders殼體理論的薄壁圓柱殼中曲面的薄膜應(yīng)變分量與彎曲應(yīng)變（曲率變化）分量可分別表示為

考慮各向同性薄壁圓柱殼，有應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系如下

其中

薄壁圓柱殼應(yīng)變能可表示為

綜合考慮式（2）及（7），可得轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼總的應(yīng)變能

面載荷所做虛功可表示為

由哈密頓原理，可導(dǎo)出基于Sanders殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程如下

實(shí)際工程系統(tǒng)不可避免存在阻尼因素，受阻尼影響，系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)將衰減，進(jìn)而剩余工程中關(guān)心的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。通常情況下，阻尼是由試驗(yàn)測(cè)定的，這里假設(shè)阻尼為等效粘性阻尼，比例系數(shù)為ιmn，并在建立的振動(dòng)方程中引入阻尼項(xiàng)。振動(dòng)控制方程（10）可改寫為如下形式

2 轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)一般解

對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼體自由振動(dòng)特性的研究表明［19］，轉(zhuǎn)動(dòng)引起的離心慣性力使殼體產(chǎn)生周向應(yīng)力，導(dǎo)致殼體剛度增加，從而使得轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼較靜態(tài)圓柱殼頻率有所增加；同時(shí)，受轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼變形速度矢量與轉(zhuǎn)動(dòng)速度矢量方向不同所引起的科氏力影響，轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼頻率隨轉(zhuǎn)速變化發(fā)生分岔，產(chǎn)生頻率不同的前、后行波。此時(shí)的模態(tài)已不是通常意義下的振型（駐波），而是與時(shí)間有關(guān)的行波?；诖?，將轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)解的一般形式設(shè)為如下形式：

考慮到除兩端簡(jiǎn)支約束薄壁圓柱殼外，具有其他邊界條件的圓柱殼軸向振型分布很難用解析式表示出來(lái)，這里利用圓柱殼振型的軸向分布接近于相應(yīng)邊界條件梁振型函數(shù)的特性，采用梁函數(shù)來(lái)逼近圓柱殼軸向振型函數(shù)。一般可設(shè)3個(gè)方向的振型分布有如下形式［18］

式中ψ（x）為相應(yīng)邊界條件下連續(xù)梁的振型函數(shù)，一般形式如下

系數(shù)ci（i＝1，…，4）由邊界條件決定。為后面算例中分析方便，這里給出兩端固支連續(xù)梁的振型函數(shù)，其他邊界條件的梁的振型函數(shù)可以參考振動(dòng)理論的相關(guān)內(nèi)容。

固支－固支邊界條件下，梁的振型函數(shù)為［20］

其中

將解的形式（14）代入轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程（13），并采用Galerkin方法進(jìn)行離散，對(duì)每個(gè)m，n組合的模態(tài)可得到一個(gè)6自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，寫成矩陣形式有

對(duì)方程（19）進(jìn)行數(shù)值積分，可得每個(gè)m，n組合的模態(tài)所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)的時(shí)間歷程。理論上講，將各個(gè)m，n組合的模態(tài)所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)的時(shí)間歷程，運(yùn)用式（14）進(jìn)行疊加，即可得出轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上各點(diǎn)的行波振動(dòng)響應(yīng)。

值得注意的是，環(huán)向波數(shù)n＝0時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱殼的各階模態(tài)均表現(xiàn)為駐波的形式，而考慮到本文主要探討的是轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)的求解方法，因此在式（14）中沒(méi)有考慮n＝0這一特殊模態(tài)。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

根據(jù)前面給出的方法，針對(duì)具有兩端固支約束的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼模型，進(jìn)行了計(jì)算和分析，算例所用幾何參數(shù)及材料常數(shù)列于表1?？紤]到殼體的面外彎曲振動(dòng)是對(duì)殼體動(dòng)力學(xué)特性起主導(dǎo)作用的振動(dòng)形式，故這里只分析對(duì)應(yīng)于彎曲振動(dòng)的行波頻率特性，和法向的位移響應(yīng)w。

