基于高階矩法的導(dǎo)彈吊掛與滑軌接觸可靠性分析①

何新黨，茍文選，劉永壽，高宗戰(zhàn)

(西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院，飛行器可靠性工程研究所，西安 710129)

0 引言

吊掛是導(dǎo)彈導(dǎo)軌式發(fā)射的重要裝置，當飛機帶彈飛行時，吊掛起到連接導(dǎo)彈與飛機機身的作用。吊掛在工作時與滑軌接觸，當受到重力作用發(fā)生變形后，往往伴隨著局部高應(yīng)力。因此，分析結(jié)構(gòu)中的接觸現(xiàn)象，了解結(jié)構(gòu)的接觸狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)，對結(jié)構(gòu)的設(shè)計和故障診斷都有非常重要的意義。

結(jié)構(gòu)可靠性分析可以量化參數(shù)不確定性對結(jié)構(gòu)性能的影響，靈敏度分析可獲得參數(shù)變化對結(jié)構(gòu)失效概率及參數(shù)重要性程度的橫向?qū)Ρ?，因此近年來受到各國學者的廣泛關(guān)注［1－4］。然而對于大量工程結(jié)構(gòu)而言，目前的可靠性分析方法依然難以實施［5－6］。主要原因在于大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)的基本變量與結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)之間沒有解析的數(shù)學表達式，需要通過有限元仿真方法獲得結(jié)構(gòu)性能與參數(shù)之間的響應(yīng)，其計算過程往往需要大量時間。因此對于這種隱式功能函數(shù)下的可靠性分析問題，傳統(tǒng)的基于大量抽樣的可靠性分析方法的計算量往往難以接受［7－11］。另外，目前絕大多數(shù)的工程結(jié)構(gòu)都有較高的可靠性要求，其失效概率往往很小。對于小失效概率的結(jié)構(gòu)而言，基于代理模型(如Kriging 法［12－13］，響應(yīng)面法［14］)的近似解析可靠性分析方法往往難以保證分析的精度。因此，建立一種在工程上能夠兼顧效率與精度的可靠性分析方法無疑是亟待解決的問題［15］。

本文以某導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)為研究對象，開展了尺寸隨機變量影響下的結(jié)構(gòu)可靠性及參數(shù)靈敏度分析。首先借助有限元軟件二次開發(fā)技術(shù)，建立了導(dǎo)彈與滑軌接觸時非線性有限元分析的參數(shù)化模型，在靜力學分析的基礎(chǔ)上，將四階矩方法引入導(dǎo)彈吊掛的可靠性分析，該方法可以充分利用變量分布各階矩信息，在可靠性分析時抽樣次數(shù)少，計算精度高，避免了改進一次二階矩法需要求功能函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)以及傳統(tǒng)蒙特卡洛法及重要抽樣法需要大量抽樣等缺點。

1 吊掛和滑軌接觸時的靜力學分析

1.1 有限元模型

導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈吊掛與滑軌二維裝配圖Fig.1 Assembly drawing of missile suspension and rail

模型由2部分組成，上側(cè)為滑軌，下側(cè)為導(dǎo)彈與吊掛的整體模型。2種結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)見表1。

在有限元軟件中建立的導(dǎo)彈吊掛與滑軌的參數(shù)化有限元模型如圖2所示。

表1 吊掛與滑軌的材料參數(shù)Table 1 Material property of suspension and rail

圖2 導(dǎo)彈吊掛與滑軌有限元網(wǎng)格模型Fig.2 FEM of missile suspension and rail

1.2 靜力學分析及強度校核

飛機在掛彈飛行時，導(dǎo)彈通過吊掛與飛機相連接，吊掛承擔著導(dǎo)彈的重力作用，是吊掛受載的主要來源。因此在結(jié)構(gòu)的強度校核時，本文主要考慮導(dǎo)彈重力作用。在有限元非線性接觸性分析時，導(dǎo)彈與滑軌之間的接觸定義為柔體-柔體接觸。滑軌上端固定約束，導(dǎo)彈的重力載荷施加于導(dǎo)彈圓心處。通過非線性接觸分析得到導(dǎo)彈吊掛與滑軌之間的應(yīng)力云圖如圖3所示。

圖3 導(dǎo)彈吊掛與滑軌應(yīng)力云圖Fig.3 Diagram of stress distribution on missile suspension and rail

