時(shí)延網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)的建模與加工性能*

張春華 李迪 翟振坤 王世勇

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640)

網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)(NCS)在控制器與驅(qū)動(dòng)器或傳感器和控制器之間構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，使通訊網(wǎng)絡(luò)作為系統(tǒng)閉環(huán)控制的一部分.作為一類特殊的NCS，網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)的位置環(huán)反饋量與控制量通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸形成閉環(huán)控制，在信息與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)已經(jīng)成為數(shù)控系統(tǒng)發(fā)展的重要方向之一.相對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的連接，NCS 簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的布線，降低了布線和維護(hù)成本，同時(shí)，數(shù)字信號(hào)傳輸提高了系統(tǒng)的可靠性和抗干擾性.但網(wǎng)絡(luò)的介入，也引入了時(shí)延和丟包等新的問(wèn)題，使得傳統(tǒng)控制有關(guān)時(shí)間參數(shù)的假設(shè)不再成立，例如同步控制等.對(duì)于多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的存在以及網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)時(shí)鐘的不統(tǒng)一還引起多軸加工的不同步.從定性的角度，這些時(shí)間相關(guān)因素的變化往往導(dǎo)致控制性能下降，甚至是系統(tǒng)的不穩(wěn)定［1-2］，是NCS 設(shè)計(jì)和實(shí)施不可忽略的重要因素［3-6］，目前，針對(duì)一般意義的NCS 研究較多［7-8］，但專門(mén)針對(duì)網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)行為特性的研究較少.因此，有必要通過(guò)建模，從定量的角度分析時(shí)間參數(shù)對(duì)數(shù)控加工性能的影響機(jī)理，為網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和實(shí)施提供理論指導(dǎo).

Ryu 等［8］以兩軸數(shù)控系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了時(shí)延、采樣周期與動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系模型，為數(shù)控任務(wù)實(shí)施過(guò)程中時(shí)間參數(shù)的取值提供了一定的理論依據(jù).文獻(xiàn)［9］基于Truetime 工具通過(guò)仿真的手段定性地分析了時(shí)延抖動(dòng)和采樣周期抖動(dòng)等控制任務(wù)時(shí)間參數(shù)對(duì)數(shù)控加工輪廓誤差的影響.文獻(xiàn)［10］對(duì)比了控制器、傳感器和執(zhí)行器結(jié)點(diǎn)采用時(shí)間和事件觸發(fā)方式時(shí)的時(shí)延值大小

隨著數(shù)控系統(tǒng)的不斷發(fā)展，多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控越來(lái)越普遍，其加工性能不僅由單個(gè)軸的控制性能決定，還依賴于多軸協(xié)同加工的性能，但時(shí)間參數(shù)對(duì)多軸網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)加工性能的影響機(jī)理鮮有報(bào)道.論文基于修正Z 變換理論建立了時(shí)延網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)的控制模型，確立了時(shí)延、采樣周期與多軸加工性能指標(biāo)的關(guān)系模型，分析了其對(duì)數(shù)控系統(tǒng)加工性能的影響機(jī)理，是網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)施的重要理論依據(jù).

1 網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的時(shí)間參數(shù)與修正Z 變換

傳統(tǒng)的采樣控制理論假設(shè)系統(tǒng)是同步控制，即采樣與控制量輸出發(fā)生在同一時(shí)刻，不存在時(shí)延，如圖1 所示.圖中h 為采樣周期，ti(i =k，k +1，…)為采樣時(shí)刻.對(duì)于NCS，由于多路信號(hào)共享有限的網(wǎng)絡(luò)資源導(dǎo)致時(shí)延不可避免，因此，上述假設(shè)不再成立.

圖1 理想采樣控制模型Fig.1 Ideal sampled-data control model

定義1 時(shí)延及其抖動(dòng):時(shí)延是輸入-輸出時(shí)延的簡(jiǎn)稱，指從采樣時(shí)刻到控制量輸出時(shí)刻之間存在的時(shí)差，用 表示，i(i =k，k +1，…)表示不同執(zhí)行周期的時(shí)延，如圖2 所示.時(shí)延的存在使得采樣與對(duì)應(yīng)的控制輸出不再發(fā)生在相同的時(shí)刻，即同步控制不成立;時(shí)延抖動(dòng)是指在控制任務(wù)的各個(gè)執(zhí)行周期，時(shí)延值不為常數(shù)，存在著時(shí)延的變化;相對(duì)時(shí)延是指時(shí)延與采樣周期的比值，用l 表示，l= /h.

