附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)固有頻率靈敏度的計(jì)算分析*

王紅云 趙季勇 上官文斌

(1.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640;2.山東美晨科技股份有限公司，山東 諸城 262200)

單根多楔帶驅(qū)動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)前端附件是現(xiàn)代汽車廣泛采用的附件驅(qū)動(dòng)形式之一.這種附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、傳動(dòng)平穩(wěn)、維護(hù)方便、布置緊湊等優(yōu)點(diǎn).

國外學(xué)者對附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了大量的研究工作，內(nèi)容涉及系統(tǒng)的建模方法、模型的求解方法、設(shè)計(jì)參數(shù)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響等研究領(lǐng)域［1-10］.通過靈敏度分析揭示設(shè)計(jì)參數(shù)對固有頻率的影響對附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要指導(dǎo)意義，然而這方面的研究工作目前開展得還較少.Parker［11］將帶模擬為弦線，建立了附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)弦線耦合數(shù)學(xué)模型，并利用波動(dòng)法推導(dǎo)了n 帶輪附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)固有頻率對參數(shù)(帶縱向剛度、張緊器剛度、帶線密度、帶速等)的靈敏度近似分析式.勞耀新等［12］將三帶輪附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)分解為兩個(gè)子系統(tǒng)(第1 子系統(tǒng)只包含遠(yuǎn)離張緊器的帶段，其余為第2 子系統(tǒng))，在第2 子系統(tǒng)的基于多項(xiàng)式形式的耦合振動(dòng)方程基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了固有頻率靈敏度控制方程.并以系統(tǒng)基頻最小為目標(biāo)，對張緊器參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì).文獻(xiàn)［12］中采用附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)弦線耦合模型求解系統(tǒng)固有頻率(包括旋轉(zhuǎn)振動(dòng)占優(yōu)的固有頻率和橫向振動(dòng)占優(yōu)的固有頻率)，過程較為復(fù)雜.在附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中橫向振動(dòng)占優(yōu)的固有頻率一般高于旋轉(zhuǎn)振動(dòng)占優(yōu)的固有頻率［3］.因而在控制系統(tǒng)低階固有頻率的設(shè)計(jì)原則下［13］，對固有頻率進(jìn)行調(diào)控時(shí)，可采用附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)模型.

文中以七輪附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為研究對象，對組成系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)模型的非線性方程給出了線性化處理方法;在考慮系統(tǒng)帶阻尼情況下，利用復(fù)模態(tài)分析法，求解了系統(tǒng)固有頻率;推導(dǎo)出系統(tǒng)固有頻率對設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度分析方程.以一個(gè)七輪附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為實(shí)例，對比分析了模型線性化處理前后的計(jì)算結(jié)果;研究了系統(tǒng)一階固有頻率對張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)(張緊器剛度、張緊臂安裝角、張緊臂長)變化的敏感程度;在此基礎(chǔ)上，通過改變張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)，達(dá)到降低附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)一階固有頻率的目的.文中提出的固有頻率對設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度的分析計(jì)算方法，為附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)修改提供了依據(jù)，是附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效途徑.

1 附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型

圖1 為一個(gè)七輪附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖，包括多楔帶、主動(dòng)輪(輪1)、6 個(gè)從動(dòng)輪和張緊器.主動(dòng)輪順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，主動(dòng)輪的松邊為帶1，其余輪和帶以順時(shí)針方向依次標(biāo)注.張緊器由張緊臂、張緊輪(輪2)、扭轉(zhuǎn)彈簧等組成，被安裝在主動(dòng)輪松邊帶側(cè).

圖1 附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of accessory drive system

圖1 中，θ1為輪1 轉(zhuǎn)角，ri(i =1，2，…，7)為輪i半徑，li為帶段i 長度，rt為張緊臂長.

建立附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)模型時(shí)假設(shè):帶的物理特性一致，并以準(zhǔn)靜態(tài)方式伸縮;除張緊輪外，其余各輪和張緊臂都作定軸轉(zhuǎn)動(dòng);帶在輪上不發(fā)生彈性滑動(dòng)和滑移;主動(dòng)輪的運(yùn)動(dòng)已知，各從動(dòng)輪上作用的負(fù)荷扭矩已知，帶以線性軸向剛度和等效線性阻尼模擬;張緊臂旋轉(zhuǎn)軸處彈簧和阻尼元件以線性扭轉(zhuǎn)剛度和線性阻尼模擬.建立七輪附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)模型時(shí)不考慮帶和輪的楔形、各輪旋轉(zhuǎn)軸處阻尼和系統(tǒng)全部摩擦、帶的彎曲剛度、帶的橫向振動(dòng).

設(shè)張緊臂轉(zhuǎn)角θt和從動(dòng)輪轉(zhuǎn)角θj(j =2，3，…，7)為附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)建模的廣義坐標(biāo).根據(jù)動(dòng)量矩定理，建立附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)各從動(dòng)輪和張緊臂旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的非線性方程(具體建模過程參見文獻(xiàn)［14］).

