挖掘數(shù)學(xué)思想 探究數(shù)學(xué)本質(zhì)
——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考函數(shù)問題評(píng)析

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(昌碩高級(jí)中學(xué) 浙江安吉 313300)

挖掘數(shù)學(xué)思想探究數(shù)學(xué)本質(zhì)
——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考函數(shù)問題評(píng)析

●黃超

(昌碩高級(jí)中學(xué) 浙江安吉 313300)

函數(shù)問題，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也往往是試卷的亮點(diǎn)：初看平淡無(wú)奇，細(xì)看則韻味悠長(zhǎng)；乍看舉步維艱，細(xì)想則豁然開朗．浙江卷中的函數(shù)試題具有其鮮明的特色，許多問題成為教師津津樂道的經(jīng)典和師生共同探究的范例，值得細(xì)細(xì)體會(huì).以下通過(guò)對(duì)2012年理科第17題的詳細(xì)評(píng)注和近年來(lái)的經(jīng)典函數(shù)試題的簡(jiǎn)要分析，與大家一起體驗(yàn)浙江卷函數(shù)問題的特色以及高考復(fù)習(xí)的方向．

例1設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，

則a=______.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1 圖2

注問題的呈現(xiàn)形式為已分解為一次和二次因式乘積的三次多項(xiàng)式不等式求解集，故可以自然聯(lián)想到利用三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖像解題，這是函數(shù)思想的直接體現(xiàn).其以三次多項(xiàng)式函數(shù)圖像的整體認(rèn)知為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)定性和定量的合理轉(zhuǎn)化，借助圖像的直觀性可以較順利地發(fā)現(xiàn)“等根”這個(gè)解題核心，對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的理解是畫圖的關(guān)鍵.可能造成解題歧路的是部分學(xué)生的思維定勢(shì)，即三次多項(xiàng)式函數(shù)問題用求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為最值問題來(lái)解決，但參數(shù)討論的復(fù)雜性導(dǎo)致此法行不通.命題者沒有將問題表述為

(a-1)x3-(a2-a+1)x2+x+1≥0，

既在一定程度上指出了問題的思考方向，也在難度上做了較好的控制.這與浙江卷“多考一點(diǎn)想、少考一點(diǎn)算”、“多考通法、少考特殊技巧”等命題理念是緊密相關(guān)的，也正是浙江卷的一個(gè)鮮明特點(diǎn).

解法2令f(x)=(a-1)x-1，g(x)=x2-ax-1，f(0)=g(0)=-1,故y=g(x)有正零點(diǎn).由題意，f(x),g(x)有相同的正零點(diǎn)，如圖3所示，則

因此

注既然問題已分解為一次和二次因式的乘積，則根據(jù)2個(gè)函數(shù)值正負(fù)變化的同步性，將不等式問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，化一般為特殊，以函數(shù)圖像作為破解問題難點(diǎn)的切入口，函數(shù)、方程、不等式相互轉(zhuǎn)化，清晰簡(jiǎn)潔完滿，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.解題的核心在于以形助數(shù)，借助2個(gè)函數(shù)值的正負(fù)變化化簡(jiǎn)問題，分合之間彰顯圖像的解題魅力.

圖3 圖4

解法3由x>0，原不等式可化為

若存在x0>0使得

則

解法4由x>0，原不等式可化為

解法5由x>0，原不等式可化為

注經(jīng)過(guò)參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于a的不等式的解集問題，在解法中運(yùn)用了不等式的“兩邊夾”原理.解法3借助特殊化的思想將問題簡(jiǎn)化為方程根的問題；解法4將之轉(zhuǎn)化為恒成立問題并借助求函數(shù)值域的方法；解法5利用函數(shù)圖像較為簡(jiǎn)潔地說(shuō)明了問題.從某種意義上說(shuō)，解法4和解法5也可看作是對(duì)解法3的一種解釋.這種包含參變分離的轉(zhuǎn)化思想也正是解決函數(shù)問題的重要方法之一，巧妙的方法背后往往有較為深刻的背景.

