基于能量守恒的復合固體推進劑粘彈性本構(gòu)關系①

龔建良，劉佩進，李 強

(西北工業(yè)大學燃燒、熱結(jié)構(gòu)與內(nèi)流場重點實驗室，西安 710072)

0 引言

復合固體推進劑作為固體火箭發(fā)動機的重要能源物質(zhì)，要求其具有一定的力學性能。一般復合固體推進劑的粒子體積分數(shù)高達80%，是一種粒子增強體復合材料，力學特性復雜，出現(xiàn)多種現(xiàn)象，如應變軟化、Mullin效應、界面脫濕及體積膨脹等［1］。在化學性能不變的情況下，這些力學現(xiàn)象是多種因素綜合作用的結(jié)果，可將其影響因素分為3種:一是幾何因素，如粒子體積分數(shù)﹑粒子的幾何形狀﹑粒徑分布﹑顆粒的聚集程度等;二是物理因素，如基體的物理屬性、粒子的物理屬性、粒子與基體的界面粘結(jié)特性;三是環(huán)境因素，如溫度、載荷速率、圍壓等。在這些因素共同影響下，復合固體推進劑內(nèi)部出現(xiàn)的損傷，如基體裂紋、粒子斷裂、基體與粒子的界面脫濕，使得其力學性能從線粘彈性轉(zhuǎn)為非線性粘彈性，對正確預估其力學性能提出困難。文獻［2］與［3］分別從試驗與理論上，確定了在復合固體推進劑中主要損傷形式是粒子與基體的界面脫濕，并對其宏觀力學行為具有重要影響。特別對其研究方法，不能局限于傳統(tǒng)的宏觀力學水平，由于顆粒﹑界面的尺度都處于微米級別，涉及到細觀尺度。因此，研究中應充分考慮細觀現(xiàn)象對其宏觀性能的影響，有必要建立一種宏細觀結(jié)合的粘彈性本構(gòu)關系。

復合固體推進劑是一種粒子增強的復合材料，主要由聚合物基體與剛性的氧化劑粒子組成［1］。國外，針對復合固體推進劑，Schapery從不可逆熱力學角度，引入2個內(nèi)變量描述復合固體推進劑的損傷，提出了宏觀形式的本構(gòu)關系［4］。Vratsanos與Farris從能量守恒角度，假定粒子的脫濕是從大粒子到小粒子依次脫濕，認為粒子的脫濕是導致復合固體推進劑非線性的主要原因，并確定了宏觀本構(gòu)關系［5］。Jung從粘彈性角度，假定基體粘性不改變粒子的脫濕過程，建立了臨界脫濕應力方程，利用微分方程計算了宏觀有效割線模量，并結(jié)合Simo粘彈性本構(gòu)關系，描述了復合固體推進劑的力學性能［4，6］。Ravichandran與 Liu基于 Eshelby等效夾雜理論與Mori-Tanaka方法，考慮了復合固體推進劑中的界面損傷，提出了一個率無關的唯象本構(gòu)關系［7］。Tan針對PBX9501高能炸藥，使用數(shù)字圖像相關(DIC)技術，獲取了基體與粒子的界面粘性定律，并確定了模型參數(shù)，并在RVE上，使用平均化與Mori-Tanaka法，確定了高三軸應力下的線彈性宏觀本構(gòu)關系，利用有限元技術數(shù)值模擬了宏觀本構(gòu)關系，顯示了增強體粒徑大小對PBX9501高能炸藥的界面脫濕具有重大影響，并將此模型擴張到線粘彈性本構(gòu)關系［3，8－9］。國內(nèi)，陳建康針對粒子增強體粘彈性復合材料，使用Eshelby等效理論與Mori-Tanaka法，建立了宏觀本構(gòu)關系，通過數(shù)值模擬得出了宏觀應變率、粒子分散度、基體的松弛時間與界面粘結(jié)強度對宏觀本構(gòu)關系都具有重大影響［10］。彭威針對復合固體推進劑，考慮粒子增強作用與界面脫濕損傷，建立了含損傷變量的粘彈性宏觀本構(gòu)關系，并與拉伸曲線對比，結(jié)果吻合較好［1］。李丹與胡更開針對高粒子體積分數(shù)聚合物材料，基于Laplace變換和雙夾雜相互作用的彈性模型，建立了細觀力學模型，計算了玻璃珠/ED-6復合材料的有效松弛模量及常應變率下的本構(gòu)關系［11］。趙玖玲針對復合固體推進劑的界面脫濕機理，建立了雙尺度有限元損傷分析平臺，分析了在小應變范圍內(nèi)的宏觀應力應變曲線，得到了界面脫濕使推進劑的宏觀模量降低［12］。