分析得到滑軌的最大接觸應(yīng)力為468 MPa，吊掛的最大接觸應(yīng)力為462 MPa;吊掛材料的屈服極限為830 MPa，滑軌材料的屈服極限為860 MPa。為了保證給結(jié)構(gòu)保留一定的安全裕度，選取安全系數(shù)ns=1.5校核吊掛結(jié)構(gòu)，830/468=1.77，860/462=1.86 均大于安全系數(shù)ns。因此，結(jié)構(gòu)滿足安全系數(shù)為1.5時的設(shè)計要求。

2 可靠性分析

考慮到關(guān)鍵尺寸分散性對結(jié)構(gòu)強度的影響，建立吊掛結(jié)構(gòu)強度失效功能函數(shù)，編寫相應(yīng)的計算機程序，采用四階矩法對導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)進行可靠性和靈敏度分析。

2.1 可靠性分析模型

通過靜力學分析發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)吊掛耳片與滑軌的接觸區(qū)存在局部高應(yīng)力，因此在進行可靠性分析時，選擇圖1中所示的4個關(guān)鍵尺寸參數(shù)A、B、C、D作為基本隨機變量，其中A為吊掛的耳片內(nèi)側(cè)距中心線的距離，B為耳片的厚度，C為耳片內(nèi)側(cè)長度，D為耳片外側(cè)長度。其具體分布參數(shù)如表2所示。

表2 隨機變量及分布類型Table 2 Random variables and distribution characters

考慮到滑軌的最大應(yīng)力遠小于其屈服強度，因此只考慮吊掛的強度失效，其功能函數(shù)為

式中 g(X)均為基本變量X的隱式函數(shù)，需要調(diào)用有限元軟件計算基本變量每次取值時對應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值;［σ］為結(jié)構(gòu)的許用應(yīng)力，當安全系數(shù)ns=1.5時，［σ］= σs/ns=830/1.5=553 MPa，其中 σs為屈服應(yīng)力;σmax為通過有限元方法計算得到的結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力。

2.2 可靠性分析方法

本文采用四階矩方法對導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)進行可靠性分析［16］，該方法以概率矩為基礎(chǔ)，直接利用功能函數(shù)在一些特征點處的函數(shù)值來近似計算功能函數(shù)的低階矩(主要是一階至四階矩)，然后由功能函數(shù)的各階矩來近似失效概率。與其他可靠性分析方法相比，該方法避免了改進一次二階矩法求功能函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)以及數(shù)值模擬法大量抽樣等問題，在分析時求解功能函數(shù)值的次數(shù)僅為3n。因此，特別適用于變量個數(shù)不多的復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的可靠性分析。

結(jié)構(gòu)的失效概率Pf可表示為

式中 fx(X)為功能函數(shù)g(X)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

設(shè) X={x1，x2，…，xn}為聯(lián)合概率密度函數(shù)為fx(X)的隨機變量，則結(jié)構(gòu)響應(yīng)功能函數(shù)g=g(X)=g(x1，x2，…，xn)的各階概率矩可由式(3)～ 式(6)計算得到:

式中 α1g、α2g、α3g、α4g分別為功能函數(shù) g=g(X)=g(x1，x2…，xn)的均值、標準差、偏度和峰度。

對于第k個變量xk的參數(shù)pxk·ik和lxk·ik，可以由xk的均值 α1xk、標準差 α2xk、偏度 α3xk和峰度 α4xk按式(7)～式(12)類似給出。

功能函數(shù)的概率矩給出了功能函數(shù)的部分統(tǒng)計信息，它與功能函數(shù)的概率密度函數(shù)是緊密相關(guān)的，獲得了功能函數(shù)g(x)的概率矩，那么就可非常容易得到失效概率了。在考慮功能函數(shù)前四階矩來近似失效概率的方法為四階矩法?；谒碾A矩的可靠度指標為