圖2 控制任務(wù)的時(shí)間參數(shù)Fig.2 Time parameters of control tasks

定義2 修正Z 變換:在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，離散序列f(kh)的Z 變換可以表示為

修正Z 變換是Z 變換的一種延伸［11］，可以實(shí)現(xiàn)非同步控制系統(tǒng)的Z 變換，表示為

式中，m 為時(shí)延參數(shù)，0≤m ＜1，m=1-l.

2 考慮時(shí)延因素的網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)模型

圖3 具有網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的兩軸CNC 系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram two-axis CNC system with networkedinduced delay

數(shù)控系統(tǒng)的單個(gè)軸可用二階系統(tǒng)描述:

式中，K 為比例增益，a 為時(shí)間常數(shù)的倒數(shù).當(dāng)數(shù)控系統(tǒng)兩個(gè)軸的結(jié)構(gòu)和參數(shù)完全匹配，兩個(gè)軸將具有相同的模型，只是網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的取值不同，下面以x 軸為例(并略去下標(biāo)x)建立具有時(shí)延的數(shù)控模型.采用比例控制，即Gc(s)=Kp，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Go(z)為

假設(shè)時(shí)延小于采樣周期，即0 ＜ ≤h，基于用修正Z變換理論，Go(z)表示為

式中，m=1- /h.數(shù)控系統(tǒng)的采樣周期一般為毫秒級(jí)甚至微秒級(jí)，且時(shí)延 小于采樣周期，對(duì)上式采用近似≈1 +a［8］，且令P=e-ah，E=1 +a，則

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(z)為

式中，N(z)=Kp{z(ah-E+EP)+E-(E +ah)P}，D(z)=az2+z(aKKph-KKpE +KKpEP-aP-a)-(aKKph+KKpE-a)P-KKpE.

由上面的建模過(guò)程可知，數(shù)控系統(tǒng)采樣模型(2)包含兩個(gè)時(shí)間參數(shù)，即采樣周期h 和時(shí)延 ，一旦控制算法確定，在網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控任務(wù)的實(shí)施和運(yùn)行階段，數(shù)控系統(tǒng)的性能完全由兩個(gè)時(shí)間參數(shù)的實(shí)際大小決定.

3 數(shù)控系統(tǒng)加工性能分析

輪廓誤差、動(dòng)態(tài)性能常常作為數(shù)控系統(tǒng)加工性能的衡量指標(biāo)，建立采樣周期、時(shí)延與其的關(guān)系模型是定量分析時(shí)間參數(shù)對(duì)數(shù)控加工性能影響機(jī)理的前提.

3.1 動(dòng)態(tài)性能

超調(diào)量是控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能衡量的主要指標(biāo)，但采樣控制系統(tǒng)的超調(diào)量一般只給出了定性的結(jié)論，時(shí)延的存在導(dǎo)致超調(diào)量的理論分析更加困難.文獻(xiàn)［8］假設(shè)系統(tǒng)不存在零點(diǎn)，通過(guò)離散域到連續(xù)域的映射，建立了時(shí)延與超調(diào)量的關(guān)系模型，但由式(2)可知，系統(tǒng)實(shí)際存在零點(diǎn)，本節(jié)將不基于上述假設(shè)，通過(guò)一定的數(shù)學(xué)變換建立時(shí)間參數(shù)與超調(diào)量的理論模型.

根據(jù)式(2)，數(shù)控系統(tǒng)階躍響應(yīng)的拉氏變換(仍以x 軸為例)為

令

則C(z)表示為

通過(guò)數(shù)學(xué)變換，得

式中，b2=Γ+P，cos(Ωh)=(1+P-Ψ)/2b，sin(Ωh)=

對(duì)式(3)應(yīng)用Z 反變換，求得數(shù)控系統(tǒng)的階躍響應(yīng):

式中，β=-ln(b)/h.

