基于MATLAB和Pro／E的四桿機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)＊

吳義成，吳玉國

（1.馬鞍山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 馬鞍山 243000；2.安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243000）

0 前言

機(jī)械優(yōu)化是數(shù)學(xué)規(guī)劃理論、機(jī)械結(jié)構(gòu)分析理論以及計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)等多學(xué)科交叉形成的綜合決策學(xué)科［1］。機(jī)械機(jī)構(gòu)中，四桿機(jī)構(gòu)使用廣泛，無論是在日常生產(chǎn)生活還是軍事領(lǐng)域當(dāng)中都被大量應(yīng)用，如起重機(jī)、汽車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)、飛機(jī)起落架機(jī)構(gòu)及雷達(dá)天線俯仰機(jī)構(gòu)等［2］。根據(jù)機(jī)械的用途和性能要求的不同，四桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求基本上可歸納為：滿足預(yù)定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律要求、滿足預(yù)定的連桿位置要求以及滿足預(yù)定的軌跡和性能要求。常用的設(shè)計(jì)方法有解析法、作圖法和實(shí)驗(yàn)法。這些常規(guī)的設(shè)計(jì)方法在針對(duì)單個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)時(shí)，一般具有很好的效果。但在實(shí)際應(yīng)用中，往往是多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)同時(shí)出現(xiàn)，而且經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)各目標(biāo)之間互相矛盾和制約的問題，此時(shí)，常規(guī)設(shè)計(jì)方法可能會(huì)失效。本文以四桿機(jī)構(gòu)中的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例，針對(duì)一個(gè)實(shí)際應(yīng)用過程中多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，使用MATLAB 優(yōu)化工具箱，對(duì)具有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，討論了在特定條件下，各組不同解的優(yōu)劣性和滿足設(shè)計(jì)要求的取舍問題；并使用Pro／E 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真模塊對(duì)該求解結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。此綜合方法為四桿機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題提供了一個(gè)很好的解決途徑。

1 問題提出及數(shù)學(xué)模型的建立

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)是鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)中的一種，在實(shí)際工程應(yīng)用中，該型機(jī)構(gòu)應(yīng)用廣泛，如縫紉機(jī)踏板機(jī)構(gòu)、攪拌器機(jī)構(gòu)等［3］。要求設(shè)計(jì)一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，能同時(shí)實(shí)現(xiàn)以下幾個(gè)要素［4］：

（1）為提高機(jī)構(gòu)的急回性能，極位夾角θ盡可能大（0°＜θ≤17°）；

（2）為改善機(jī)構(gòu)的傳力性能，當(dāng)該機(jī)構(gòu)曲柄與連桿重疊共線時(shí)，最大壓力角αmax盡可能?。?°＜αmax≤55°）；

（3）該搖桿擺角Δψ＝60°。

1.1 設(shè)計(jì)變量的確定

為更好地求解，現(xiàn)直觀地表示出該曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖，如下圖1所示：

圖1 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)示意圖［3］

1.2 目標(biāo)函數(shù)的建立

當(dāng)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的各桿長(zhǎng)值確定后，該機(jī)構(gòu)的搖桿擺角、最大壓力角及極位夾角都會(huì)確定下來，即該機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)性能也能確定下來。這里，將搖桿擺角Δψ＝60°這個(gè)目標(biāo)處理為無限接近60°這個(gè)目標(biāo)值，定義為一目標(biāo)函數(shù)，求之同60°之差的絕對(duì)值的最小值。由上圖1及設(shè)計(jì)要求，可列出該設(shè)計(jì)的分目標(biāo)函數(shù)分別為：

由余弦定理，所以有：

這里，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，極位夾角θ盡可能大為好。為了能實(shí)現(xiàn)用MATLAB編程求解，做一下處理，定義f1（x）＝－｜θ｜。這樣就實(shí)現(xiàn)了f1（x），f2（x），f3（x）→min，滿足MATLAB 優(yōu)化工具箱對(duì)目標(biāo)函數(shù)的統(tǒng)一要求。對(duì)各目標(biāo)函數(shù)的范圍做進(jìn)一步明確：

1）為保證極位夾角盡可能大，確定極位夾角不小于10°，即10°≤θ≤17°，于是轉(zhuǎn)換成弧度，有：

2）由設(shè)計(jì)要素的條件得：

3）為保證搖桿的擺角Δψ盡可能接近60°，使－1°≤f3（x）≤1°，轉(zhuǎn)換成弧度，有：

1.3 約束條件的確定

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)要滿足曲柄存在的條件。其中最長(zhǎng)桿與最短桿的長(zhǎng)度之和≤其他兩桿長(zhǎng)度之和；四桿中要有一個(gè)為最短桿。取l1＝1，因此有：

2 使用MATLAB 優(yōu)化工具箱進(jìn)行優(yōu)化求解

MATLAB的優(yōu)化工具箱選用最佳方法來求解，初始參數(shù)輸入簡(jiǎn)單，語法特征符合數(shù)學(xué)表達(dá)式的書寫，編程工作量大大減少，有著很大的優(yōu)越性［5］。該優(yōu)化工具箱提供了一般和大型的非線性優(yōu)化函數(shù)，同時(shí)還提供了線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、非線性方程求解的工具。本例屬于一般非線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，其標(biāo)準(zhǔn)型為：

