丟番圖方程5·2x＋7·3y＝11＋2z·3w的計(jì)算機(jī)輔助解法＊

鄧謀杰，周小娥

（海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南?？?570228）

丟番圖方程5·2x＋7·3y＝11＋2z·3w的計(jì)算機(jī)輔助解法＊

鄧謀杰，周小娥

（海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南海口 570228）

利用計(jì)算機(jī)輔助方法，給出了指數(shù)丟番圖方程5·2x＋7·3y＝11＋2z·3w的全部整數(shù)解.

指數(shù)丟番圖方程；整數(shù)解；計(jì)算機(jī)輔助解法

1 問(wèn)題的提出

指數(shù)丟番圖方程在丟番圖方程理論中占有重要的地位，其研究成果不僅在數(shù)論研究中有重要的理論意義，同時(shí)還有重要的應(yīng)用價(jià)值.例如，用于高精度對(duì)數(shù)計(jì)算、有限單群的分類等［1］.但對(duì)指數(shù)丟番圖方程的研究常常是比較困難的，對(duì)于三元以上的指數(shù)丟番圖方程，其研究尤為困難.Christopher M.Skinner［2］用Baker方法證明了如下結(jié)論：

定理1 指數(shù)丟番圖方程

除去0解x＝y(tǒng)＝z＝w＝0外，僅有6組非0整數(shù)解

Baker方法是求解丟番圖方程的一個(gè)重要的高等方法，但常常需要很大的計(jì)算量.文獻(xiàn)［2］為求解方程（1），將對(duì)數(shù)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后220位.在文獻(xiàn)［2］結(jié)尾，作者指出求解形如（1）式的指數(shù)丟番圖方程需要使用諸如對(duì)數(shù)的線性形式之類的高等方法.筆者將借助計(jì)算機(jī)以上定理1的一個(gè)較為簡(jiǎn)單的初等證明.

2 相關(guān)引理

引理1 若（x，y，z，w）是（1）式的非0整數(shù)解，則它必滿足下列同余式之一：

證明 由文獻(xiàn)［3］知，

利用模m＝4，8，16，32，3，9，27，81，5，7，13，19，37，73，考慮同余式5·2x＋7·3y≡11＋2z3w（mod m），可得上述結(jié)論，但計(jì)算十分冗長(zhǎng).若使用計(jì)算機(jī)，只要在1≤x≤36，0≤y≤35，1≤z≤36，0≤w≤35的范圍內(nèi)檢驗(yàn).設(shè)m＝min｛x，z，4｝，n＝min｛y，w，3｝，在PC機(jī)上用UBASIC語(yǔ)言編寫的簡(jiǎn)短程序?qū)δ?m· 3n·5·7·13·19·37·73進(jìn)行檢驗(yàn)，運(yùn)行時(shí)間僅10s.

3 定理的證明

下面給出定理1的證明，分2種情形討論.

（Ⅰ）x＝0的情形.

此時(shí)（1）式右端必為奇數(shù)，于是有z＝0.原方程化為7·3y－3w＝6.

若w＝0，顯然有y＝0；若w＞0，則y＞0，但此時(shí)顯然7·3y－3w＞6，故不可能.于是x＝0時(shí)必有y＝z＝w＝0.

（Ⅱ）x＞0的情形.

設(shè)（x，y，z，w）為（1）式的任一非0整數(shù)解，由引理1知，僅有下列6種情形.

（ⅰ）（x，y，z，w）＝（1＋36k，36l，1＋36s，1＋36t）.故有

由236≡1（mod 9），對(duì)（2）式取模3可得l＝0；此時(shí)（2）式左端模9余8，由此可知必有t＝0，于是有5· 236k＋1－3·236s＋1＝4，從而有k＝s＝0.因此，在情形（?。?，（1）式僅有1組解（x，y，z，w）＝（1，0，1，1）.

對(duì)（3）式取模8可得k＝0，再取模16可得s＝0，于是原方程化為23·336t－7·336l＝1，由此顯然推出l＝t＝0.因此，在情形（ⅲ），（1）式僅有1組解（x，y，z，w）＝（2，2，3，2）.

對(duì)（4）式取模8可得k＝0，再取模27得t＝0，于是原方程化為236s＋6－7·336l＋2＝1.由236≡1（mod 27），取模27可得l＝0，從而s＝0.因此，在情形（ⅳ），（1）式僅有1組解（x，y，z，w）＝（2，4，6，2）.

（ⅴ）（x，y，z，w）＝（3＋36k，36l，2＋36s，2＋36t）.仿照情形（ⅳ）的討論可知，在情形（ⅴ），（1）式僅有1組解（x，y，z，w）＝（3，0，2，2）.

由于336≡1（mod 16），若s＞0，對(duì)（5）式取模16可得－1≡11（mod 16）的矛盾結(jié)果，因此s＝0，z＝1.由于［3］

對(duì)（5）式取模81，97，256可得如下4種情形（在PC機(jī)上利用UBASIC編寫的簡(jiǎn)短程序進(jìn)行檢驗(yàn)）：

（a）在y≡3（mod 1 152），x＞8時(shí)，由于31152≡1（mod 512），對(duì)（5）式取模512可得189≡2·36＋11≡445（mod 512）的矛盾.于是x＝8，進(jìn)而得到y(tǒng)＝3，w＝6.

在y≡579（mod 1 152），由于3192≡－1（mod 280 321），當(dāng)w≡6（mod 1 152）時(shí)，對(duì)（5）式取模2 80 321得

但這將導(dǎo)致

的矛盾.當(dāng)w≡6＋576（mod 1 152）時(shí)，由于348≡－1（mod 76 801），對(duì)（5）式取模76 801得

（d）與情形c類似，取模64 513可導(dǎo)致矛盾.

由以上討論知，此時(shí)（1）式僅有1組解（x，y，z，w）＝（8，3，1，6）.

綜合情形（Ⅰ），（Ⅱ），定理1得證.

［1］ 曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989.

［2］ CHRISTOPHER M SKINNER.On the Diophantine Equation apx＋bqy＝c＋dpzqw［J］.Journal of Number Theory，1990，35：194－207.

［3］ BRILLHART J，LEHMER D，SELFRIDGE J，et al.Factorizations of bn－1，b＝2；3；5；6；7；10；11；12up to High Powers［M］.2nd Edition.Providence：Amer.Math.Soc.，1988.

（責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔）

Computer Aided Solution of the Diophantine Equation 5·2x＋7·3y＝11＋2z·3w

DENG Mou-jie，ZHOU Xiao-e
（College of Information Science and Technology，Hainan University，Haikou 570228，China）

With computer assistance，all the solutions in integer of the Diophantine equation 5·2x＋7·3y＝11＋2z·3ware given in this paper.

exponential diophantine equation；solutions in integer；computer aided solution

O156.7

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.06.001

1007－2985（2013）06－0001－03

2013－04－16

海南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（113002）

鄧謀杰（1960－），男，黑龍江湯原人，海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教授，碩士，主要從事丟番圖方程研究.