由于超調(diào)量不一定正好在采樣點(diǎn)出現(xiàn)，因此應(yīng)用連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)［12］

求出超調(diào)量

式中，tmax為峰值時(shí)間，表示為

當(dāng)參數(shù)Kp=93.56，a =55.34，K =0.3 時(shí)，采樣周期、相對(duì)時(shí)延與超調(diào)量的關(guān)系如圖4 所示，由圖可知:時(shí)延的存在使數(shù)控系統(tǒng)的超調(diào)量增大;時(shí)延和采樣周期越大，系統(tǒng)的超調(diào)量也越大.

圖4 采樣周期和相對(duì)時(shí)延對(duì)超調(diào)量的影響Fig.4 Influence of sampling periods and relative delays on overshoots

3.2 穩(wěn)態(tài)輪廓誤差

數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行圓加工時(shí)，x、y 軸的輸入分別為

rx(t)=Rcos(ωt)，

ry(t)=Rsin(ωt).

式中，R 為圓的半徑，ω 為圓加工的角頻率.

3.2.1 輪廓誤差模型

圓加工時(shí)，數(shù)控系統(tǒng)的輸入為簡(jiǎn)諧信號(hào)，將z =ejω代入式(2)，系統(tǒng)的幅值增益Mi(i =x，y)和相位差φi:

式中，A1=cos(ωt)，A2=cos(2ωt)，B1=sin(ωh)，B2=sin(2ωh)，Hi=A2+QiA1+Γi+Pi，Qi=Ψi-1-Pi，Pi、Ψi和Γi的含義分別與3.1 節(jié)中的P、Ψ 和Γ 的含義相同.

各軸在采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)輸出分別為:

cx(nh)=RMxcos(ωnh+φx)，

cy(nh)=RMysin(ωnh+φy).

式中，nh 表示采樣時(shí)刻，n=1，2，3，….

因此，圓加工的徑向輪廓穩(wěn)態(tài)誤差ε 為

相對(duì)徑向輪廓誤差為

當(dāng)兩軸時(shí)延大小相同，即兩軸完全同步時(shí)，相對(duì)徑向輪廓誤差表示為

3.2.2 仿真分析

仿真模型的參數(shù)Kp=93.56，a =55.34，K =0.3.整個(gè)圓加工的輪廓誤差采用誤差積分指標(biāo)(IAE)衡量，即

下文提到的”輪廓誤差”的含義等同于式(11).在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下，x 軸和y 軸的時(shí)間參數(shù)取值相同，且仿真中的參數(shù)取值是針對(duì)單個(gè)軸而言.針對(duì)不同的影響因素，仿真分析和結(jié)果如下.

(1)采樣周期和時(shí)延的大小.當(dāng)時(shí)延 =0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 ms，采樣周期h =0.5，1.0，1.5，2.0 ms時(shí)，根據(jù)模型(10)，圓加工的輪廓誤差如圖5 所示.由圖可知，采樣周期和時(shí)延越大，輪廓誤差越大.

當(dāng)僅關(guān)注時(shí)延的影響，從誤差中去除采樣對(duì)輪廓誤差的影響時(shí)，僅由時(shí)延引起的輪廓誤差I(lǐng)AE'為

IAE' =IAEd-IAE0.

式中，IAEd為時(shí)延數(shù)控系統(tǒng)的輪廓誤差，即圖5 所示的誤差，IAE0為無(wú)時(shí)延的輪廓誤差.如表1 所示，相同時(shí)延所引起的輪廓誤差I(lǐng)AE'的大小仍與采樣周期h 有關(guān)，且h 越大，相同的時(shí)延導(dǎo)致的輪廓誤差越大，因此采樣周期的選擇十分重要.

