區(qū)域圖形的對(duì)稱性

●李世杰 (衢州市教育局教研室 浙江衢州 324002)●李 盛 (衢州市第一中學(xué) 浙江衢州 324000)

定義 由D：f(x，y)≥0(或 ＞，＜，≤，=之一)約束的點(diǎn)集稱為平面區(qū)域，簡稱區(qū)域.其圖形稱為區(qū)域圖形.

這樣定義的區(qū)域由方程或不等式刻劃.區(qū)域可以退化為曲線、直線或點(diǎn)等.區(qū)域可以看作是二維的點(diǎn)的軌跡.

作為曲線關(guān)于點(diǎn)或直線可能存在的對(duì)稱性的推廣，下面探討平面區(qū)域可能存在的關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱性質(zhì).

定理1 (區(qū)域圖形對(duì)稱定理)設(shè)區(qū)域D：f(x，y)≥0(或＞，＜，≤，=之一).

(1)若 f(-x，y)=f(x，y)，則區(qū)域 D 關(guān)于 y軸(x=0)對(duì)稱;

(2)若 f(x，-y)=f(x，y)，則區(qū)域 D 關(guān)于 x軸(y=0)對(duì)稱;

(3)若 f(-x，-y)=f(x，y)，則區(qū)域 D 關(guān)于原點(diǎn)(0，0)對(duì)稱;

(4)若 f(x，y)=f(y，x)，則區(qū)域 D 關(guān)于直線y=x對(duì)稱;

(5)若 f(x，y)=f(-y，-x)，則區(qū)域 D 關(guān)于直線y=-x對(duì)稱.

證明不妨設(shè)區(qū)域D：f(x，y)≥0.

(1)設(shè)(x0，y0)是區(qū)域D上的任意一點(diǎn)，那么f(x0，y0)≥0，于是

說明(-x0，y0)也在區(qū)域 D 上，而(x0，y0)，(-x0，y0)關(guān)于y軸對(duì)稱，即區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱.

類似可證后面4個(gè)結(jié)論.

注區(qū)域軸對(duì)稱有以下結(jié)論：

(1)若同時(shí)有

則區(qū)域f(x，y)≥0關(guān)于x軸、y軸都對(duì)稱.

(2)特殊區(qū)域f(|x|，y)≥0關(guān)于x軸對(duì)稱;區(qū)域 f(x，|y|)≥0關(guān)于 y軸對(duì)稱;區(qū)域 f(|x|，|y|)≥0關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱.

(3)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，由得轉(zhuǎn)軸公式由注(2)，利用轉(zhuǎn)軸公式，得到

區(qū)域 f(|xcosθ-ysinθ|，xsinθ+ycosθ)≥0 關(guān)于 xsinθ+ycosθ=0對(duì)稱;

區(qū)域 f(xcosθ-ysinθ，|xsinθ+ycosθ|)≥0 關(guān)于 xcosθ-ysinθ=0對(duì)稱;

區(qū)域 f(|xcosθ-ysinθ|，|xsinθ+ycosθ|)≥0關(guān)于直線 xsinθ+ycosθ=0和直線 xcosθ-ysinθ=0及原點(diǎn)都對(duì)稱.

同時(shí)具有定理1中5條對(duì)稱性質(zhì)的圖形是存在的，如：

例1 試?yán)L出|x|+|y|≤2之區(qū)域圖形.

解以-x代x，-y代y，所給不等式不變，則不等式|x|+|y|≤2的區(qū)域圖形關(guān)于x軸、y軸都對(duì)稱.因此，可先討論x≥0，y≥0的情形.

當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，所給不等式可化為x+y≤2，所圍區(qū)域圖形為△MON閉區(qū)域.

根據(jù)對(duì)稱性，關(guān)于x，y軸作它的對(duì)稱圖形，獲得所給不等式|x|+|y|≤2的整個(gè)區(qū)域圖形(包括邊界)為正方形MNKL閉區(qū)域(如圖1).

