γ－Reθ模式應(yīng)用于高速邊界層轉(zhuǎn)捩的研究

孔維萱，閻 超，趙 瑞

（北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191）

0 引 言

在高超聲速飛行條件下，邊界層轉(zhuǎn)捩直接關(guān)系到飛行器摩擦阻力、熱交換及流動的分離位置等，若能準確預(yù)測轉(zhuǎn)捩位置或延遲轉(zhuǎn)捩的發(fā)生，可有效改進飛行器氣動性能，大大降低燃料消耗，使熱防護設(shè)計更為靈活。另一方面發(fā)動機唇口流動品質(zhì)是發(fā)動機工作的重要參數(shù)之一，流動為湍流態(tài)時燃氣成分摻混充分，保證燃燒效率；正確控制流動狀態(tài)，強制流動發(fā)生轉(zhuǎn)捩已成為高超聲速一體化飛行器設(shè)計的重點難題。研究邊界層轉(zhuǎn)捩及其預(yù)測方法，對于飛行器氣動設(shè)計和進氣道一體化設(shè)計具有重要的工程意義。

風洞實驗一直是研究流動轉(zhuǎn)捩的重要手段，近年來靜風洞的研究成果［1－3］成為模擬真實飛行狀態(tài)流動轉(zhuǎn)捩和驗證數(shù)值方法的重要依據(jù)。隨著計算流體力學(xué)的發(fā)展，數(shù)值試驗已逐漸成為與風洞實驗同等重要的流體力學(xué)研究方法。其中基于模式理論發(fā)展的轉(zhuǎn)捩模式，以其穩(wěn)定性和經(jīng)濟性成為最具有工程應(yīng)用前景的轉(zhuǎn)捩模擬和預(yù)測方法。Mayle等［4］提出非湍流脈動能概念，?；D(zhuǎn)捩前的流動脈動，隨后 Warren等［5］將其耦合在湍流模式中，形成了一方程的轉(zhuǎn)捩模式。Menter等［6］提出了一種避免求解積分量的基于當?shù)刈兞康霓D(zhuǎn)捩模式，此模式在眾多亞聲速轉(zhuǎn)捩流動中表現(xiàn)優(yōu)秀；值得一提的是該模式特別針對分離導(dǎo)致的轉(zhuǎn)捩對間歇因子提出了修正，并在部分算例中得到良好的效果。符松和王亮［7］提出了適用于超聲速流動的轉(zhuǎn)捩模式，該模式統(tǒng)一求解非湍流脈動和湍動能，并以脈動與平均流動的關(guān)系作為轉(zhuǎn)捩起始的判據(jù)，考慮多種不穩(wěn)定擾動模態(tài)對了流動的影響。

本文采用γ－Reθ模式對超聲速、高超聲速流動的典型模型進行計算，研究了來流馬赫數(shù)、來流雷諾數(shù)、攻角狀態(tài)和頭部鈍化半徑對流動轉(zhuǎn)捩的影響，就γ－Reθ模式針對上述流動參數(shù)變化的適用性進行討論。

1 計算方法

1．1 控制方程

計算采用有限體積法求解可壓縮全N－S方程，無粘通量由Roe的FDS格式求解，粘性通量采用中心差分格式進行離散，時間推進采用LU－SGS隱式方法。

1．2 轉(zhuǎn)捩模式

本文采用γ－Reθ模式模擬流動的轉(zhuǎn)捩。γ－Reθ模式是Menter及合作者［6］提出的轉(zhuǎn)捩模式，引入渦雷諾數(shù)概念將邊界層相關(guān)量的求解當?shù)鼗?，建立輸運方程求解間歇因子和臨界動量厚度雷諾數(shù)，在SST湍流模式的基礎(chǔ)上實現(xiàn)了對于流動轉(zhuǎn)捩的計算模擬和預(yù)測。

1．2．1 當?shù)乩字Z數(shù)輸運方程

轉(zhuǎn)捩起始位置的求解對于轉(zhuǎn)捩計算和預(yù)測至關(guān)重要，γ－Reθ模式中求解“臨界動量厚度雷諾數(shù)~Reθt”輸運方程從而給出轉(zhuǎn)捩起始位置的相關(guān)信息，與由經(jīng)驗公式或轉(zhuǎn)捩判據(jù)確定轉(zhuǎn)捩起始位置的方法相比，此方法能夠更多地反映當?shù)亓鲃犹匦?。當?shù)乩字Z數(shù)輸運方程表示為：