圖5 時(shí)延和采樣周期對(duì)輪廓誤差I(lǐng)AE 的影響Fig.5 Influence of sampling periods and delays on contour error IAE

表1 僅由時(shí)延引起的輪廓誤差I(lǐng)AE'Table 1 Circle contour error IAE' induced only by delays

(2)抖動(dòng)時(shí)延.對(duì)如下的抖動(dòng)時(shí)延與常數(shù)時(shí)延進(jìn)行對(duì)比仿真:抖動(dòng)時(shí)延J 服從［0max］上的均勻分布，時(shí)延的均值=max/2，當(dāng)用相對(duì)時(shí)延lJ來(lái)描述，等同于lJ服從［0，lmax］(lmax=max/h)上的均勻分布，均值=lmax/2;常數(shù)時(shí)延與抖動(dòng)時(shí)延的均值相等，即=(或l0=lJ).根據(jù)模型(10)，得到的仿真結(jié)果見(jiàn)表2.以h=2 ms 為例，lJ分別服從［0，0.4］、［0，0.8］上的均勻分布(等同于 J 分別服從［0，0.8］ms、［0，1.6］ms 上的均勻分布分別為0.2、0.4，得到IAE 分別為3.5296 和4.4167;對(duì)應(yīng)的常數(shù)相對(duì)時(shí)延l0=0.2 和0.4 時(shí)，IAE 分別為3.5288 和4.4138，小于抖動(dòng)時(shí)延的誤差.圖6 為h =2 ms=0.45 時(shí)抖動(dòng)時(shí)延和常數(shù)時(shí)延加工圓的輪廓示意圖.由圖6和表2 可知，抖動(dòng)時(shí)延比常數(shù)時(shí)延引起更大的輪廓誤差，在實(shí)際中增加了工件的表面粗糙度.

圖6 均勻分布時(shí)延與常數(shù)時(shí)延圓加工輪廓對(duì)比Fig.6 Circle contour comparison between uniform-distributed and constant delays

表2 常數(shù)時(shí)延與均勻分布時(shí)延的輪廓誤差Table 2 Circle contour error comparison between uniform-distributed and constant delays

(3)兩軸加工不同步.多軸加工的不同步實(shí)際是由于各軸具有不同的時(shí)延導(dǎo)致控制輸出的時(shí)刻不同，不同步加工的輪廓誤差將通過(guò)式(9)求得.為了對(duì)同步和不同步情況下的輪廓誤差進(jìn)行對(duì)比，定義兩軸數(shù)控的時(shí)延和lsum=lx+ly(lx和ly分別為x、y軸的相對(duì)時(shí)延).仿真時(shí)同步和不同步情況下的時(shí)延和lsum相等，但兩軸同步時(shí)，lx=ly=lsum/2;兩軸不同步時(shí)，lx=10%，ly=lsum-lx.圖7 示出了h =2 ms 時(shí)的輪廓誤差.由圖可知，相對(duì)于兩軸同步的情況，兩軸不同步引起了更大的輪廓誤差，且隨著不同步的加劇，輪廓誤差增大.

(4)加工角頻率.h =0.5 ms，加工角頻率ω =10，15，20 rad/s 時(shí)，根據(jù)式(10)，輪廓誤差如圖8 所示.顯而易見(jiàn)，加工角頻率的增大將放大網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)的輪廓誤差，因此高速加工更應(yīng)關(guān)注時(shí)間參數(shù)對(duì)加工性能的影響.

圖7 兩軸同步與不同步加工的輪廓誤差I(lǐng)AEFig.7 Circle contour error IAE comparison between synchronous and asynchronous contouring

圖8 圓加工角頻率對(duì)輪廓誤差的影響Fig.8 Influence of angular frequency on circle contour error

4 結(jié)論

文中通過(guò)建立時(shí)延網(wǎng)絡(luò)化數(shù)控系統(tǒng)模型，確立關(guān)鍵時(shí)間參數(shù)(采樣周期和時(shí)延)與數(shù)控系統(tǒng)超調(diào)量、輪廓誤差的關(guān)系模型，從理論和仿真的角度深入地分析了時(shí)間參數(shù)對(duì)數(shù)控系統(tǒng)加工性能的影響機(jī)理:時(shí)延和時(shí)延抖動(dòng)降低了數(shù)控系統(tǒng)的加工性能，時(shí)延和采樣周期越大，系統(tǒng)的加工性能越差;與時(shí)延相比，采樣周期對(duì)圓的加工性能影響更明顯;多軸加工的不同步惡化了圓的加工性能;增大了圓的加工進(jìn)給角頻率，放大了輪廓誤差，高速加工更應(yīng)關(guān)注時(shí)間參數(shù)對(duì)數(shù)控系統(tǒng)加工性能的影響.

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