隨機參數(shù)激勵下齒輪系統(tǒng)的分岔與穩(wěn)定性*

王靖岳 郭立新 王浩天

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819;2.沈陽航空航天大學，遼寧 沈陽 110136)

長期以來，人們對齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學研究取得了豐富的成果［1-8］.但是，制造、安裝過程中的隨機因素，材料特性的隨機性，外界隨機因素和物理、幾何參數(shù)的隨機性等等，都會造成齒輪傳動系統(tǒng)的動力學特性具有隨機性.因此，國內外專家學者開始注意到隨機因素對齒輪傳動系統(tǒng)的影響，對齒輪傳動系統(tǒng)隨機非線性特性進行了深入的研究，文獻［9］建立一個齒輪非線性隨機動力狀態(tài)空間模型，利用它來預測系統(tǒng)的剩余使用年限.文獻［10］建立考慮速度相關的隨機誤差的齒輪傳動系統(tǒng)隨機振動模型，借助開發(fā)的仿真系統(tǒng)，研究隨機誤差對振動加速度的影響.文獻［11］建立含間隙和時變嚙合剛度的齒輪系統(tǒng)，并分析了系統(tǒng)在隨機外激勵因素作用下的全局動力學特性.文獻［12］考慮非白噪聲誤差，建立了齒輪隨機振動建模，通過此模型來驗證隨機誤差對振動加速度的影響.文獻［13］建立二自由度齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學模型，利用蒙特卡洛法對其在參數(shù)隨機激勵下參數(shù)的隨機擾動對系統(tǒng)動力學行為的影響.

文中在文獻［14］的研究基礎上，考慮齒輪阻尼比、齒側間隙、嚙合頻率、嚙合剛度和輸入力矩的隨機擾動，建立一個單對三自由度的直齒輪副的隨機振動模型，分析系統(tǒng)隨齒輪嚙合頻率變化的分岔特性、穩(wěn)定性及其隨機擾動對系統(tǒng)動力學的影響.

1 系統(tǒng)的動力學模型

采用集中質量法建立了一個單對三自由度的直齒輪副的隨機動力學模型，如圖1 所示.

忽略傳動軸的扭轉和彎曲變形，僅考慮齒輪的扭轉振動.圖中，F(xiàn)b1和Fb2為主、從動軸上軸承對齒輪的作用力;θg1和θg2為主、從動齒輪的扭轉角位移;yg1和yg2為兩齒輪中心的位移;e()為齒輪嚙合綜合誤差，為時間;fb1和fb2為主、從動軸上軸承的位移函數(shù);rg1和rg2為主、從動齒輪的基圓半徑;ch為齒輪副的嚙合阻尼系數(shù);cb1和cb2為主、從動軸上軸承的阻尼系數(shù);Tg1和Tg2為作用在主、被動齒輪上的轉矩;fh為輪齒嚙合的位移函數(shù);mg1和mg2分別為主、從動齒輪的質量;kb1和kb2為主、從動軸上軸承的平均支撐剛度;Ig1和Ig2為主、從動齒輪的轉動慣量.

圖1 齒輪系統(tǒng)的動力學模型Fig.1 Dynamic model of the gear system

忽略輸出扭矩的波動，考慮因輸入扭矩波動引起的低頻外激勵和靜態(tài)傳遞誤差e()引起的高頻內部激勵，則有

式中:Tg2()為輸出扭矩;Tg2m為輸出扭矩的平均值;Tg1()為輸入扭矩;Tg1m為輸入扭矩的平均值;Tg1a()為輸入扭矩的變化部分.

齒輪副的基本參數(shù)見表1.

表1 齒輪基本參數(shù)Table 1 Parameters of the gear pair

對齒輪系統(tǒng)進行受力分析，根據(jù)牛頓定律可以得系統(tǒng)的運動學微分方程:

式中:“·”表示對時間的導數(shù);x 為齒輪副的相對位移;chΔ為齒輪副的嚙合阻尼的隨機擾動量;cb1Δ和cb2Δ為主、從動軸上軸承的阻尼隨機擾動量;mc1=Ig1Ig2/(Ig1rg22+Ig2rg12)，F(xiàn)m=Tg1m/rg1=Tg2m/rg2，x =rg1θg1-rg2θg2，kh()=kh+2/(ωh+ωΔ))=khm+FaT()=mc1Tg1a()·rg1/2Ig1.其中:ωh為嚙合頻率;ωΔ為嚙合頻率的隨機擾動量;kh()為齒輪嚙合剛度，隨時間周期變化;khm為平均嚙合剛度系數(shù);FΔ為輸入力矩的隨機擾動量;khar為各諧波分量系數(shù)，φhr為相位角(r =1，2，3，…，∞).假定齒輪嚙合綜合誤差和輸入扭矩的變化部分均為單頻的簡諧函數(shù)，即e()=easin((ωh+ωΔ)+φh)，F(xiàn)aT)=Fasin((ωt+ωtΔ) +φh)，ea為齒輪嚙合綜合誤差系數(shù);ωt為輸入轉矩的頻率;ωtΔ為輸入轉矩頻率的隨機擾動量;φh和φt為其對應的初相位.齒輪傳動的相對扭轉位移為

如圖2 所示，齒輪副的間隙為2b，則無量綱間隙ˉb=b/be，其中，be為給定的標稱尺寸.

