基于屈服體積比的拱壩整體穩(wěn)定尖點(diǎn)突變模型

李季瓊 ， 宋鵬 ， 王少偉 ， 劉 穎

（1.河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué)水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心，江蘇 南京 210098；3.河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098；4.揚(yáng)州市勘測設(shè)計研究院有限公司，江蘇 揚(yáng)州 225007）

拱壩由于其力學(xué)性能優(yōu)良和工程造價經(jīng)濟(jì)的特點(diǎn)，已成為我國水電建設(shè)中的主要壩型之一。我國目前已建或在建的壩高超過100 m的拱壩有20多座， 如錦屏一級 （305 m）、 小灣 （294.5 m）、 溪洛渡 （285.5 m）等。這些工程大多位于西部地區(qū)，地形地質(zhì)復(fù)雜、地震災(zāi)害頻繁且地震烈度高，拱壩安全面臨嚴(yán)重威脅，給國民經(jīng)濟(jì)和人民生命安全帶來隱患。因此，研究拱壩整體穩(wěn)定分析方法，確定拱壩整體安全度對掌握工程安全狀況有重要意義。

根據(jù)現(xiàn)代力學(xué)的穩(wěn)定性理論[3]，拱壩整體失穩(wěn)破壞時系統(tǒng)由靜止?fàn)顟B(tài)向可動狀態(tài)轉(zhuǎn)變，其中衡量拱壩整體穩(wěn)定的指標(biāo)是拱壩整體安全度。目前，研究拱壩整體安全度的主要方法有超載法、強(qiáng)度儲備法和綜合法等，拱壩是否達(dá)到失穩(wěn)臨界狀態(tài)的判據(jù)包括收斂性判據(jù)和突變性判據(jù)[2]，前者以迭代計算過程不收斂作為失穩(wěn)判據(jù)，后者根據(jù) “位移-荷載”或“位移-強(qiáng)度”關(guān)系曲線的突變點(diǎn)，結(jié)合塑性區(qū)貫通情況進(jìn)行判斷，但是，采用哪個節(jié)點(diǎn)或哪個方向的位移目前還沒有統(tǒng)一的認(rèn)識，位移突變點(diǎn)和塑性區(qū)貫通指標(biāo)的確定也缺乏量化標(biāo)準(zhǔn)，分析存在諸多不確定性。因此，筆者基于突變理論，將拱壩壩體的屈服體積比這一單值標(biāo)量作為失穩(wěn)考察量，建立拱壩整體穩(wěn)定分析的尖點(diǎn)突變模型，用以確定拱壩整體安全度，實(shí)現(xiàn)失穩(wěn)判據(jù)的量化。

1 尖點(diǎn)突變理論

突變理論是以分叉理論、奇異理論和拓?fù)鋵W(xué)為數(shù)學(xué)工具，用以分析如巖石突然斷裂、橋梁突然坍塌、拱壩失穩(wěn)等傳統(tǒng)的微積分方法不能解釋的不連續(xù)變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支[4]。拱壩一般在容許荷載作用下變位光滑連續(xù)，但是，當(dāng)壩體或基巖剛度不足，拱壩或巖基會突然失穩(wěn)，由一種連續(xù)狀態(tài)跳躍到不連續(xù)的狀態(tài)，該失穩(wěn)突變過程具有多模型態(tài)、不可達(dá)性、突跳性、滯后性、發(fā)散性等特征[1]，可采用尖點(diǎn)突變模型予以判別，其幾何形狀如圖1所示。

圖1 尖點(diǎn)突變模型

尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢函數(shù)[5]為

式中，x為狀態(tài)變量；u、v為控制變量。

該勢函數(shù)對應(yīng)三維狀態(tài)空間，當(dāng)勢函數(shù)有唯一的極值時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài)時，勢函數(shù)有多個極值。臨界點(diǎn)方程可由勢函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)得到

式（2）同時給出系統(tǒng)的平衡曲面，該曲面上、下葉對應(yīng)穩(wěn)定的平衡位置；對應(yīng)于曲面中葉的平衡位置是不穩(wěn)定的。對于u、v的任意變化，空間相點(diǎn)在平衡變化到達(dá)上葉或下葉的邊緣時會發(fā)生突變而越過中葉，在平衡曲面上將滿足：

由式（2）、（3）聯(lián)立求解，消去x可以得到勢函數(shù)的分叉集：

當(dāng)Δ>0時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)Δ=0時，系統(tǒng)處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)Δ<0時，系統(tǒng)處于非穩(wěn)定狀態(tài)。式（4）即為系統(tǒng)整體穩(wěn)定與否的判據(jù)。