式中 β2M為功能函數(shù)前兩階矩的可靠度指標，可近似為 β2M= α1g/α2g。

相應(yīng)地考慮前四階矩的失效概率為

3 參數(shù)靈敏度分析

可靠性參數(shù)靈敏度分析的目的是研究可靠性模型中各基本隨機變量或其參數(shù)變化對失效概率或可靠度指標的影響規(guī)律，從而識別影響結(jié)構(gòu)可靠性的關(guān)鍵參數(shù)。可靠性靈敏度定義為失效概率Pf對基本變量X={x1，x2，…，xn}的分布參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，這里 i=1，2，…，n，k=1，2，…，mi。其中 mi為第 i個變量 xi的分布參數(shù)的總個數(shù)。由失效概率Pf與可靠度指標的關(guān)系以及可靠度指標與極限狀態(tài)函數(shù)各階矩的關(guān)系，可以采用函數(shù)求導(dǎo)法推出Pf對基本變量分布參數(shù)的靈敏度計算式:

均值靈敏度反映了變量均值大小對可靠度的影響程度［7－8］。其相應(yīng)的計算式:

標準差靈敏度反映了變量參數(shù)波動性對可靠度的影響，其相應(yīng)的計算式:

其中

4 分析結(jié)果及討論

4.1 可靠性及靈敏度分析結(jié)果

由于功能函數(shù)中只有4個基本變量，四階矩法只需調(diào)用81次就可獲得功能函數(shù)的均值、標準差、偏度和峰度等，其中4個基本變量81次抽樣過程曲線如圖4(a)～(d)所示。吊掛局部最大應(yīng)力抽樣結(jié)果如圖5所示。

圖4 各參數(shù)抽樣結(jié)果Fig.4 Simple results of parameters

圖5 吊掛局部最大應(yīng)力抽樣結(jié)果Fig.5 Simple results of stress

分析最終得到功能函數(shù)的前四階矩為 α1g=259.162，α2g=35.944，α3g= －2.042，α4g=8.704，代入式(12)可得可靠度指標為β4M=3.235，失效概率Pf4M=0.000 607。

將功能函數(shù)的各階矩對基本變量分布參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)代入式(16)、式(17)，可得到可靠性靈敏度，如表3所示。均值及標準差靈敏度分析結(jié)果(直方圖)見圖6。

表3 四階矩法對參數(shù)靈敏度分析結(jié)果Table 3 Results of basic parameters sensitivity analysis by fourth moment method

圖6 均值及標準差靈敏度分析結(jié)果直方圖Fig.6 Sensitivity analysis results diagram of mean value and standard deviation

通過均值靈敏度分析結(jié)果可知，耳片內(nèi)側(cè)長度尺寸C是影響導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)強度的最主要因素，其次是耳片厚度B。因此在結(jié)構(gòu)設(shè)計時可著重優(yōu)化該尺寸變量來提高結(jié)構(gòu)強度性能。通過標準差靈敏度分析，可以看到耳片外側(cè)長度D的分散性對結(jié)構(gòu)性能穩(wěn)定性的影響較大，其次是耳片內(nèi)側(cè)長度C。因此應(yīng)該適當減小尺寸D和C的設(shè)計公差，并嚴格控制其加工誤差，從而提高結(jié)構(gòu)的性能的穩(wěn)定性。

4.2 其他可靠性方法比較

為了驗證本文采用的可靠性分析方法在計算效率與精度上的優(yōu)勢，將四階矩法(Fourth-Moment Method，F(xiàn)MM)的分析結(jié)果與蒙特卡洛法(Monte-Carlo，MC)、重要抽樣法(Importance Sampling Method，ISM)、改進一次二階矩法(Advanced First Order and Second Moment，AFOSM)、加權(quán)二次響應(yīng)面法(Response Surface Method，RSM)進行了比較，各方法分析結(jié)果見表4。

表4 多種可靠性方法分析結(jié)果Table 4 Results of multifold reliability analysis methods

其中蒙特卡洛法在樣本充足的情況下往往被認為是最為精確的方法，因此本文以該方法作為驗證其他方法分析精度的標準。從計算誤差來看，重要抽樣法是其他4種方法中計算誤差最小的方法，但其計算成本依然很高。本文采用的四階矩方法在極大減小計算成本的前提下，保證了較高的分析精度，計算誤差僅為2.7%，因此可認為是處理復(fù)雜工程問題較為理想的方法。

5 結(jié)論

(1)本文所采用的四階矩法在已知結(jié)構(gòu)的變量類型和分布參數(shù)情況下，僅通過調(diào)用有限元軟件81次抽樣就可以快速求解出結(jié)構(gòu)失效的概率及變量靈敏度，在極大減小計算成本的前提下，保證了較高的分析精度，是處理復(fù)雜工程問題較為理想的方法。

