重排譜圖在跳頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用

鄧 靈，張?zhí)祢U，金 靜，朱洪波

（重慶郵電大學(xué) 信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400065）

0 引 言

跳頻通信以其優(yōu)良的抗干擾性能和多址組網(wǎng)性能在軍事、民用通信得到了廣泛的應(yīng)用，于是如何對(duì)接收到的跳頻信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)和分析，獲得頻率，周期等技術(shù)參數(shù)以便通信雙方使用，已經(jīng)成為一種迫切需要［1，2］。

跳頻信號(hào)不同于一般的平穩(wěn)信號(hào)，其頻率不斷地跳變。對(duì)于這類非平穩(wěn)信號(hào)，常用時(shí)頻分析來(lái)處理。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期大量的研究，這些主要的時(shí)頻分析方法顯露了很多缺陷。短時(shí)傅里葉變換 （short－time fourier transform，STFT）雖然運(yùn)算量小，但是時(shí)間和頻率的分辨率不高［3］；維格分布（wigner－ville distribution，WVD）具有許多優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，但對(duì)于跳頻信號(hào)存在很大的交叉項(xiàng)干擾［4，5］；平滑偽維格分布 （smoothed pseudo WVD，SPWVD）通過(guò)分別在時(shí)域和頻域進(jìn)行平滑，有效地抑制了交叉項(xiàng)干擾，但降低了時(shí)頻分辨率［6，7］；重排類時(shí)頻分布在時(shí)頻聚集性和抑制交叉項(xiàng)干擾上都有良好的性能，考慮到參數(shù)估計(jì)需要精確的估計(jì)值，本文采用了重排譜圖的時(shí)頻分析方法，對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

重排譜圖的方法能有效地減少交叉項(xiàng)干擾，提高了時(shí)頻分布的聚集性，同時(shí)保留了維格分布的高時(shí)頻分辨率，使跳頻參數(shù)的估計(jì)值更加準(zhǔn)確。首先利用重排譜圖，對(duì)跳頻信號(hào)進(jìn)行處理，提取出重排譜圖在每個(gè)時(shí)刻的最大值，構(gòu)成峰值矢量，對(duì)峰值矢量進(jìn)行傅里葉變換，由頻譜峰值位置即可得出跳頻周期，在已知跳頻周期的基礎(chǔ)上，利用公式求出跳變時(shí)刻及跳頻頻率。

1 跳頻信號(hào)的時(shí)域特性

跳頻信號(hào)的主要參數(shù)有跳頻頻率、跳頻周期、跳變時(shí)刻及跳頻圖案，其定義參見(jiàn)文獻(xiàn) ［8］。常用的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

式中：0≤t≤T，T為跳頻信號(hào)的觀測(cè)時(shí)間；A為幅度；p為跳頻信號(hào)的載波頻率個(gè)數(shù)；recTh是寬度為Th的矩形窗；Th為跳頻信號(hào)的跳頻周期；｛ f1，f2，…，fk，…，fp｝ 為一個(gè)給定的頻率集，fk為跳頻信號(hào)的第k個(gè)跳變頻率；φ為載波的初始相位；n（t）為零均值的加性高斯白噪聲。

理想的跳頻信號(hào) （無(wú)噪聲）如圖1所示，其中，初始相位為φ＝0，跳頻周期為Th＝0.05s，觀測(cè)時(shí)間T為5個(gè)跳頻周期，采樣頻率fs＝1000Hz，采用的跳頻頻率為｛350，400，150，50，250｝Hz。

圖1 時(shí)域中的觀測(cè)信號(hào)

2 時(shí)頻分析方法

2.1 短時(shí)傅里葉變換 （STFT）及譜圖

短時(shí)傅里葉變換是一種典型的線性時(shí)頻表示［8］。給定一個(gè)窗長(zhǎng)很短的窗函數(shù)γ（t），讓窗在時(shí)間域上滑動(dòng)，則信號(hào)z（t）的短時(shí)傅里葉變換定義為

定義式表明，信號(hào)在時(shí)間t的短時(shí)傅里葉變換就是首先讓信號(hào)乘以一個(gè)以時(shí)間t為中心的窗函數(shù)η＊（u－t），然后對(duì)乘積作傅里葉變換，相當(dāng)于提取了信號(hào)在時(shí)間t附近的一個(gè)切片進(jìn)行分析，因此其物理意義可看成是信號(hào)z（t）在時(shí)刻t附近的一個(gè) “局部頻譜”。窗函數(shù)的選擇對(duì)局部頻譜的分辨率有明顯影響，窗寬要適應(yīng)信號(hào)的局部平穩(wěn)長(zhǎng)度，如何找到最優(yōu)的窗函數(shù)使短時(shí)傅里葉變換在實(shí)際應(yīng)用中受限。