2 拱壩整體穩(wěn)定的尖點(diǎn)突變模型

采用強(qiáng)度折減法分析拱壩系統(tǒng) （包括壩體和壩基）的整體穩(wěn)定安全，隨著材料強(qiáng)度逐步降低，拱壩屈服破壞區(qū)域逐漸擴(kuò)展，壩體的屈服體積比將不斷增大，直至結(jié)構(gòu)喪失承載能力而發(fā)生整體失穩(wěn)破壞。因此，拱壩失穩(wěn)過程將伴隨壩體屈服體積比逐漸增大直至突變，可以將壩體屈服體積比作為失穩(wěn)考察量，建立尖點(diǎn)突變模型評價拱壩整體穩(wěn)定性。采用強(qiáng)度折減法進(jìn)行非線性有限元分析，得到多級強(qiáng)度條件下的壩體屈服體積比，從而獲得屈服體積比與強(qiáng)度折減系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。一般可以認(rèn)為壩體屈服體積比是強(qiáng)度折減系數(shù)的連續(xù)函數(shù)，根據(jù)尖點(diǎn)突變理論，建立壩體屈服體積比Q與強(qiáng)度折減系數(shù)k的尖點(diǎn)突變模型勢函數(shù)

由于尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢函數(shù)為四次多項(xiàng)式，考慮精度要求，取四次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合

式中， ai（i=0～4）為多項(xiàng)式系數(shù)。

采用Tschirnhaus變化，對式（6）作系數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)形式。為此，引入狀態(tài)變量Y和中間變量L，令k=Y－L，可以得到

其中，

在式（7）中， 令

則得到尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢函數(shù)為

刪除式（8）中的常數(shù)項(xiàng)E不改變V的性質(zhì)，這樣可以得到形如式（1）的勢函數(shù)。因此根據(jù)尖點(diǎn)突變理論，拱壩系統(tǒng)整體穩(wěn)定狀態(tài)的判別式為

當(dāng)Δ>0時，拱壩系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)Δ=0時，拱壩系統(tǒng)處于臨界失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)Δ<0時，拱壩系統(tǒng)處于非穩(wěn)定狀態(tài)。

3 工程實(shí)例

3.1 有限元計算模型

某碾壓混凝土拱壩壩頂高程1 274.5 m，最大壩高94.5 m，壩頂長252.3 m，寬6.0 m，壩底寬20.0 m。根據(jù)地質(zhì)資料，以拱冠梁剖面為參考，向上游取1倍壩高，向下游取2倍壩高，沿頂拱壩肩向左、右岸各取1倍壩高，建基面以下取1倍壩高，建立三維有限元模型。有限元網(wǎng)格主要采用八節(jié)點(diǎn)六面體單元，局部區(qū)域以六節(jié)點(diǎn)五面體單元過渡，共劃分7 585個單元和8 228個節(jié)點(diǎn)，其中壩體單元2 860個，節(jié)點(diǎn)3 835個。模型底面為三向固定約束，上下游邊界和兩岸邊界分別施加法向約束。計算工況為正常蓄水位的基本作用組合，荷載包括壩體自重、水壓力 （正常蓄水位1 272.0 m）、溫降、淤沙壓力和揚(yáng)壓力。采用強(qiáng)度折減法進(jìn)行非線性有限元分析時，壩體和基巖各部位的材料均采用基于線性Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的彈塑性本構(gòu)模型。拱壩系統(tǒng)各部位材料的主要力學(xué)參數(shù)見表1?；炷恋臒崤蛎浵禂?shù)為8.5×10-6/℃。

表1 拱壩系統(tǒng)不同部位材料的物理力學(xué)參數(shù)

3.2 成果分析

3.2.1 基于屈服體積比的拱壩整體安全度評判

在強(qiáng)度折減法計算過程中，等比例降低壩體和基巖的材料抗剪強(qiáng)度，強(qiáng)度折減系數(shù)從1開始，以0.1為間隔，逐級遞增。采用經(jīng)過折減的材料強(qiáng)度參數(shù)對拱壩系統(tǒng)進(jìn)行有限元計算，得到各級強(qiáng)度條件下的壩體屈服體積比。根據(jù)屈服體積比與強(qiáng)度折減系數(shù)關(guān)系曲線 （如圖2a所示）的變化特征初步判斷拱壩系統(tǒng)的整體安全度在1.70~1.90之間。因此，從k=1.70開始，以0.01為間隔，再次逐級降低材料抗剪強(qiáng)度進(jìn)行計算，得到屈服體積比與強(qiáng)度折減系數(shù)的關(guān)系曲線如圖2b所示。

當(dāng)強(qiáng)度折減系數(shù)為ki從1.70開始時，對前i個k與相應(yīng)的壩體屈服體積比Qi進(jìn)行四次多項(xiàng)式擬合，通過式（6）~（9）可求得不同折減系數(shù)ki對應(yīng)的突變特征值Δi。 Δi將隨著ki增大而逐漸減小， 當(dāng)Δi=0時， 認(rèn)為拱壩系統(tǒng)處于穩(wěn)定臨界狀態(tài)，此時的ki即為強(qiáng)度儲備安全度。