解法6當(dāng)x=2時(shí),

(2a-3)(3-2a)=-(2a-3)2≥0，

因此

注集簡(jiǎn)、巧、靈于一身，如有神助，堪稱絕妙.為什么是x=2？從以上的解法中可以看出這不是巧合，但作為解題，這里顯然有極大的運(yùn)氣成分.如果解題有障礙，作為應(yīng)試策略，嘗試代入一些特殊的值不失為一種好的解題方法，這也符合特殊和一般的辨證關(guān)系.當(dāng)然，這樣的妙解多用于欣賞，有時(shí)甚至有“事后諸葛亮”之嫌，故不宜大加渲染，度的把握值得注意.

從以上對(duì)試題的解答和注看，此題較為清晰地展現(xiàn)了浙江卷中函數(shù)問題的鮮明特色，即思想的深刻性、思維的簡(jiǎn)潔性、方法的多樣性、圖像的直觀性、函數(shù)的二次性，其著眼點(diǎn)在于對(duì)數(shù)學(xué)思想的深刻考查和對(duì)數(shù)學(xué)能力的理性訴求.

1 想一想，思想深刻思路簡(jiǎn)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)之所在，是數(shù)學(xué)的精髓.數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中.高考試題堅(jiān)持能力立意，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查往往是深刻而內(nèi)蘊(yùn)的，但在深刻理解的基礎(chǔ)上解題，思路卻是簡(jiǎn)潔的.

例2已知a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)2(x+b)ex，b∈R，x=a是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),求b的取值范圍．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖5

注根據(jù)極大值的含義，由題設(shè)中“x=a是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)”，可知在x=a的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意一個(gè)x的值，均有f(x)

“數(shù)學(xué)味”源自何處？到底是什么能令人擊節(jié)贊賞，頓覺眼前一亮？以蘊(yùn)涵于試題背后的學(xué)科本質(zhì)及數(shù)學(xué)思想的高立意為支撐設(shè)計(jì)的試題就有這樣的神奇.

2 看一看，圖像直觀本質(zhì)顯

華羅庚先生曾言：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”利用圖像的直觀性解題是重要的思考方法之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.函數(shù)圖像不止是直觀地反映了函數(shù)的性質(zhì)，而且能充分簡(jiǎn)化思維的過(guò)程，體現(xiàn)問題的本質(zhì).如例2的解決就充分利用了圖像的直觀性.

例3已知函數(shù)f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中x∈R.

(1)略；

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

注當(dāng)x<0時(shí),

q′(x)=f′(x)=

3x2-2(k2-k+1)x+5；

當(dāng)x>0時(shí),

q′(x)=g′(x)=2k2x+k.

圖6

因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí)不合題意，因此k≠0，q′(x)的圖像左側(cè)為二次函數(shù)一部分，右側(cè)為一次函數(shù)一部分.由題意，結(jié)合圖像(圖6)可知k=5滿足題意．圖像的直觀性使問題顯得自然和諧，解答思路簡(jiǎn)潔明快，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的魅力.

再如，2012年理科第9題將函數(shù)圖像與不等式問題進(jìn)行了巧妙的結(jié)合，通過(guò)畫圖答案一目了然.這樣的試題在歷年的浙江卷中比比皆是，理由很簡(jiǎn)單：此類試題既能深層次地考查函數(shù)的性質(zhì)，又能充分考查數(shù)形結(jié)合思想.

3 選一選，方法多樣數(shù)感聯(lián)

高考試題具有豐富的內(nèi)涵，因此其解決的方法也具有多樣性，從不同的角度切入，就會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn)，而這些方法的背后聳立著數(shù)學(xué)思想的豐碑.如何選擇合適的方法，和學(xué)生平時(shí)對(duì)各種方法的熟悉程度有關(guān)，在一定意義上考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題的感覺.

例4設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是______.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

注此題解法眾多，也引發(fā)了一些較為深入的研究.筆者簡(jiǎn)單羅列了一下，至少可以寫出13種解法，比如判別式法、不等式、參數(shù)方程、換元法、向量法、函數(shù)法等等.各種方法是有繁簡(jiǎn)之別的，但其背后都有著數(shù)學(xué)思想的支撐.這其實(shí)也是我們平常教學(xué)的好素材.