其中生成項為：

轉(zhuǎn)捩動量厚度雷諾數(shù)Reθt由來流湍流度和壓力梯度等參數(shù)擬合的經(jīng)驗公式，表示為：

模式常數(shù)為：

1．2．2 間歇因子輸運方程

將間歇因子作為權(quán)值耦合層流與湍流區(qū)域的計算，采用輸運方程求解間歇因子，間歇因子輸運方程為：

間歇因子的生成項和耗散項分別表示為：

決定間歇因子增長的關(guān)鍵參數(shù)是Fonset，由下式確定：

其中Reθc表示間歇因子開始增長處的動量厚度雷諾數(shù)，可表示為的函數(shù)：

確定間歇因子生成項的另一關(guān)鍵參數(shù)為Flength，表示轉(zhuǎn)捩區(qū)的長度，同樣以的函數(shù)形式給出如下：

其它模式常數(shù)為：

γ壁面法向通量為0；為抑制入口處湍動能的耗散現(xiàn)象，γ設(shè)置為1。

1．2．3 模式最終形式

間歇因子體現(xiàn)在原SST模式中湍動能生成項和耗散項中，γ－Reθ轉(zhuǎn)捩模式的最終形式如下：

2 數(shù)值實驗

2．1 數(shù)值格式對轉(zhuǎn)捩模式的影響

數(shù)值格式本身的特性是影響數(shù)值模式的關(guān)鍵因素之一，這里選取超聲速平板流動算例，采用二階格式包括Roe的FDS格式（分別組合min－mod和superbee限制器）、AUSM＋格式和五階 WENO格式進行計算，研究不同格式對轉(zhuǎn)捩模擬的影響。超聲速平板流動條件為：來流馬赫數(shù)4．5，來流雷諾數(shù)6．433×106／m，來流溫度61．1K，來流湍流度0．1%。計算域設(shè)置為1m×0．33m，保證法向第一層網(wǎng)格y＋＜1。入口給定速度、壓力、k和ω。

圖1給出壁面摩阻系數(shù)沿流向分布情況，比較各種格式計算結(jié)果可知：同為二階格式時，限制器的選擇對計算結(jié)果的影響明顯，其中壓縮性較強的superbee限制器計算得到的轉(zhuǎn)捩位置明顯提前于耗散性較大的min－mod限制器結(jié)果；不同格式計算結(jié)果差異不大；相對于二階格式，高階格式對流動結(jié)構(gòu)的刻畫更為精確，數(shù)值耗散小，但計算穩(wěn)定性差，并對存儲量和計算量提出了更高的要求。對于使用γ－Reθ模式的轉(zhuǎn)捩預(yù)測，計算格式的影響主要體現(xiàn)在格式的耗散性上，耗散較小的計算格式得到的轉(zhuǎn)捩位置較耗散性大的格式提前，是由于γ－Reθ轉(zhuǎn)捩模式中控制間歇因子γ生成的函數(shù)Fonset與粘性負相關(guān)，即體現(xiàn)為數(shù)值粘性越小轉(zhuǎn)捩發(fā)生位置越提前。在原有模式參數(shù)設(shè)置的基礎(chǔ)上，耗散性較大的格式計算結(jié)果與DNS數(shù)據(jù)吻合較好，綜合考慮計算穩(wěn)定性等因素，下文各算例均采用Roe格式組合min－mod限制器的空間離散方法進行計算。

圖1 馬赫4．5平板壁面摩阻系數(shù)分布Fig．1 Skin－friction coefficient distribution for M4．5plate

2．2 算例描述

應(yīng)用γ－Reθ模式計算以下算例：（1）馬赫3．5、半錐角為5°尖錐；（2）馬赫5．91、半錐角5°尖錐；（3）馬赫5．91、半錐角5°裙錐和（4）馬赫7．16、半錐角7°尖錐。其中馬赫3．5尖錐計算了6種雷諾數(shù)條件，討論來流雷諾數(shù)對流動轉(zhuǎn)捩的影響。針對馬赫5．91尖錐和裙錐的計算，討論不同攻角狀態(tài)對轉(zhuǎn)捩的影響。7°半錐角尖錐算例中給出了三種頭部鈍化半徑的計算結(jié)果，討論頭部鈍化半徑對流動轉(zhuǎn)捩的影響。

各算例流動參數(shù)和計算設(shè)置列于表1，需要說明的是，針對各算例分別設(shè)置湍動能及比耗散率的入口條件，以盡量保證計算來流湍流度與實驗或參考文獻相同。

表1 各算例流動參數(shù)及網(wǎng)格設(shè)置Table 1 Flow condition and grid refinement

以下給出各算例計算結(jié)果和討論。

2．3 雷諾數(shù)對轉(zhuǎn)捩的影響

計算長為550mm、半錐角為5°的尖錐，討論不同來流雷諾數(shù)條件下流動轉(zhuǎn)捩情況。流動條件參照實驗［8］設(shè)置，來流馬赫數(shù)為3．5，來流湍流度為0．1%，來流雷諾數(shù)分別為：2．69×107、3．70×107、4．69×107、5．66×107、6．59×107和7．49×107。計算網(wǎng)格設(shè)置（流向×法向×周向，下同）為121×121×81，法向第一層網(wǎng)格高度為1．0E－6m；流動入口給定速度、溫度、壓力、k和ω，壁面提無滑移、絕熱條件，出口提遠場條件。