由于能量本身就是一種二次型表示，當(dāng)我們用時(shí)頻分布來(lái)描述時(shí)間－頻率能量分布時(shí)，二次型時(shí)頻表示更加直觀，譜圖便是二次型時(shí)頻表示的一個(gè)典型例子。譜圖的定義為STFT的模值的平方

對(duì)于一般時(shí)變性比較明顯的信號(hào)，用譜圖來(lái)分析只能取很短的時(shí)間窗寬，因此存在時(shí)寬和帶寬分辨率的矛盾；但是對(duì)于多分量信號(hào)z（t）＝∑izi（t），譜圖的計(jì)算式為

式中：φzi（t，f）＝arg（STFTzi（t，f）），由上式可知，如果信號(hào)自身的譜圖不重疊，那么譜圖沒(méi)有交叉項(xiàng)。

2.2 維格分布 （WVD）

信號(hào)z（t）的維格分布定義為

對(duì)于多分量信號(hào)，不同信號(hào)分量之間交叉作用是比較嚴(yán)重，即使兩個(gè)信號(hào)分量的支撐區(qū)基本不重疊，維格分布仍會(huì)出現(xiàn)交叉項(xiàng)。由于維格分布嚴(yán)重的交叉項(xiàng)干擾，限制了它的實(shí)際應(yīng)用。

2.3 重排譜圖

對(duì)于以上二次型時(shí)頻分布的不足，Kodera K，De Villedary C等人首先提出了對(duì)譜圖進(jìn)行重排，來(lái)提高信號(hào)分量的時(shí)頻聚集性。隨后，Auger.F，F(xiàn)landrin.P提出了比較完善的重排公式［9］。

根據(jù)前面的定義，譜圖可以看成是信號(hào)和分析窗之間的維格分布的二維卷積，即

式中，Wh是窗函數(shù)的維格分布。式 （7）表明，乘積項(xiàng)Wz（s，ξ）W （t－s，f－ξ）之和即任意點(diǎn) （t，f）在時(shí)頻平面的值，可看作是對(duì)（t，f）的鄰近點(diǎn)的維格分布值進(jìn)行加權(quán)平均。因此，信號(hào)的譜圖是信號(hào)在以點(diǎn)（t，f）為中心的鄰近區(qū)域內(nèi)的能量平均值。這一求平均的運(yùn)算雖減小了信號(hào)的交叉項(xiàng)，同時(shí)也使信號(hào)的分量發(fā)生了擴(kuò)散［10，11］，重排方法通過(guò)重排算子，重新安排信號(hào)的能量在時(shí)頻域內(nèi)的分布，將各平均點(diǎn)分配到能量重心，以改善信號(hào)分量的能量聚集性。其中，重排算子定義為

2.4 譜圖、WVD及重排譜圖方法的比較

在理想的跳頻信號(hào)中加入信噪比為10dB的高斯白噪聲，分別用WVD、譜圖和重排譜圖進(jìn)行仿真，得到如圖2－圖4結(jié)果所示。

由圖2－圖4可以看出，WVD在有噪聲的情況下，跳頻圖案模糊，各分量間 （不同頻點(diǎn)之間，頻點(diǎn)與噪聲以及不同頻率的噪聲之間）存在嚴(yán)重的交叉項(xiàng)干擾；譜圖通過(guò)加權(quán)求平均，交叉項(xiàng)干擾顯著減少，跳頻圖案比較清晰，但是由于窗函數(shù)的選取受限 （此處選用了窗長(zhǎng)為61的漢寧窗），導(dǎo)致其時(shí)頻分辨率很低；重排譜圖方法在譜圖的基礎(chǔ)上，通過(guò)重新分配信號(hào)的能量分布提高了時(shí)頻聚集性，能夠清晰準(zhǔn)確地反映出跳頻信號(hào)的時(shí)頻特性，便于參數(shù)估計(jì)。

圖4 重排譜圖

3 跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)

對(duì)于接收到的跳頻信號(hào)以跳頻信號(hào)模型的采樣頻率fs進(jìn)行采樣，得到長(zhǎng)度為N的序列z（n），n＝0，1，…，N－1，具體的參數(shù)估計(jì)算法步驟如下：

跳頻周期

（3）用FFT變換對(duì)最大值矢量y（n）進(jìn)行處理，跳頻信號(hào)的跳頻速率fmax可由變換后的幅頻圖直接讀出，即幅度最大值所在的頻率點(diǎn)。繼而得到跳周期估計(jì)值＝其相應(yīng)的離散估計(jì)值為。

跳變時(shí)刻

（1）在實(shí)際應(yīng)用中，第一個(gè)周期和最后一個(gè)周期可能會(huì)因?yàn)榻邮詹煌暾嬖谳^大的誤差，作精確估計(jì)時(shí)只對(duì)中間的幾個(gè)周期進(jìn)行計(jì)算。求出y（n）在觀測(cè)時(shí)間n∈［＾NH＋1，N－＾NH］內(nèi)峰值所在的位置，得到p（k），k＝1，2，…，p，p是觀測(cè)出的峰值個(gè)數(shù)。

