教你探索角的關(guān)系

樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明你的結(jié)論.

（2）如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B與點(diǎn)D之間時(shí)，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，∠APC、∠PAB、∠PCD有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論.

分析：在圖2-1中，∠APC、∠PAB都是△APE的內(nèi)角，得∠APC+∠PAB=∠PEB. 要探索∠APC、∠PAB、∠PCD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，可考慮探索∠PEB與∠PCD之間的數(shù)量關(guān)系.容易發(fā)現(xiàn)，∠PEB=∠PCD. 在圖2-2中，若設(shè)點(diǎn)E是AB、CP延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，則∠APC=∠PAB+∠E. 又∠E=∠PCD，故∠APC-∠PAB=∠PCD.

解：（1）∠APC+∠PAB=∠PCD.理由如下：

∵ ∠PEB是△APE的外角，

∴ ∠PEB=∠APC+∠PAB.

∵ AB∥CD，

∴ ∠PCD=∠PEB.

∴ ∠APC+∠PAB=∠PCD.

（2）不成立.∠APC-∠PAB=∠PCD.為說(shuō)明這結(jié)論，延長(zhǎng)AB、CP，設(shè)點(diǎn)E為其交點(diǎn)（如圖2-2）.

∵ AB∥CD，∴ ∠E=∠PCD.

∵ ∠APC-∠PAB=∠E，

∴ ∠APC-∠PAB=∠PCD.

例3 如圖3-1所示，△ABC中，AE平分∠BAC，∠C >∠B，F(xiàn)為AE上的一點(diǎn)，且FD⊥BC于點(diǎn)D.

（1）請(qǐng)?zhí)剿鳌螮FD與∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件都不變，判斷你在（1）中探索的結(jié)論是否還成立.如果不成立，∠EFD與∠B、∠C又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：無(wú)論是圖3-1，還是圖3-2，∠FDE=90°，那么∠EFD=90°-∠DEF. 要推導(dǎo)∠EFD與∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)考慮將∠DEF轉(zhuǎn)化，看看能否用∠B、∠C的代數(shù)式表示.

解：（1）∠EFD=■（∠C-∠B）.理由如下：

∵ FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∠EFD=90°-∠DEF.

∵ AE平分∠BAC，∠BAC=180°-（∠B+∠C），

∴ ∠BAE=■∠BAC=90°-■（∠B+∠C）.

∴ ∠DEF=∠B+∠BAE=90°+■（∠B-∠C）.

∴ ∠EFD=90°-[90°+■（∠B-∠C）]=■（∠C-∠B）.

（2）成立. 理由如下：

∵ FD⊥BC，

∴ ∠FDE=90°，∠EFD=90°-∠DEF.

∵ AE平分∠BAC，

∴ ∠BAE=■∠BAC=90°-■（∠B+∠C）.

∴ ∠DEF=∠B+∠BAE=90°+■（∠B-∠C）.

∴ ∠EFD=90°-∠DEF=■（∠C-∠B）