以下以七輪附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為研究對象，給出其非線性模型的線性化處理方法.

首先以主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角θ1為參考參數(shù)，引入新的變量φj，并設(shè)

把式(1)代入附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)原非線性方程中，得到原變量θt和新變量φj(為敘述方便，以下統(tǒng)稱新變量)下各從動(dòng)輪和張緊臂的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)非線性方程.

然后以附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)(已知狀態(tài))為參考狀態(tài)，把系統(tǒng)新的變量分解為兩部分:穩(wěn)態(tài)部分和波動(dòng)部分.則有

式中:上角標(biāo)‘*’表示參數(shù)的穩(wěn)態(tài)部分，上角標(biāo)‘'’表示參數(shù)的波動(dòng)部分.

把式(2)代入附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)新坐標(biāo)下非線性方程中，整理后得到附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)各從動(dòng)輪和張緊臂的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)線性方程，其自由振動(dòng)方程的矩陣表達(dá)式為

式中:上標(biāo)‘·’、‘··’分別表示參數(shù)對時(shí)間t 的一階、二階導(dǎo)數(shù);Φ 為角位移向量，Φ=(θ't，φ'2，…，φ'7)T;M、C、K 分別為附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，

式中:Ji、Jt分別為帶輪i 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和張緊器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;m、v 分別為帶密度和帶軸向運(yùn)動(dòng)速度;ki、ci分別為帶段i 剛度和阻尼，ki=EA/li、ci=ηki，其中E、A 分別為帶段彈性模量和橫截面積，η 為帶阻尼系數(shù);kt、ct分別為張緊器剛度和阻尼;kpi為與帶輪i接觸的帶的剛度，kpi=EA/(riφi)，其中φi為帶輪i包角;Ti為帶段i 中的張力;角度ζ1、ζ2、β1、β2(參見圖2)隨張緊臂轉(zhuǎn)角改變而變化.

圖2 張緊臂與相鄰帶段位置關(guān)系示意圖Fig.2 Schematic diagram of position relation between tensioner arm and belt spans adjacent to tensioner

2 附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)固有頻率靈敏度分析式

式(3)有7 對復(fù)共軛特征值q(q =1，2，…，14)，及與特征值 q 對應(yīng)的左、右特征向量vq、uq.把由全部特征值組成的特征值矩陣記為 =diag［q］14×14，全部左特征向量組成的左模態(tài)矩陣記為 =［v1v2… v14］7×14，全部右特征向量組成的右模態(tài)矩陣記為ω=［u1u2… u14］7×14.設(shè)

則有

式中:Vq、Uq分別為組成矩陣V、U 的第q 列向量，

設(shè)p 為附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)，把方程(17)的兩邊分別對設(shè)計(jì)參數(shù)p 求導(dǎo)，整理有

式中:εq=［2qM +C］uq.式(18)即為附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)特征值 q對設(shè)計(jì)參數(shù)p 的靈敏度分析式.由文獻(xiàn)［15］有:靈敏度的絕對值越大，表明系統(tǒng)固有頻率對參數(shù)的變化越敏感.

在附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，張緊器無須驅(qū)動(dòng)附件，安裝位置相對靈活，設(shè)計(jì)參數(shù)便于修正，常被用來作為調(diào)節(jié)系統(tǒng)動(dòng)力特性的對象，如文獻(xiàn)［12］.在不改變附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)整體布局、附件帶輪設(shè)計(jì)參數(shù)的基礎(chǔ)上，通過調(diào)整張緊器的設(shè)計(jì)參數(shù)來改變系統(tǒng)固有頻率，進(jìn)而控制共振發(fā)生，即能節(jié)省設(shè)計(jì)時(shí)間，又能達(dá)到設(shè)計(jì)目的.

3 算例

附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)原則之一是避開有害共振，即要對附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率進(jìn)行控制，尤其是低階固有頻率［13］.利用以上結(jié)論對一個(gè)七輪附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行固有頻率靈敏度仿真分析，研究一階固有頻率對張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)(張緊器安裝角、張緊器剛度和張緊臂長)變化的靈敏度，進(jìn)而對張緊器參數(shù)進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，達(dá)到降低系統(tǒng)一階固有頻率的目的.

3.1 系統(tǒng)參數(shù)

仿真的七輪附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)取值參考文獻(xiàn)［3］，具體數(shù)值見表1、2.其中(xi，yi)為帶輪i 的旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo);(xt，yt)為張緊臂旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo);Qt為張緊器預(yù)載荷;θt0為張緊器安裝角;μ 為帶與帶輪間的摩擦因子;當(dāng)帶楔與帶輪接觸時(shí)，μ =1.2，當(dāng)帶背與帶輪接觸時(shí)，μ=0.5［3］.