圖2 齒側間隙與力的關系圖Fig.2 Relation between gear backlash and force diagram

［11］，對方程(2)進行無量綱化，令z1=則系統(tǒng)的狀態(tài)方程組為

式中:無量綱阻尼比ξ11= cb1/(2mg1ωn)，ξ22= cb2/(2mg2ωn)，ξ13= ch/(2mg1ωn)，ξ23= ch/(2mg2ωn)，ξ33=ch/(2mc1ωn);F'b1和F'b2為主、從動軸上軸承對齒輪的無量綱作用力，且F'b1=Fb1/(mg1be)，F(xiàn)'b2=Fb2/(mg2be);s11=/，s13= mc1/m1，s22=/，s13(t)=s23(t)=s33(t)/4，s23=mc1/m2，s33(t)=1-(ε+εΔ)cos(ωht)，ε 為無量綱齒輪嚙合剛度，ε =khar/khm，εΔ為無量綱齒輪嚙合剛度隨機擾動量;ξ11Δ、ξ13Δ、ξ22Δ、ξ23Δ和ξ33Δ為無量綱阻尼比隨機擾動量，ξ33Δ=chΔ/(2mc1ωn)，ξ23Δ=chΔ/(2mg2ωn)，ξ22Δ=cb2Δ/(2mg2ωn)，ξ13Δ= chΔ/(2mg1ωn)，ξ11Δ= cb1Δ/(2mg1ωn);Fah1為齒輪嚙合綜合誤差，F(xiàn)ah1=e/be;F'm為無量綱切向平均作用力，F(xiàn)'m=Fm/(mc1be);ω'h為無量綱嚙合頻率;F'Δ為無量綱輸入力矩的隨機擾動量，F(xiàn)'Δ=FΔ/(mc1be);ω'Δ為無量綱嚙合頻率的隨機擾動量.齒輪嚙合間隙非線性函數(shù)為

2 數(shù)值仿真分析

2.1 分岔與穩(wěn)定性

所取系統(tǒng)參數(shù)如下:Fah1=0.05，ξ11= 0.01，ξ22=0.01，ξ13=0.012，ξ23=0.012，ξ33=0.05，=1.0，F(xiàn)'m=0.01，F(xiàn)'b1=0.2，F(xiàn)'b2=0.2，k11=1.3，k22=1.3，F(xiàn)'Δ服從N(0，0.0012)的正態(tài)分布，在(-0.004，0.004)范圍內取值;ξ11Δ、ξ22Δ、ξ13Δ、ξ23Δ、ξ33Δ、Δ和εΔ服從N(0，0.0012)的正態(tài)分布，在(-0.04，0.04)范圍內取值;ω'Δ服從N(0，0.0000052)的正態(tài)分布，在(-0.00002，0.000 02)范圍內取值，隨機量均滿足3σ 理論.取初始狀態(tài)x1(0)=0，x2(0)=-0.1，x3(0)=0，x4(0)=-0.1，x5(0)=0，x6(0)=-0.1，以嚙合頻率ω'h為分岔參數(shù)，令ω =，利用四階龍格-庫塔法對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真，可得到系統(tǒng)嚙合頻率在(0.1，6.0)上的全局圖，如圖3 所示.隨著嚙合頻率的減小，系統(tǒng)先是做周期1 運動，當ω=2.75 時，系統(tǒng)通過倍化分岔到周期2 運動;當ω =2.55 時，系統(tǒng)通過倍化分岔到周期4 運動，隨著嚙合頻率的進一步減小，系統(tǒng)進入混沌運動;當ω =2.3 時，系統(tǒng)由混沌運動到周期1 運動;當ω =2.1 時，系統(tǒng)再次進入混沌運動;當ω =1.55 時，系統(tǒng)由混沌運動到周期1 運動;當ω =1.45 時，系統(tǒng)通過倍化分岔到周期2 運動，隨著嚙合頻率的進一步減小，系統(tǒng)進入混沌運動;當ω =1.15 時，系統(tǒng)由混沌運動到周期1 運動;當ω=1.05 時，系統(tǒng)再次由周期1 運動進入混沌運動;當ω =0.37 時，系統(tǒng)由混沌運動到周期1 運動.