表1 幾何參數(shù)及材料常數(shù)Tab．1 Geometric parameter and material property

3．1 行波振動(dòng)頻率特性與模型驗(yàn)證

忽略阻尼，則對(duì)每個(gè)m，n組合的模態(tài)所對(duì)應(yīng)的6自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程（19）可退化為陀螺轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的形式

因此，求解轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波頻率的問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為求解陀螺系統(tǒng)特征值問(wèn)題。Meirovitch給出了求解此類特征值問(wèn)題的方法［21］。需要指出，對(duì)于每個(gè)m，n組合的模態(tài)，有6個(gè)頻率值，其中頻率最低的兩個(gè)對(duì)應(yīng)于w方向彎曲振動(dòng)為主的行波頻率。

為驗(yàn)證離散模型的正確性，本文將所求得的行波頻率與由文獻(xiàn)［6］中的解析表達(dá)式所得結(jié)果進(jìn)行了比較，兩者結(jié)果吻合，如表2所示。

圖2所示為轉(zhuǎn)速6 000r／min，軸向振型階數(shù)m＝1情況下，動(dòng)坐標(biāo)下中行波頻率隨環(huán)向波數(shù)的變化曲線。動(dòng)坐標(biāo)系下，后行波頻率大于前行波頻率，且前、后行波頻率隨環(huán)向波數(shù)的增加均呈現(xiàn)先減小后增加的趨勢(shì)，并在環(huán)向波數(shù)大于9時(shí)逐漸重合。圖3所示為軸向振型階數(shù)m＝1，環(huán)向波數(shù)n＝3時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)系中行波頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。如圖3所示，轉(zhuǎn)速為零時(shí)，前后行波頻率值一致，產(chǎn)生的是駐波，即傳統(tǒng)意義的振型。隨著轉(zhuǎn)速的增加，頻率發(fā)生分岔，產(chǎn)生頻率不同的前、后行波。前行波頻率隨轉(zhuǎn)速升高先有微弱的減小趨勢(shì)，繼而隨轉(zhuǎn)速的升高而增加。而后行波頻率隨轉(zhuǎn)速的變化，則一直呈現(xiàn)單調(diào)增加的趨勢(shì)。

圖2 行波頻率與環(huán)向波數(shù)的關(guān)系曲線Fig．2 Variation of the frequency parameter with respect to the circumferential wave number

圖3 行波頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線Fig．3 Variation of the frequency parameter with respect to rotating speed

3．2 靜坐標(biāo)系中橫向簡(jiǎn)諧力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)

受靜坐標(biāo)下幅值為F，頻率為的橫向簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，其所受單位面積外載荷分量可表示為

為計(jì)算和分析方便起見(jiàn)，這里僅取m＝1，n＝3所對(duì)應(yīng)的行波模態(tài)，并根據(jù)式（14）進(jìn)行疊加。

圖4 靜坐標(biāo)中橫向簡(jiǎn)諧力作用下（m＝1，n＝3）組合行波模態(tài)的響應(yīng)Fig．4 Response of（m＝1，n＝3）travelling mode for a rotating cylindrical shell under transverse harmonic loads in the stationary coordinate

圖5 靜坐標(biāo)系中橫向簡(jiǎn)諧力作用下（m＝1，n＝3）組合行波模態(tài)響應(yīng)的幅頻曲線Fig．5 Amplitude－frequency curve of（m＝1，n＝3）travelling mode for a rotating cylindrical shell under transverse harmonic loads in the stationary coordinate

綜合上面的分析可知，一般地，當(dāng)靜坐標(biāo)系下橫向簡(jiǎn)諧力的頻率滿足如下條件時(shí)，會(huì)發(fā)生行波共振，

具有轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)的實(shí)際工程系統(tǒng)，在工作時(shí)應(yīng)盡量避開(kāi)這些共振點(diǎn)。