（2）計(jì)算觀測(cè)到的峰值的平均時(shí)刻：＾pα＝則估計(jì)出跳頻信號(hào)的離散跳變時(shí)刻為：－。

跳頻頻率

（1）在估計(jì)出跳周期＾NH和跳變時(shí)刻＾na的基礎(chǔ)上，求出在觀測(cè)時(shí)間N內(nèi)出現(xiàn)的完整頻點(diǎn)數(shù)目i＝（符號(hào)“［］”表示取不大于符號(hào)內(nèi)參數(shù)的最大整數(shù)）。

（2）跳頻信號(hào)的重排譜圖的峰值所對(duì)應(yīng)的頻率即跳頻頻率，即可得到跳頻信號(hào)的跳變圖案

4 仿真結(jié)果及性能分析

（1）時(shí)頻分析的定量評(píng)價(jià)

文獻(xiàn) ［10］用信息熵來(lái)定量地評(píng)價(jià)時(shí)頻分析的性能。信息熵用來(lái)描述事件發(fā)生的不確定程度，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中，pi為事件的概率分布，K為一個(gè)常數(shù)。由式可知，當(dāng)事件等概率分布時(shí)，此時(shí)信息熵最大，信息熵反映了概率分布的均勻性。在時(shí)頻分布中，信息熵值越大即概率分布越均勻，說(shuō)明其時(shí)頻聚集性越差；同理，在聚集性相同的條件下，信息熵值越大說(shuō)明交叉項(xiàng)干擾越大。因此，對(duì)于信號(hào)的時(shí)頻分析，其信息熵越小，表示時(shí)頻性能越好。表1給出了幾種時(shí)頻分布的信息熵。

表1 時(shí)頻分布的信息熵

由表1可以看出，重排譜圖與WVD和譜圖相比，性能有顯著的提高。

（2）參數(shù)估計(jì)性能

根據(jù)算法步驟，對(duì)2.4中的跳頻信號(hào) （信噪比為10dB，T＝0.05s）的譜圖和重排譜圖分別提取出其在每一時(shí)刻的最大值，即對(duì)圖3和圖4進(jìn)行計(jì)算，得到圖5和圖6。

從圖5和圖6可知，經(jīng)過(guò)時(shí)頻分析后的最大值矢量具有周期性，由于對(duì)譜圖進(jìn)行了重排，導(dǎo)致了重排譜圖的最大值曲線不平滑。對(duì)圖5和圖6進(jìn)行傅里葉變換，得到圖7和圖8。

由圖7和圖8可知，最大值矢量的FT幅頻圖中最大的峰值所在的頻率就是跳頻信號(hào)的跳速。在信噪比為10dB的條件下，由圖7得到的跳頻信號(hào)的跳速為18.5547，即跳頻周期T＝1／18.5547＝0.054s；由圖8得到的跳頻信號(hào)的跳速為19.5313，即跳頻周期為T＝1／19.5313＝0.051s，由此可見(jiàn)，用重排譜圖的方法對(duì)跳頻周期的估計(jì)更加精確。由第三節(jié)參數(shù)估計(jì)的算法可知，跳變時(shí)刻的估計(jì)精度受到跳周期估計(jì)精度的直接影響，而對(duì)其估計(jì)的準(zhǔn)確度又與跳頻頻率估計(jì)有關(guān)，因此，提高對(duì)跳周期的估計(jì)精度十分重要，文中僅對(duì)跳頻周期 （跳頻跳速的倒數(shù)）作性能分析。

圖9為改變信號(hào)的信噪比，反復(fù)實(shí)驗(yàn)算法300次后對(duì)信號(hào)的跳頻跳速估計(jì)的性能曲線圖。由圖可以看出，譜圖對(duì)跳頻跳速的估計(jì)相對(duì)誤差在0.05～0.2之間，波動(dòng)幅度較大；而重排譜圖對(duì)跳頻跳速的估計(jì)相對(duì)誤差卻精確到在0～0.1，精確度明顯提高。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了重排譜圖在跳頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用方法。通過(guò)對(duì)時(shí)頻譜圖的重排，提高了跳頻信號(hào)在時(shí)頻域內(nèi)的聚集性，有效抑制了部分交叉項(xiàng)干擾，改善了時(shí)頻圖的可讀性。針對(duì)跳頻跳速 （跳頻周期的倒數(shù)）的估計(jì)進(jìn)行了性能仿真，仿真結(jié)果表明，與普通的譜圖方法相比，重排譜圖在低信噪比的條件下，提高了跳頻周期及跳頻頻率估計(jì)的準(zhǔn)確度。

圖9 跳頻跳速估計(jì)性能曲線

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