圖2 馬赫3．5尖錐計算結(jié)果Fig．2 Skin－friction coefficient distribution for M3．5cone

圖3 馬赫3．5尖錐計算結(jié)果Fig．3 ReTvs．Re／m from M3．5cone results

圖2 給出馬赫3．5圓錐計算結(jié)果，圖中實線（由左側(cè)坐標標示）表示壁面摩阻系數(shù)，離散點（由右側(cè)坐標標示）表示壁面恢復(fù)溫度風洞實驗值，恢復(fù)溫度定義為r＝（Taw－Te）／（T0－Te）。隨來流雷諾數(shù)的增大，γ－Reθ模式計算結(jié)果呈現(xiàn)出：轉(zhuǎn)捩起始位置逐漸向上游移動、轉(zhuǎn)捩后摩阻系數(shù)的峰值逐漸增大的變化趨勢。在較小的來流雷諾數(shù)條件下，模式計算的轉(zhuǎn)捩起始位置明顯比實驗提前，隨著來流雷諾數(shù)的增大，這一差異逐漸減小。

圖3比較了飛行實驗、風洞實驗和γ－Reθ模式計算的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)隨來流雷諾數(shù)的變化趨勢。γ－Reθ模式計算結(jié)果與飛行實驗變化趨勢相同，可以證實γ－Reθ模式能夠正確反映流動轉(zhuǎn)捩隨來流雷諾數(shù)的變化；但模式計算的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)整體小于飛行實驗結(jié)果，說明γ－Reθ模式未考慮可壓縮性對流動的穩(wěn)定作用，在超聲速流動（Ma～3．5左右）條件下預(yù)測的轉(zhuǎn)捩位置提前，轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)較小。而風洞實驗結(jié)果只在來流雷諾數(shù)較小時與飛行實驗結(jié)果吻合良好，而隨著來流雷諾數(shù)的增大，風洞自身的噪聲很大程度上影響了流動轉(zhuǎn)捩的結(jié)果。

2．4 攻角對轉(zhuǎn)捩的影響

計算裙錐和圓錐0°～4°攻角流動，討論小攻角對流動轉(zhuǎn)捩的影響。圓錐長635mm、半錐角為5°；裙錐前半部為長254mm、半錐角為5°尖錐，后半部為曲率半徑2364mm的尾裙，特別設(shè)計的曲率半徑使流動在尾裙區(qū)域具有逆壓梯度，并保持邊界層厚度不變。頭部鈍化半徑均為0．8mm，裙錐模型幾何外形如圖4所示。

圖4 尖錐裙幾何外形示意圖Fig．4 Geometry for flared－cone

流動參數(shù)參照風洞實驗［9－10］設(shè)置，來流馬赫數(shù)為5．91，來流雷諾數(shù)為 9．348E6／m，來流湍流度為0．1%，來流溫度為56．2K。網(wǎng)格設(shè)置為121×121×41，法向第一層網(wǎng)格高度1．0E－6m；邊界條件設(shè)置與上一算例相同。

圖5為馬赫5．91尖錐裙流動計算結(jié)果。圖5（a）給出0°攻角時對稱面壓力等值線分布，除尖錐前緣產(chǎn)生的斜激波外，尾裙區(qū)域存在一簇較弱的壓縮波。圖5（b）給出0°攻角母線、2°攻角迎風、背風子午線壓力系數(shù)分布。γ－Reθ模式計算的壓力系數(shù)與實驗值吻合良好，最大差異在裙錐尾部；圖5（b）中可以看到，實驗結(jié)果2°攻角背風面尾裙中部位置出現(xiàn)壓力系數(shù)的局部下降，這一流動未能由γ－Reθ模式計算再現(xiàn)。實驗測得0°攻角轉(zhuǎn)捩發(fā)生在x＝371mm位置，2°攻角背風側(cè)轉(zhuǎn)捩位置提前至x＝310mm，迎風側(cè)基本保持層流狀態(tài)不發(fā)生轉(zhuǎn)捩。計算結(jié)果與實驗相同，圖5（c）給出0°和2°攻角壁面法向第一層網(wǎng)格間歇因子分布，0°攻角間歇因子在x＝370mm開始增長；2°攻角時背風子午線間歇因子開始增長位置提前至x＝300mm，迎風子午線間歇因子保持在很小數(shù)值。