從以上研究可看出，針對復合固體推進劑的力學性能，國內(nèi)外已從細觀力學角度展開研究。然而，在大應變載荷時，界面脫濕對宏觀力學行為具有重要影響，需要深入地定量分析。因此，本文針對聚合物基復合固體推進劑，采用橫觀各向同性的空泡(Vacuole)代替已發(fā)生脫濕的AP粒子，基于能量守恒定律與細觀有效場理論，推導了一種宏細觀結(jié)合的粘彈性算法。采用Fortran語言完成程序的編寫，針對單峰分布的配方與雙峰分布的配方推進劑，數(shù)值計算了拉伸曲線，定量分析了界面脫濕對其粘彈性力學性能的影響，為預估推進劑配方在大應變載荷時的力學性能，提供了一種精確與穩(wěn)定的工具。

1 建立宏細觀結(jié)合的粘彈性算法

在載荷作用下，假設復合固體推進劑內(nèi)部粒子從大到小依次發(fā)生界面脫濕，采用能量守恒方法得到了在粒子發(fā)生脫濕后的臨界應變方程，并依據(jù)細觀理論Ju-Chen方法，估計了在臨界應變方程中的宏觀有效模量。最后，采用三參數(shù)Poything模型，描述了復合固體推進劑的粘彈性。在復合固體推進劑所有內(nèi)部粒子的脫濕過程中，通過循環(huán)迭代，建立了宏細觀的粘彈性算法。

首先，依據(jù)能量守恒定律，假設其內(nèi)部損傷完全由界面脫濕決定，得到了在粒子發(fā)生脫濕后的臨界應變方程［6］:

式中 Gc是基體/粒子單位面積的界面粘結(jié)能，R是粒子的半徑，c是粒子體積分數(shù)，G0與K0分別是復合固體推進劑宏觀有效剪切模量與體積模量。

應變偏量eij與體量εkk滿足:

可知，式(1)描述了復合固體推進劑在粒子發(fā)生脫濕后，臨界應變與宏觀有效模量、粒子半徑、粒子體積分數(shù)及界面粘結(jié)能的關系。

其次，采用了Ju-Chen方法確定臨界應變方程的宏觀有效模量。由掃描電鏡結(jié)果可知，復合固體推進劑在拉伸過程中存在基體/粒子的界面脫濕，并產(chǎn)生空泡，粒子的增強效果減弱［2］。因此，粒子在發(fā)生脫濕后，采用空泡描述其狀態(tài)，見圖1。圖1描述的是一種由粒子、空泡與基體組成的三相復合材料。為了確定細觀尺度的粒子對復合材料的宏觀增強效果，采用Ju-Chen方法，預估了含空泡的三相復合材料的宏觀有效模量。設復合材料平均剛度矩陣是［ˉC］，基體剛度矩陣是［C0］，粒子剛度矩陣是［Ci］，以及由粒子脫濕而產(chǎn)生的空泡剛度矩陣是［cv］，有如下關系［13］:

式中 ［］方括號表示方陣;［A］=［Ci－ C0］－1［C0］，［B］=［Cv－C0］－1［C0］;ci為粒子的體積分數(shù)，cv為由粒子脫濕而產(chǎn)生的空泡體積分數(shù);［S］為Eshelby矩陣［13］。

圖1 三相復合材料Fig.1 Three-phase composite

在載荷作用下，脫濕的粒子并不是完全地散失載荷傳遞能力，不同部位脫濕程度不同，一般是從極區(qū)開始脫濕。因此，引入因子Fb表示不同的脫濕程度，認為脫濕的粒子，即空泡，具有橫觀各向同性屬性，其剛度矩陣表示為［14］