圖3 系統(tǒng)的全局分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of the system

設計合理的齒輪傳動系統(tǒng)應具有較高的穩(wěn)定性，穩(wěn)定性包括運動狀態(tài)穩(wěn)定性［15］，即轉速的小擾動不會引起系統(tǒng)運動狀態(tài)的改變(分岔的發(fā)生);還有就是系統(tǒng)振動強度的穩(wěn)定性［16］，即轉速的小擾動不會引起振動幅值的突變.根據(jù)以上穩(wěn)定性原則可以選取齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定運行區(qū)間，齒輪嚙合頻率應該避開的區(qū)間如下:

(1)從全局分岔圖3 上可以看出:當嚙合頻率分別為2.75 和1.45 時系統(tǒng)發(fā)生分岔，該分岔點附近極易發(fā)生轉速微擾而引起運動狀態(tài)失穩(wěn)，而運動狀態(tài)的改變必然對應著較差的可靠性，因而選擇轉速時應該避開.

(2)從全局分岔圖3 上可以看出:嚙合頻率在區(qū)間(0.37，1.05)、(1.15，1.35)、(1.55，2.10)和(2.30，2.45)上為混沌運動區(qū)間.因為混沌運動意味著不可預測性和永不重復性，它總是不停地從前一時刻的某周期軌道上突然到下一時刻的其他軌道上，而運動的不斷變化會加劇齒輪系統(tǒng)的疲勞，因而選擇轉速時應該避開.

2.2 嚙合頻率的隨機擾動對分岔的影響

為分析嚙合頻率的隨機擾動對系統(tǒng)分岔的影響，取嚙合頻率在(2.2，3.0)上的局部分岔圖，見圖4.

從圖4(a)-(d)中可以看出，隨著嚙合頻率的減小，隨機擾動的增大，系統(tǒng)發(fā)生分岔的時間點逐漸提前;有的已消失，直接進入混沌運動(見圖4(d)).可見，嚙合頻率隨機擾動的大小變化對系統(tǒng)的分岔特性影響很大，嚙合頻率隨機擾動的微小變化即可影響系統(tǒng)的動力學特性.

圖5 為不同嚙合頻率下的Poincaré 映射圖.從圖5(a)可以看出，系統(tǒng)作周期1 運動;隨著嚙合頻率隨機擾動的逐級增大，吸引子變得比以往更發(fā)散，但大部分被限制在原吸引子附近，仍作周期1 運動.圖5(b)為不同形態(tài)的混沌吸引子，可以看出嚙合頻率隨機擾動的逐級增大沒有改變系統(tǒng)的混沌運動狀態(tài).

從圖5(c)中可以看出，系統(tǒng)先作周期8 運動，隨著嚙合頻率隨機擾動的逐級增大，系統(tǒng)變?yōu)榛煦邕\動.從圖5(d)和5(e)中可以看出，系統(tǒng)先作周期4 和周期2 運動;隨著嚙合頻率隨機擾動的增大，ω 服從N(0，0.0000052)的正態(tài)分布時，系統(tǒng)仍作周期4 和周期2 運動;隨著嚙合頻率隨機擾動的進一步增大，ω 服從N(0，0.000 052)和N(0，0.000 52)的正態(tài)分布時，系統(tǒng)變?yōu)榛煦邕\動，但混沌吸引子形態(tài)各不相同.

圖4 系統(tǒng)的局部分岔圖Fig.4 Local bifurcation diagram of the system

圖5 系統(tǒng)的Poincaré 映射圖Fig.5 Poincaré map of the system

取ω=2.68 時，從系統(tǒng)的時間歷程曲線圖6 和相圖7 可以看出，隨著嚙合頻率隨機擾動的增大，系統(tǒng)從周期運動轉向混沌運動.

圖6 ω=2.68 時系統(tǒng)的時間歷程曲線Fig.6 Time course diagram of the system when ω=2.68

圖7 ω=2.68 時系統(tǒng)的相圖Fig.7 Phase diagram of the system when ω=2.68

3 結論

考慮輸入力矩引起的低頻外激勵、齒輪阻尼比、齒側間隙、嚙合頻率和嚙合剛度的隨機擾動等因素對系統(tǒng)動力學的影響建立了單對三自由度非光滑直齒齒輪系統(tǒng)的隨機動力學模型和微分方程.利用四階龍格-庫塔法對齒輪系統(tǒng)的運動微分方程進行數(shù)值求解，用系統(tǒng)的Poincaré 映射圖、相平面圖、時間歷程圖和分岔圖分析了系統(tǒng)在激振頻率變化的情況下混沌的形成過程.隨著嚙合頻率的減小，齒輪系統(tǒng)通過周期倍化分岔從周期運動轉向混沌運動，再從混沌運動轉向周期運動.通過剔除6 處不穩(wěn)定轉速區(qū)段，可獲得無量綱嚙合頻率在(0.1，6.0)上的穩(wěn)定速度區(qū)間.文中研究結果對工程中選擇合理的齒輪轉速有一定的參考價值.嚙合頻率的隨機擾動對系統(tǒng)的動力學特性影響較大，隨機擾動的微小變化即可改變系統(tǒng)的分岔特性，在建模時要考慮其大小的影響再決定取舍.

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