(2)接觸可靠性分析結(jié)果表明，按照傳統(tǒng)安全系數(shù)法進行強度校核合格的導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)，當考慮結(jié)構(gòu)的尺寸分散性時，其強度失效概率為0.000 607，難以滿足武器裝備高可靠性的要求，因此在結(jié)構(gòu)設(shè)計時需要考慮尺寸分散對結(jié)構(gòu)性能的影響。

(3)均值靈敏度分析表明，耳片內(nèi)側(cè)長度尺寸C和耳片厚度B是影響導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)強度的最主要因素，因此，在設(shè)計時應(yīng)考慮適當增加其尺寸數(shù)值，以提高結(jié)構(gòu)的強度可靠性。標準差靈敏度表明耳片外側(cè)長度D的分散性對結(jié)構(gòu)性能穩(wěn)定性的影響較大，其次是耳片內(nèi)側(cè)長度C，因此，應(yīng)該適當減小該尺寸設(shè)計公差，并嚴格控制加工誤差，從而提高結(jié)構(gòu)的性能的穩(wěn)定性。

(4)與其他可靠性分析方法的計算結(jié)果比較，本文方法克服了傳統(tǒng)可靠性分析方法需要大量抽樣的缺點，能在較短時間里得出滿足工程精度的結(jié)果，在解決復(fù)雜工程問題時有其獨特的優(yōu)越性，具有很好的工程應(yīng)用前景。

［1］王光遠.論不確定性結(jié)構(gòu)力學的進展［J］.力學進展，2002，32(2):205-211.

［2］高宗戰(zhàn)，劉志群，姜志峰，等.飛機翼梁結(jié)構(gòu)強度可靠性靈敏度分析［J］.機械工程學報，2010，46(14):194-198.

［3］Ditlevsen O，Madsen H O.Structural reliability methods［M］.Coastal:Maritime and Structural Engineering，2007.

［4］Ryoichi Chiba.Reliability analysis of forming limits of anisotropic metal sheets with uncertain material properties［J］.Computational Materials Science，2013(69):113-120.

［5］Sundar V S，Manohar C S.Updating reliability models of statically loaded instrumented structures［J］.Structural Safety，2013(40):21-30.

［6］Deng Jian.Structural reliability analysis for implicit performance function using radial basis function network［J］.International Journal of Solids and Structures，2006(43):3255-3291.

［7］Huang Bei-qing，Du Xiao-ping.Probabilistic uncertainty analysis by mean-value first order Saddlepoint approximation［J］.Reliability Engineering and System Safety，2008(93):325-336.

［8］Hans Janssen.Monte-Carlo based uncertainty analysis:Sampling efficiency and sampling convergence［J］.Reliability Engineering and System Safety，2013(109):123-132.

［9］Cardoso J B，de Almeida J R，Diasa J M，et al.Structural reliability analysis using Monte Carlo simulation and neural networks［J］.Advances in Engineering Software，2008(39):505-513.

［10］Pilger G G，Costa J F，Koppe J.The benefits of Latin hypercube samplingin sequentialsimulation algorithmsfor geostatistical applications［J］.Applied Earth Science，2008，117:160-74.

［11］Echard B，Gayton N，Lemaire M，et al.A combined importance sampling and kriging reliability method for small failure probabilities with time-demanding numerical models［J］.Reliability Engineering and System Safety，2013(111):232-240.

［12］Echard B，Gayton N，Lemaire M.AK-MCS:an active learning reliability method combining Kriging and Monte Carlo simulation［J］.Structural Safety，2011，33(2):145-54.

［13］BarronJ Bichon，JohnM McFarland，Sankaran Mahadevan.Efficient surrogate models for reliability analysis of systems with multiple failure modes［J］.Reliability Engineering and System Safety，2011(96):1386-1395.

［14］Jorge E Hurtado.An examination of methods for approximating implicit limit state functions from the viewpoint of statistical learning theory［J］.Structural Safety，2004(26):271-293.

［15］Bourinet J M，Deheeger F，Lemaire M.Assessing small failure probabilities by combined subset simulation and support vector machines［J］.Structural Safety，2011，33(6):343-53.

［16］Lv Zhen-zhou，Song Jun，Song Shu-fang.Reliability sensitivity by method of moments［J］.Applied Mathematical Modeling，2010(34):2860-2871.