圖1 圖2

注對(duì)于|x-1|+|y-1|≤2之區(qū)域圖形，令x'=x-1，y'=y-1，得|x'|+|y'|≤2，其區(qū)域圖形為中心在原點(diǎn)、邊長為2的正方形.通過平移，知所給不等式的圖形為中心在(1，1)、4個(gè)頂點(diǎn)為(1，3)，(3，1)，(1，-1)，(-1，1)的正方形閉區(qū)域(如圖2).

例2 試求方程|x-1|+|x+1|+|y-1|+|y+1|=4的區(qū)域圖形面積.

解以-x代x，-y代y，所給方程不變，故方程|x-1|+|x+1|+|y-1|+|y+1|=4的區(qū)域圖形關(guān)于x軸、y軸都對(duì)稱.因此，可先討論x≥0，y≥0的情形.

當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，所給方程化為

其解為 0≤x≤1，0≤y≤1，區(qū)域圖形是以 O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，E(1，1)為頂點(diǎn)的正方形閉區(qū)域(如圖3)，面積為1平方單位，故所給方程的區(qū)域圖形面積為4平方單位.

圖3

例3 試?yán)L出(|x|-1)2+(|y|-1)2=1和(|x|-1)2+(|y|-1)2≤1的區(qū)域圖形.

解類似例1和例2，可繪出(|x|-1)2+(|y|-1)2=1和(|x|-1)2+(|y|-1)2≤1的區(qū)域(如圖4，圖5).

圖4 圖5

例4 試?yán)L出|x+y|+|x-y|≤2的區(qū)域圖形.

解因?yàn)榛Q x，y或互換-x，y，所給不等式皆相同，故其區(qū)域圖形直線 y=x，y=-x對(duì)稱.

我們只要討論x+y≥0，xy≥0的情形.此時(shí)，所給不等式化為

圖6

這樣，由不等式組所表示的圖形是以(0，0)，(1，1)，(1，-1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域(如圖6).

將此三角形區(qū)域關(guān)于直線y=x，y=-x連續(xù)3次作對(duì)稱變換，即可得到所給不等式的整個(gè)區(qū)域圖形：以x-y=0，x+y=0為對(duì)角線(也是對(duì)稱軸)的正方形(邊長為2，中心為(0，0)).

例5 試?yán)L出||x|-1|+||y|-1|≤2之區(qū)域圖形.

解因?yàn)榉謩e用-x，-y代 x，y，所給不等式皆相同，故其區(qū)域圖形應(yīng)對(duì)稱于直線x=0，y=0.令 x≥0，y≥0，只要討論|x-1|+|y-1|≤2，由例1后的注，知其圖形為一個(gè)五邊形，5個(gè)頂點(diǎn)為(0，0)，(2，0)，(3，1)，(1，3)，(0，2).

畫出其在第一象限的區(qū)域圖形(以點(diǎn)(1，1)為中心的正方形閉區(qū)域)，然后根據(jù)對(duì)稱性，關(guān)于x，y軸作它的對(duì)稱圖形，獲得所給不等式||x|-1|+||y|-1|≤2的整個(gè)區(qū)域圖形(包括邊界)：粗體“十”字(如圖7).

類似地，我們可繪出不等式-2|x|-2|y|+3|x-y|+3|x+y|≤2圍成的四角星形區(qū)域圖形(如圖8).

圖7 圖8

這是中心為(0，0)的四角星形區(qū)域.

例1～例5中區(qū)域圖形，均同時(shí)具有定理1中5條對(duì)稱性質(zhì).實(shí)際上，這樣的區(qū)域一定具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圖形旋轉(zhuǎn)45°仍然與原圖形重合.

定理2 區(qū)域 f(x，y)≥0(或 ＞，＜，≤，=之一)關(guān)于點(diǎn)P(a，b)的對(duì)稱區(qū)域?yàn)椴坏仁絝(2a-x，2b-y)≥0(或相應(yīng)的＞，＜，≤，=之一).

證明略.

特殊情況：區(qū)域f(x，y)≥0關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)域?yàn)椴坏仁絝(-x，-y)≥0.

例6 試?yán)L出|x+y-1|+|x-y-2|≤2關(guān)于點(diǎn)(1，1)的對(duì)稱區(qū)域圖形.