式中 m=(1－ν23ν32)－1;Eii為彈性粒子的彈性模量;νij為彈性粒子的泊松比。

為了考慮相與相的相互影響，式(3)中的［Γr］表示相互影響矩陣，當r=i表示粒子;當r=v表示空泡，相互影響矩陣表示為［13］

式中 ［I］為單位方陣;cr為相 r的體積分數(shù);Y=Ym(1－cr)，Ym為相互影響系數(shù);［Wr］= ζ1δijδkl+ζ2(δikδjl+ δilδjk)，包括參數(shù) ζ1，ζ2，β。

最后，復合推進劑在載荷作用下的力學響應是粘彈性，如果采用細觀力學有效場理論確定粘彈性復合材料的有效模量，需要使用Laplace變換原理，這涉及頻率域到時間域的逆變換，過程復雜，甚至不存在逆變換。因此，本文將粘彈性的力學響應分為彈性響應與粘性響應，彈性響應使用Ju-Chen方法確定，而粘性響應使用3參數(shù)Poything模型描述［15］，在恒溫常拉伸速率載荷下，復合固體推進劑的粘彈性宏觀本構(gòu)關系是:

式中 E0是瞬時彈性響應模量，由等式(3)確定;參數(shù)E1與τ分別是復合固體推進劑的松弛模量與松弛時間。

至此，完成了宏細觀結(jié)合的界面脫濕粘彈性算法的建立。為了將算法應用于復合固體推進劑力學性能的預估，采用Fortran語言編制了程序，程序的流程結(jié)構(gòu)見圖2。

圖2 粘彈性算法的流程圖Fig.2 Flow chart of viscoelastic algorithm

2 界面脫濕粘彈性算法的驗證

為了驗證算法的正確性，針對單峰分布的HTPB基玻璃珠增強復合材料展開數(shù)值模擬，算法中的原始參數(shù)依據(jù)文獻［14］的實驗結(jié)果而確定。平均粒徑32 μm，對數(shù)標準差0.167;初始粒子體積分數(shù)Fi=30%，初始的空泡體積分數(shù)Fv=0。擬合確定界面粘結(jié)能Gc=2.24 J/m2，部分脫濕因子 Fb=10－5，相互影響系數(shù)Ym=1.18。依據(jù)文獻［14］玻璃珠增強粒子的剪切模量Gi=30 GPa與泊松比 νi=10－5，基體的泊松比 ν0=0.495，基體的瞬時彈性響應模量 E0=1.55 MPa［14］。

給定控制體的體積是4 609 mm3，在控制體中內(nèi)粒子的頻度分布依據(jù)實驗結(jié)果而確定。由文獻［14］可知，粒子的頻度滿足對數(shù)正態(tài)分布，圖3顯示了在數(shù)值模擬中控制體內(nèi)粒子的頻度分布，平均粒徑32 μm，最小粒徑 1 μm，最大粒徑113 μm。

在拉伸速率10 mm/min、有效距離75 mm載荷下，文獻［14］獲取了模擬復合固體推進劑HTPB的拉伸曲線，應用本文算法在相應的應變率˙ε=0.002 2 s－1下，松弛模量 E1=0.2 E0，松弛時間 τ =120 s，通過數(shù)值模擬獲取計算結(jié)果，并與文獻［14］的實驗數(shù)據(jù)相對比，見圖4。結(jié)果表明，計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)較為吻合，說明了假定粒子從大粒徑到小粒徑粒子的脫濕過程是合理的，且拉伸曲線由線粘彈性階段與非線性軟化階段組成。

圖3 控制體中粒子的頻度分布Fig.3 Frequency distribution of particles on the ensemble-volume

圖4 針對HTPB基復合材料，數(shù)值模擬與試驗數(shù)據(jù)對比Fig.4 Comparison between computation and experiment for composite based HTPB