圖5 M5．91裙錐流動計算結(jié)果Fig．5 Results for M5．91flared－cone

圖6 給出馬赫5．91直圓錐計算結(jié)果。圖6（a）為0°攻角壁面熱流系數(shù)與實驗對比，計算結(jié)果與實驗值基本吻合，但轉(zhuǎn)捩起始位置較為提前。圖6（b）給出1°、2°和4°攻角壁面法向第一層網(wǎng)格間歇因子分布。同裙錐計算結(jié)果相似，當攻角由0°變?yōu)?°時，背風側(cè)轉(zhuǎn)捩位置明顯提前，迎風側(cè)轉(zhuǎn)捩位置推后；隨著攻角的增加，迎、背風側(cè)轉(zhuǎn)捩位置逐漸向下游移動，且周向轉(zhuǎn)捩線傾斜程度逐漸增大。

分析本節(jié)兩算例的計算結(jié)果，γ－Reθ模式通過求解當?shù)乩字Z數(shù)輸運方程得到轉(zhuǎn)捩起始位置的相關(guān)信息，并結(jié)合當?shù)乩字Z數(shù)確定間歇因子，計算能夠一定程度上反應(yīng)邊界層的三維特性，在未引入橫向不穩(wěn)定擾動模化的情況下，能夠正確預(yù)測小攻角對流動轉(zhuǎn)捩的影響。

圖6 馬赫5．91直圓錐計算結(jié)果Fig．6 Results for M5．91cone

2．5 頭部鈍化對轉(zhuǎn)捩的影響

最后討論頭部鈍化半徑對流動轉(zhuǎn)捩的影響，選取長2300mm、半錐角為7°的圓錐進行研究，頭部鈍化半徑（Rn／mm）分別取為2．5、5．0和6．35，以頭部鈍化半徑為特征長度的雷諾數(shù)（ReRn×10－4）分別為2．55、5．1和6．477。流動條件參照實驗［11］給定，來流馬赫數(shù)為7．16，來流湍流度為0．675%，來流溫度為231．7K，壁面提絕熱條件。計算網(wǎng)格設(shè)置為121×121×41，法向第一層網(wǎng)格高度為1．0E－6m；邊界條件設(shè)置與上一算例相同。

圖7為馬赫7．16圓錐流動計算結(jié)果，圖7（a）和（b）給出頭部鈍化半徑分別為2．5mm和5．0mm時壁面熱流值與實驗對比，熱流峰值的位置和大小等計算結(jié)果與實驗值基本相同，但同樣存在預(yù)測轉(zhuǎn)捩起始位置較早的問題。頭部鈍化半徑的變化對于轉(zhuǎn)捩的影響，主要源于壓力梯度的變化；由于球頭與錐體相接處存在曲率半徑的突變，在該位置產(chǎn)生較大逆壓梯度，從而影響流動轉(zhuǎn)捩的發(fā)生。圖7（c）給出圓錐前緣局部壓力分布及壁面壓力梯度（?p／?s）分布，可見隨著頭部鈍化半徑的增加，逆亞梯度峰值位置逐漸向下游移動；壓力梯度的變化對流動轉(zhuǎn)捩的影響表現(xiàn)為，隨著頭部鈍化半徑的增加，轉(zhuǎn)捩位置向下游移動，轉(zhuǎn)捩后的熱流峰值有一定程度的降低。模式能夠正確模擬頭部半徑對流動轉(zhuǎn)捩的影響，針對壓力梯度進行了修正提高了對于此類問題的適用性。

圖7 馬赫7．16尖錐計算結(jié)果Fig．7 Results for M7．16cone

3 結(jié) 論

（1）將γ－Reθ模式應(yīng)用于超聲速、高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩問題的計算，討論了來流雷諾數(shù)、攻角狀態(tài)和頭部鈍化半徑等關(guān)鍵參數(shù)變化時的模式性能。數(shù)值實驗表明γ－Reθ模式具有一定的預(yù)測超聲速、高超聲速轉(zhuǎn)捩的能力。

（2）馬赫數(shù)3至7范圍內(nèi)的圓錐類流動中，γ－Reθ模式對轉(zhuǎn)捩位置的預(yù)測普遍提前，來流雷諾數(shù)較小時尤為明顯。隨頭部鈍化半徑的增大，γ－Reθ模式計算得到的轉(zhuǎn)捩起始位置后移，對于壓力梯度的變化敏感。

（3）γ－Reθ模式未針對橫流不穩(wěn)定性進行特別模化，但能夠正確模擬馬赫6圓錐或裙錐小攻角狀態(tài)下的邊界層轉(zhuǎn)捩。相比于0°攻角，小攻角時背風側(cè)轉(zhuǎn)捩位置提前、迎風側(cè)轉(zhuǎn)捩延遲；隨攻角的增加，周向轉(zhuǎn)捩線變陡峭并向下游移動。

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