調(diào)用MATLAB優(yōu)化工具箱中非線性規(guī)劃求解函數(shù)fgoalattain［6］來求解。其命令的基本格式：［X，fval，attainfactor，exitflag］＝fgoalattain（＠ObjFun，x0，goal，weight，A，B，Aeq，Beq，vlb，vub）；其中各個(gè)參數(shù)的含義如下：ObjFun 為定義求解的多目標(biāo)函數(shù)；x0為變量初值；A，B為約束函數(shù)中線性不等式約束的參數(shù)；Aeq，beq為約束函數(shù)中線性等式約束的參數(shù)；c（x），ceq（x）均為非線性函數(shù)組成的向量；vlb，vub分別是變量X 的下限和上限值；goal是目標(biāo)函數(shù)邊界組成的向量；Weight是目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重值［7］。對(duì)于判斷求解是否有效可通過attainfactor和exitflag 兩個(gè)參數(shù)來確定：當(dāng)exitflag＞0時(shí)，表示所求的解收斂；當(dāng)attainfactor＞0時(shí)，表示目標(biāo)值沒有溢出goal。對(duì)于本例中求解最優(yōu)解，分兩個(gè)步驟進(jìn)行：

1）根據(jù)前文敘述的目標(biāo)函數(shù)表示法，建立M文件ObjFun.m，定義各個(gè)目標(biāo)函數(shù)：

2）根據(jù)非線性多目標(biāo)規(guī)劃求解函數(shù)fgoalattain的形式，建立主程序qiujie.m 函數(shù)：

3 使用Pro／E軟件仿真功能對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證

針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，由于含有多個(gè)目標(biāo)值，各個(gè)目標(biāo)之間往往存在互相制約和矛盾的情況，而且各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重值不好確定，因此非線性多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果往往很難準(zhǔn)確給出最優(yōu)結(jié)果。在使用MATLAB優(yōu)化工具箱求解時(shí)，只有在明確了各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重值時(shí)，才有可能。此四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)含有三個(gè)目標(biāo)函數(shù)，在滿足不同的目標(biāo)函數(shù)權(quán)重值前提下，理論上滿足條件的解應(yīng)該是無窮多個(gè)。現(xiàn)在令各目標(biāo)函數(shù)權(quán)重值weight＝0.3333，即在各目標(biāo)函數(shù)同等重要的情況下，在不同桿長(zhǎng)度段初始值運(yùn)行程序進(jìn)行搜索，得出滿足該設(shè)計(jì)目標(biāo)的優(yōu)化值，現(xiàn)取桿長(zhǎng)初值x0 ＝［2 2 2］～［6 6 6］時(shí)，各組解的情況，列表如下：

表1 相同目標(biāo)函數(shù)比重值時(shí)的優(yōu)化結(jié)果

由上表數(shù)據(jù)可以看出，滿足該多目標(biāo)優(yōu)化解的結(jié)果很多，通過表中數(shù)據(jù)可以確定第二組解是相對(duì)最 優(yōu)解，其 中：l1＝1，l2＝2.9513，l3＝2.1433，l4＝2.8873。

仿真的重要工具是計(jì)算機(jī)和仿真軟件，Pro／E操作軟件是美國參數(shù)技術(shù)公司（PTC）旗下CAD／CAM／CAE一體化的三維軟件［8］。將以上所求的曲柄、連接桿、搖桿和固定桿長(zhǎng)值都擴(kuò)大100倍，在Pro／E軟件中進(jìn)行尺寸設(shè)計(jì)、裝配并設(shè)置連接后，添加驅(qū)動(dòng)器伺服電動(dòng)機(jī)，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，當(dāng)曲柄與連架桿運(yùn)動(dòng)到重疊共線時(shí)，仿真狀態(tài)位置圖如下圖所示：

圖2 四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真位置圖

經(jīng)過Pro／E 軟件運(yùn)動(dòng)仿真，該組結(jié)構(gòu)參數(shù)完全滿足此多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的要求，搖桿擺角為60°，極位夾角相對(duì)最優(yōu)，最大壓力角也滿足要求。

4 結(jié)語

在進(jìn)行四桿機(jī)構(gòu)及其他類型機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)于各個(gè)目標(biāo)函數(shù)做統(tǒng)一邊界處理，明確各目標(biāo)函數(shù)在整個(gè)數(shù)學(xué)模型中的權(quán)重值和所要設(shè)計(jì)的機(jī)械性能特性，應(yīng)用多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的線性加權(quán)法［9］，使用MATLAB 優(yōu)化工具箱，進(jìn)行程序編制，找出滿足條件的解，再進(jìn)行性能相對(duì)比較分析，尋找到比較適合各設(shè)計(jì)目標(biāo)的最優(yōu)解，最終通過Pro／E軟件進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，將在MATLAB軟件中求解的數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Pro／E 軟件中，對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。該方法具有方便、快捷、高效和準(zhǔn)確的特點(diǎn)，為較好地解決四桿機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題提供了一個(gè)途徑。

［1］包家漢，裴令明，謝能剛，等.機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化與博弈決策設(shè)計(jì)［J］.安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，（4）：108－111.

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