當(dāng)折減系數(shù)k取1.81時， 對ki（i=1~12）和相應(yīng)的壩體屈服體積比Qi（i=1~12）進(jìn)行四次多項(xiàng)式擬合，得到

由式（8）通過系數(shù)變換，建立尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢函數(shù)為

根據(jù)式（9）可以得到壩體屈服體積比的突變特征值為

據(jù)此可以認(rèn)為拱壩系統(tǒng)處于穩(wěn)定臨界狀態(tài)，整體強(qiáng)度儲備安全度為1.81。圖3、4分別為k=1.40和k=1.81時壩體及壩基屈服區(qū)的分布情況。k=1.40時，壩體中低高程上游壩面兩側(cè)拱端受拉屈服，下游壩面兩側(cè)拱端受壓屈服；建基面中低高程壩踵和壩趾部位出現(xiàn)屈服區(qū)。隨著壩體和基巖材料強(qiáng)度降低，上、下游壩面的屈服區(qū)向上部延伸，并沿壩厚方向向壩體內(nèi)部擴(kuò)展；建基面壩踵、壩趾部位的屈服區(qū)逐漸擴(kuò)大，在中低高程開始局部貫通，并沿岸坡向上部延伸。k=1.81時，左右壩肩中下部已全部屈服貫通，建基面中低高程的壩肩巖體全部屈服貫通，根據(jù)塑性屈服區(qū)貫通判據(jù)，拱壩系統(tǒng)已處于失穩(wěn)狀態(tài)。因此，該拱壩系統(tǒng)的整體強(qiáng)度儲備安全度為1.81。

圖3 k=1.40時壩體和建基面塑性屈服區(qū)分布

圖4 k=1.81時壩體和建基面塑性屈服區(qū)分布

3.2.2 拱壩整體穩(wěn)定的位移突變分析

位移突變法根據(jù)計算域內(nèi)某一部位位移與強(qiáng)度折減系數(shù)關(guān)系曲線的變化特征確定拱壩整體安全度。該方法物理意義明確，但是對于位移考察點(diǎn)的選擇目前還沒有統(tǒng)一認(rèn)識。筆者選取拱壩拱冠梁壩頂順河向位移、左岸1/4拱圈壩頂順河向位移、右岸1/4拱圈壩頂順河向位移作為考察量，根據(jù)上述位移與強(qiáng)度折減系數(shù)關(guān)系曲線的突變點(diǎn)評價拱壩整體安全度，得到如圖5為所示關(guān)系曲線。從圖中可以看出：右岸1/4拱圈壩頂順河向位移在k=1.80時產(chǎn)生突變，左岸1/4拱圈壩頂和拱冠梁壩頂順河向位移均在k=1.81時產(chǎn)生突變。據(jù)此可以判斷拱壩整體強(qiáng)度儲備安全度為1.80，且位移的突變是從右岸壩體開始的，然后逐漸擴(kuò)展至左岸壩體，位移考察點(diǎn)的選取對拱壩整體安全度的計算結(jié)果有較大影響。

圖5 壩體順河向位移與強(qiáng)度折減系數(shù)關(guān)系曲線

綜上所述，采用基于屈服體積比的尖點(diǎn)突變模型和位移突變法研究某拱壩系統(tǒng)的穩(wěn)定安全，得到拱壩的整體強(qiáng)度儲備安全度分別為1.81和1.80。結(jié)果表明：兩種方法評價結(jié)果基本一致，以屈服體積比作為失穩(wěn)考察量，物理意義明確，評判結(jié)果唯一；采用位移突變法研究拱壩整體安全度，位移考察點(diǎn)的選取對計算結(jié)果影響較大，位移突變點(diǎn)往往依據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定，受人為主觀因素影響較大；基于屈服體積比的尖點(diǎn)突變模型可以實(shí)現(xiàn)拱壩整體失穩(wěn)的量化判定。

4 結(jié)語

采用強(qiáng)度折減法對拱壩系統(tǒng)進(jìn)行非線性有限元計算，以壩體屈服體積比作為拱壩整體穩(wěn)定狀態(tài)的考察對象，建立了拱壩整體穩(wěn)定尖點(diǎn)突變模型。將拱壩整體穩(wěn)定性判別歸結(jié)為突變特征值 的正負(fù)問題，有效避免了已有評價方法中人為因素的影響，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)穩(wěn)定性態(tài)的量化判定，且評判結(jié)果與已有的定性評價方法一致。另外，拱壩的壩體屈服體積比為單值標(biāo)量，以其作為失穩(wěn)判據(jù)，受局部材料強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)特征的影響較小，可以避免塑性貫通判據(jù)尚無客觀指標(biāo)和位移突變判據(jù)中失穩(wěn)控制點(diǎn)選擇的問題，結(jié)果唯一，便于分析和應(yīng)用。

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