4 導(dǎo)一導(dǎo)，二次函數(shù)威風(fēng)見

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性問題的重要工具，而二次函數(shù)的考查是數(shù)學(xué)高考的永恒主題，“3個(gè)二次”的問題值得細(xì)細(xì)研究，牢牢掌握.

例5已知函數(shù)f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R.設(shè)函數(shù)p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求k的取值范圍.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

注將“p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)”轉(zhuǎn)化為“p′(x)=0在(0,3)上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根”，問題即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題(或二次方程根的存在問題，即“3個(gè)二次”的問題).結(jié)合圖像，或直接根據(jù)二次函數(shù)的圖像分類，或利用參變分離加以轉(zhuǎn)化，都可以解決此題.

例6已知a>0,b∈R，函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.

(1)證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，①函數(shù)f(x)的最大值為|2a-b|+a；②f(x)+|2a-b|+a≥0.

(2)若-1≤f(x)≤1對(duì)x∈[0,1]恒成立，求a+b的取值范圍.

注第(1)小題第①問利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)(開口向上的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值只能是端點(diǎn)值)得到

f(x)max= max{f(0),f(1)}=

max{-a+b,3a-b}，

然后利用要證明的結(jié)論明確分類標(biāo)準(zhǔn)并合并.此題看上去并不難，但不熟悉二次函數(shù)最值性質(zhì)的學(xué)生可能會(huì)將這個(gè)問題復(fù)雜化，即增加分類.第(1)小題第②問將2類情況中f(x)+|2a-b|+a統(tǒng)一縮小為2a(2x3-2x+1)并進(jìn)而通過(guò)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題.此問也可不化歸為統(tǒng)一函數(shù)而直接用分類討論解決，但過(guò)程繁冗.此題的特點(diǎn):思考的力量遠(yuǎn)高于具體的運(yùn)算，其涉及函數(shù)與方程、分類與整合、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想．

再如，2012年數(shù)學(xué)高考理科第16題通過(guò)新定義問題，利用導(dǎo)數(shù)求切線或利用配方法求二次函數(shù)的最值，以解析幾何為載體考查函數(shù)問題；理科第21題利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值的問題等等．

通過(guò)以上分析可以看到：浙江卷中的函數(shù)問題是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是命題者精心設(shè)計(jì)試題的著眼點(diǎn)．其注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的深入考查;注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的理性挖掘；注重圖像的演繹，通過(guò)圖像可以快捷地解決那些難度較大的把關(guān)題；注重二次函數(shù)的考查，“3個(gè)二次”在函數(shù)問題中比比皆是．因此，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，依靠“題型+技巧+大運(yùn)動(dòng)量訓(xùn)練”的教學(xué)難以適應(yīng)高考，只有突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的自然回歸才是復(fù)習(xí)的方向.具體而言：

(1)作為函數(shù)復(fù)習(xí)，應(yīng)更多地關(guān)注函數(shù)本身的性質(zhì)，關(guān)注函數(shù)圖像.遇到函數(shù)問題，多讓學(xué)生嘗試畫圖，用圖像來(lái)思考和解決問題，當(dāng)然，這其中有一些工具不可或缺，如導(dǎo)數(shù)等．

(2)關(guān)于導(dǎo)數(shù)，必須明確的是導(dǎo)數(shù)只是研究函數(shù)單調(diào)性和極值的工具，過(guò)多地關(guān)注導(dǎo)數(shù)處理問題的技巧是本末倒置．

(3)“3個(gè)二次”的問題是浙江卷考試的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在復(fù)習(xí)中要引起充分重視，要不斷挖掘其中的變化，讓學(xué)生通過(guò)諸多的變式深刻體會(huì)二次函數(shù)的本質(zhì)以及衍生出的種種問題.

(4)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，對(duì)其的滲透非一朝一夕之功，需要教師通過(guò)各種問題有意識(shí)地加以培養(yǎng)，變隱形的思想為顯性的方法，變抽象的理念為具體的策略，以期讓學(xué)生能自覺地加以運(yùn)用．