表1 附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)帶和張緊器參數(shù)Table 1 Parameters of belt and tensioner for accessory drive system

表2 附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輪系參數(shù)Table 2 Parameters of pulleys for accessory drive system

3.2 模型線性化前后的計(jì)算結(jié)果對比

利用MATLAB 軟件提供的求解常微分方程初值問題的函數(shù)，對建立的仿真附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型進(jìn)行計(jì)算.圖3 示出了模型線性化處理前后張緊臂和帶輪4 的旋轉(zhuǎn)角度隨系統(tǒng)工作時(shí)間t 的變化情況，模型線性化處理前后計(jì)算結(jié)果吻合較好.故利用線性化后的模型對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析是可行的.

圖3 模型線性化前后計(jì)算結(jié)果對比Fig.3 Comparison of calculated results before and after linearizing for model

3.3 一階固有頻率對張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度分析

圖4 示出了張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)變化對仿真附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)一階固有頻率fn1的影響(張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)取值范圍根據(jù)實(shí)際附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)特性和仿真附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)來確定).由圖4 可見:fn1隨rt的增加而減小;當(dāng)θt0＜295°時(shí)，fn1隨θt0的增加而減小;當(dāng)θt0≥295°時(shí)，fn1隨θt0的增加而增加;fn1隨kt的增加而增加.由此可知:改變張緊器各設(shè)計(jì)參數(shù)值的大小，附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)一階固有頻率發(fā)生變化.

圖4 張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)對一階固有頻率的影響Fig.4 Influence of tensioner design parameters on first-order natural frequency

圖5 示出了仿真的附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)一階固有頻率對張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度隨張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)變化的曲線.圖中Γrt1、Γkt1、Γθt01分別為fn1對rt、kt、θt0的靈敏度.

由圖5 可見:一階固有頻率對rt的靈敏度隨rt的增加而減小;當(dāng)θt0＜295°時(shí)，一階固有頻率對θt0的靈敏度隨θt0增加而減小;當(dāng)θt0≥295°時(shí)，一階固有頻率對θt0的靈敏度隨θt0增加而增加;一階固有頻率對kt的靈敏度隨kt的增加而減小.

圖5 一階固有頻率對張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度曲線Fig.5 Sensitivity curves of first-order natural frequencies to tensioner design parameters

3.4 基于固有頻率靈敏度分析的張緊器參數(shù)設(shè)計(jì)

在汽車中，對于怠速為700 r/min 的四缸發(fā)動(dòng)機(jī)，其對應(yīng)的頻率大約為23.3 Hz，與仿真的附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)一階固有頻率(19.70 Hz)較接近.為使發(fā)動(dòng)機(jī)工作轉(zhuǎn)速盡快越過附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的一階固有頻率區(qū)域，避免怠速時(shí)共振發(fā)生，應(yīng)盡量降低附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的一階固有頻率值.

經(jīng)計(jì)算得:仿真附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)張緊器的3 個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)中，一階固有頻率對rt的改變最為敏感(Γrt1=-30.8 Hz/m)，對kt的改變最不敏感(Γkt1=1.25 Hz/(N·m/rad));當(dāng)rt、θt0減小、kt增加時(shí)，一階固有頻率增加.因而降低仿真附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)一階固有頻率的最有效方法為增加rt的值.

表3 示出了改變張緊器3 個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)其中之一時(shí)，系統(tǒng)一階固有頻率的變化情況.對于仿真的附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，盡管在其張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)可調(diào)節(jié)范圍內(nèi)，一階固有頻率的改變量較小，但通過表3 仍然可以得出:當(dāng)通過修改張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)的值來達(dá)到改變系統(tǒng)一階固有頻率的目的時(shí)，修改一階固有頻率對張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度最大的rt的值是最為有效的方法.

表3 張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)改變前后系統(tǒng)的一階固有頻率Table 3 First-order natural frequencies before and after changing tensioner parameters

4 結(jié)語

文中給出了組成附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)振動(dòng)模型的非線性方程的線性化處理方法;推導(dǎo)出了系統(tǒng)固有頻率對系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度分析方程;研究了一階固有頻率對張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)變化的敏感程度.對一個(gè)仿真附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的研究結(jié)果表明:利用線性化后的模型對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析是可行的;當(dāng)張緊器某一設(shè)計(jì)參數(shù)取不同值時(shí)，附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)一階固有頻率對其變化的敏感度不同;不同的張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)的變化對一階固有頻率的影響不同;張緊器3 個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)中，一階固有頻率對張緊臂長的變化最為敏感，通過改變張緊臂長來降低一階固有頻率是最為有效的方法.

總之，在附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，張緊器由于安裝位置靈活、品種多而常被選作調(diào)節(jié)系統(tǒng)動(dòng)力特性的對象.因此通過改變張緊器設(shè)計(jì)參數(shù)來解決附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)問題是目前看來較為理想和有效的方法.這種方法從理論上和技術(shù)上來講都是可行的，但是要真正達(dá)到應(yīng)用水平，還需要做深入細(xì)致的研究，其中實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證將是下一步研究的工作重點(diǎn).

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