解根據(jù)定理2，只需在所給不等式中以(2-x，2-y)替換(x，y)，即得對(duì)稱區(qū)域的不等式為

在此不等式中，不論x+y-1，x-y+2為正或負(fù)，所給的不等式皆相同，也就是說圖形應(yīng)對(duì)稱于直線x+y-1=0和直線x-y+2=0.這樣，我們只須討論x+y-1≥0，x-y+2≥0即可.此時(shí)所給的不等式可化為

于是，所給不等式的區(qū)域圖形由不等式組

圖9

約束，它表示△ABG閉區(qū)域(如圖9).

例7 試?yán)L出不等式|x-2|+||x-2|-2y|≤2關(guān)于點(diǎn)(1，0)的對(duì)稱區(qū)域圖形.

解根據(jù)定理2，只需在所給不等式中以(2-x，-y)替換(x，y)，即得對(duì)稱區(qū)域的不等式為

在此不等式中，以-x代x，y不變，所給不等式?jīng)]有變化，從而不等式|x|+||x|+2y|≤2的區(qū)域圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.因此，也可先討論x≥0的情形，再用對(duì)稱法，繪出整個(gè)區(qū)域圖形.

當(dāng)x≥0時(shí)，所給不等式化為

(1)若 x+2y≥0，則 x+y≤1，不等式組

表示的區(qū)域圖形是以 A(0，1)，C(2，-1)，O(0，0)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域(含邊界)(如圖10).

(2)若 x+2y＜0，則 y≥-1，不等式組

圖10

表示的區(qū)域圖形是以 D(0，

-1)，C(2，-1)，O(0，0)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域(含邊界)(如圖10).

由于所給不等式的區(qū)域圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，故不等式的區(qū)域圖形是以 A(0，1)，B(-2，-1)，C(2，-1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域(含邊界).

定理3 區(qū)域 f(x，y)≥0(或 ＞，＜，≤，=之一)關(guān)于直線Ax+By+C=0(A，B不同時(shí)為0)的對(duì)稱區(qū)域?yàn)椴坏仁?/p>

(或相應(yīng)的＞，＜，≤，=之一).

證明設(shè)f(x，y)≥0上任一點(diǎn)P0(x0，y0)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)為P(x，y)，則

注意到當(dāng)B=0時(shí)，式(2)成立，又由P0P的中點(diǎn)在直線Ax+By+C=0上，得

由式(2)，式(3)解得

化成易記形式

代入 f(x0，y0)≥0，得點(diǎn) P(x，y)在區(qū)域(1)上.

反過來，可證得：區(qū)域(1)上任一點(diǎn)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)，也在區(qū)域f(x，y)≥0上.

作為定理3的特殊情況，有：

(1)區(qū)域f(x，y)≥0關(guān)于x軸的對(duì)稱區(qū)域?yàn)椴坏仁?f(x，-y)≥0;

(2)區(qū)域f(x，y)≥0關(guān)于y軸的對(duì)稱區(qū)域?yàn)椴坏仁?f(-x，y)≥0;

(3)區(qū)域f(x，y)≥0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱區(qū)域?yàn)椴坏仁絝(2a-x，y)≥0;

(4)區(qū)域f(x，y)≥0關(guān)于直線y=b的對(duì)稱區(qū)域?yàn)椴坏仁絝(x，2b-y)≥0;

(5)區(qū)域f(x，y)≥0關(guān)于直線x+y+c=0的對(duì)稱區(qū)域?yàn)椴坏仁絝(-y-c，-x-c)≥0;

(特例：f(x，y)≥0 與 f(-y，-x)≥0 的區(qū)域圖形關(guān)于直線y=-x對(duì)稱.)

(6)區(qū)域f(x，y)≥0關(guān)于直線x-y+c=0的對(duì)稱區(qū)域?yàn)椴坏仁絝(y-c，x+c)≥0.

(特例：f(x，y)≥0與 f(y，x)≥0的區(qū)域圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱.)