3．3 靜坐標(biāo)系中法向恒力作用下兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)

令＝0，由式（21）可得，受靜坐標(biāo)下幅值為F的法向恒力作用的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，其所受單位面積外載荷分量的表達(dá)式

若（x＊，θ＊）表示初始時(shí)刻動(dòng)坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上一點(diǎn)P，此時(shí)該點(diǎn)位于靜坐標(biāo)下的空間點(diǎn)P0，兩點(diǎn)重合。t時(shí)刻后，與靜坐標(biāo)下的空間點(diǎn)P0重合的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上點(diǎn)的坐標(biāo)則可表示為（x＊，θ＊－Ωt）。由式（14），相應(yīng)點(diǎn)的位移響應(yīng)為

圖6 與靜坐標(biāo)下空間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上相應(yīng)點(diǎn)的響應(yīng)Fig．6 Response of one point on a rotating cylindrical shell in stationary coordinate

如圖6所示，4個(gè)空間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上點(diǎn)的響應(yīng)隨時(shí)間變化逐漸收斂。即，靜坐標(biāo)系下法向恒力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，其形變形狀在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后不隨時(shí)間而改變，如圖7所示。從波動(dòng)的觀點(diǎn)講，兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，受靜坐標(biāo)系下法向恒力作用，產(chǎn)生了靜坐標(biāo)系下的駐波。受此影響，當(dāng)形變導(dǎo)致的應(yīng)力水平超過(guò)材料破壞極限，可能產(chǎn)生破壞，此外也可能會(huì)給轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼帶來(lái)疲勞加速等問(wèn)題，這些都是值得進(jìn)一步研究的課題。

圖7 靜坐標(biāo)系下法向恒力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的形變Fig．7 Deformation of a rotating cylindrical shell under point force

4 結(jié) 論

本文考慮由轉(zhuǎn)動(dòng)引起的科氏力、離心慣性力及環(huán)向初應(yīng)力影響，利用Hamilton原理，建立了基于Sanders殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程，提出了一種適用于求解各種邊界約束的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)的方法?；诖朔椒ǎ謩e針對(duì)靜坐標(biāo)系下橫向簡(jiǎn)諧力和恒力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了求解和分析。得到以下結(jié)論：

（1）通過(guò)選取滿足相應(yīng)邊界條件的軸向梁函數(shù)來(lái)逼近各類邊界條件下的圓柱殼軸向振型分布，可以克服除簡(jiǎn)支以外的各類邊界條件下圓柱殼振型的解析表達(dá)式不易獲取的困難。在此基礎(chǔ)上發(fā)展的方法，適用于求解各種類型邊界約束的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)。

（2）兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，隨著轉(zhuǎn)速的增加，其頻率發(fā)生分岔，產(chǎn)生頻率不同的前、后行波。前行波頻率隨轉(zhuǎn)速升高先有微弱的減小趨勢(shì)，繼而隨轉(zhuǎn)速的升高而增加。而后行波頻率隨轉(zhuǎn)速的變化，則一直呈現(xiàn)單調(diào)增加的趨勢(shì)。

（3）當(dāng)靜坐標(biāo)系下橫向簡(jiǎn)諧力的頻率滿足時(shí)，兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼會(huì)發(fā)生行波共振，具有轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)的實(shí)際工程系統(tǒng)，在工作時(shí)應(yīng)盡量避開(kāi)這些共振點(diǎn)。

（4）受靜坐標(biāo)系下法向恒力作用，兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼會(huì)產(chǎn)生不隨時(shí)間改變的形變，即靜坐標(biāo)系下的駐波。受此影響，當(dāng)形變導(dǎo)致的應(yīng)力水平超過(guò)材料破壞極限，可能產(chǎn)生破壞，此外也可能會(huì)給轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼帶來(lái)疲勞加速等問(wèn)題，這些都是值得進(jìn)一步研究的課題。

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