3 數(shù)值模擬的分析

3.1 界面粘結(jié)能對粘彈性力學性能的影響

為了確定基體與粒子的界面粘結(jié)能力對復合固體推進劑宏觀力學行為的影響，針對單峰分布的HTPB基玻璃珠增強復合材料，采用第2章的初始參數(shù)，計算了不同界面粘結(jié)能的拉伸曲線，見圖5?？芍?，隨著界面粘結(jié)能的增大，臨界應變隨之增大，推進劑的強度提高，具有更高的承載能力。因為臨界應變方程表明了臨界應變與界面粘結(jié)能的平方根成正比，所以在推進劑配方中，增加基體與粒子界面的粘接能力，可提高力學性能。但也可看出，在拉伸曲線的初始階段，界面粘接能不影響拉伸曲線的性能，因為在此階段基體與粒子界面粘接良好，所以獲得相同的拉伸曲線。

3.2 拉伸速率對脫濕與力學性能的影響

為了分析拉伸速率對復合固體推進劑脫濕與力學性能的影響，針對單峰分布的HTPB基玻璃珠增強復合材料，采用第2章的初始參數(shù)，計算了在不同拉伸速率下的拉伸曲線，見圖6?？芍焖俾试礁?，初始宏觀有效模量上升，粒子內(nèi)部更容易發(fā)生界面脫濕。因為拉伸速率的提高，改變了載荷對復合材料的作用時間，載荷速率越高，作用時間越短，粘彈性基體顯示出脆性。

圖5 界面粘結(jié)能對宏觀力學行為的影響Fig.5 Influence of interfacial adhesive energy on macroscopic mechanical behavior

圖6 不同拉伸速率下的計算拉伸曲線Fig.6 Calculation curves for different tension rates

3.3 體積分數(shù)對脫濕與力學性能的影響

針對簡化配方的雙峰分布HTPB基復合材料，依據(jù)文獻［12］的 AP 粒徑峰值是 335 μm 與 135 μm;在不影響粒子增強效果與界面損傷情況，忽略小組分等微量元素;應用本文算法取Gc=11.2 J/m2，分別計算了粒子體積分數(shù)47%﹑55%與59%的拉伸曲線，見圖7。由圖7可知，粒子體積分數(shù)的增大，初始宏觀有效模量值隨之增大，宏觀強度也得到提高。但當界面發(fā)生脫濕后，復合固體推進劑內(nèi)部粒子發(fā)生而出現(xiàn)空泡，宏觀有效模量發(fā)生退化，拉伸曲線發(fā)生線粘彈性轉(zhuǎn)化為非線性粘彈性的現(xiàn)象，體積分數(shù)越高，產(chǎn)生空泡的機會也就越高，力學性能更容易出現(xiàn)軟化行為。為了進一步說明在高粒子體積分數(shù)的推進劑中更容易發(fā)生損傷。圖8為不同體積分數(shù)下的體積膨脹應變行為。

圖8計算了在拉伸過程中相應的體積膨脹應變?？芍w積分數(shù)越高，體積膨脹應變越大，表明了推進劑內(nèi)部損傷程度嚴重，也說明了界面發(fā)生脫濕后，推進劑從不可壓向可壓縮性質(zhì)轉(zhuǎn)變。表1給出了Ju-Chen方法預估復合材料的初始模量值?？芍?，本文的預估精度高于文獻［12］。

圖7 不同體積分數(shù)下的力學行為Fig.7 Mechanical behaviors for different particle volume fraction

表1 HTPB初始模量Table 1 Initial Modulus for HTPB

圖8 不同體積分數(shù)下的體積膨脹應變行為Fig.8 Dilatation strain behaviors of different particle volume fractions

4 結(jié)論

(1)針對復合固體推進劑在幾何因素與物理因素確定的情況下，只要給定了粒子與基體的界面粘結(jié)能，就可直接應用本文算法，分析在大應變載荷時界面脫濕對其粘彈性本構(gòu)關系的影響。

(2)粒子體積分數(shù)對宏觀力學行為具有重要影響，高粒子體積分數(shù)可增強強度，但拉伸曲線的軟化行為更加明顯。

(3)增加界面粘結(jié)能，可對粒子的脫濕起到抑制作用。但隨拉伸速率的提高，界面更容易脫濕。

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