觀察其本質(zhì)，只需對(duì)原不等式中x，y的位置用相應(yīng)的式子代即可，如關(guān)于直線x=a對(duì)稱，當(dāng)且僅當(dāng)2a-x代替 x，y不變;關(guān)于點(diǎn) P(a，b)對(duì)稱，則用2a-x代 x，2b-y代 y等等.

例8 試?yán)L出不等式2|y|+||y|+3x|≤6關(guān)于直線y=x的對(duì)稱區(qū)域圖形.

解根據(jù)定理3，互換所給不等式中 x，y的位置，得關(guān)于直線 y=x的對(duì)稱區(qū)域不等式為

以-x代 x，y不變，所給不等式?jīng)]有變化，從而不等式2|x|+||x|+3y|≤6的區(qū)域圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.因此，也可先討論x≥0的情形，再用對(duì)稱法，繪出整個(gè)區(qū)域圖形.

當(dāng)x≥0時(shí)，所給不等式化為

圖11

(1)若 x+3y≥0，則 x+y≤2，不等式組

所表示的區(qū)域圖形是以 A(0，2)，C(3，-1)，O(0，0)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域(含邊界).

(2)若 x+3y＜0，則 x-3y≤6，不等式組

所表示的區(qū)域圖形是以 D(0，-2)，C(3，-1)，O(0，0)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域(含邊界)(如圖11).

由于所給不等式的區(qū)域圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，故不等式的區(qū)域圖形是以 A(0，2)，B(-3，-1)，C(3，-1)，D(0，-2)為頂點(diǎn)的凸四邊形閉區(qū)域(含邊界)(如圖11).

例9 試?yán)L出不等式|y-1|+|2|y-1|+1-x|≤3的關(guān)于直線y=1-x的對(duì)稱區(qū)域圖形.

解根據(jù)定理3，在所給不等式中作替換(1-y，1-x)→(x，y)，得關(guān)于直線 y=1-x 的對(duì)稱區(qū)域不等式為

以-x代x，y不變，所給不等式?jīng)]有變化，從而不等式|x|+|2|x|+y|≤3的區(qū)域圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.因此，也可先討論x≥0的情形，再用對(duì)稱法，繪出整個(gè)區(qū)域圖形.

當(dāng)x≥0時(shí)，所給不等式化為

x+|2x+y|≤3.

(1)若 2x+y≥0，則 3x+y≤3，不等式組

圖12

所表示的區(qū)域圖形是以 A(0，3)，C(3，-6)，O(0，0)為頂點(diǎn)的三角形面.

(2)若2x+y＜0，則 x+y≥3，不等式組所表示的區(qū)域圖形是以 D(0，-3)，C(3，-6)，O(0，0)為頂點(diǎn)的三角形面.

由于所給不等式的區(qū)域圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，故不等式的區(qū)域圖形是以 A(0，3)，B(-3，-6)，C(3，-6)，D(0，-3)為頂點(diǎn)的凹四邊形面(如圖12).

例10 試?yán)L出不等式|7x-24y+30|-|24x+7y-40|≤25關(guān)于直線3x+4y-5=0的對(duì)稱區(qū)域圖形.

解根據(jù)定理3，關(guān)于直線3x+4y-5=0的對(duì)稱變換為

即在所給不等式中作替換

得關(guān)于直線3x+4y-5=0的對(duì)稱區(qū)域不等式為

以-x代x，-y代 y，所給不等式不變，故不等式|x|-|y|≤1的區(qū)域圖形關(guān)于x軸、y軸都對(duì)稱.因此，可先討論 x≥0，y≥0的情形，再用對(duì)稱法，繪出整個(gè)區(qū)域圖形.

當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，所給不等式化為x-y≤1，其區(qū)域圖形如圖13所示，再根據(jù)區(qū)域圖形關(guān)于x軸、y軸都對(duì)稱，繪出整個(gè)區(qū)域圖形：雙折線內(nèi)區(qū)域.

圖13

［1］ 李世杰，李盛.函數(shù)不等式［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2009.

［2］ 李世杰，李盛.函數(shù)元不等式的理論及其應(yīng)用［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2011.