線性時(shí)變信道下OFDM系統(tǒng)的加窗信道估計(jì)*

解永生 汪明亮 周磊磊

(中國(guó)科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)與通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200050)

隨著對(duì)終端移動(dòng)性需求的提升，無(wú)線移動(dòng)環(huán)境中的信道估計(jì)技術(shù)成為正交頻分復(fù)用(OFDM)系統(tǒng)的研究熱點(diǎn).多普勒頻移會(huì)破壞正交頻分復(fù)用系統(tǒng)子載波間的正交性，引起子載波間干擾(ICI)［1］.因此有必要準(zhǔn)確地估計(jì)時(shí)變信道信息，降低ICI 導(dǎo)致的系統(tǒng)性能損失.文獻(xiàn)［2］指出，OFDM 系統(tǒng)的大部分能量泄漏集中在相鄰子信道中;同時(shí)子載波的ICI干擾則大部分來(lái)自于臨近子信道.因此，時(shí)變信道矩陣可以認(rèn)為是近似限帶的，間距較遠(yuǎn)的子載波引入的ICI 干擾可以忽略.雖然這一假設(shè)大幅度地降低了信道估計(jì)算法的復(fù)雜度，但其性能同樣遭到很大的損害.

在OFDM 系統(tǒng)的接收端加入窗函數(shù)，可以增強(qiáng)時(shí)變信道的限帶特性.該方法利用窗函數(shù)將信號(hào)的ICI 干擾集中在臨近的子載波中，由此降低遠(yuǎn)端子載波對(duì)信號(hào)的ICI 干擾.文獻(xiàn)［3-7］利用窗函數(shù)降低頻偏產(chǎn)生的ICI 干擾，其亦可用于消除時(shí)變信道的ICI干擾.文獻(xiàn)［8-11］則具體研究了多種窗函數(shù)消除ICI 干擾的能力，結(jié)果表明，窗函數(shù)可以將系統(tǒng)的ICI干擾集中到臨近的載波中，降低信道均衡的復(fù)雜度.文獻(xiàn)［9］改進(jìn)了基于相關(guān)編碼的干擾自消除方法，其等效于在發(fā)送端加入窗函數(shù).文獻(xiàn)［10-11］在發(fā)送端增加了循環(huán)前導(dǎo)碼和循環(huán)后導(dǎo)碼，在接收端對(duì)加窗后重疊部分的時(shí)域采樣點(diǎn)進(jìn)行疊加，表現(xiàn)出良好的抵抗ICI 干擾的能力.文獻(xiàn)［12］以信號(hào)干擾功率比(SINR)最大化為優(yōu)化目標(biāo)，推導(dǎo)出了接收端窗函數(shù)的表達(dá)形式.文獻(xiàn)［13］則在指數(shù)和(SOE)受限的條件下，以最小限帶近似誤差(MBAE)為準(zhǔn)則，推導(dǎo)出最優(yōu)窗的表達(dá)式.這兩種窗函數(shù)的波形基本上是一致的.

Jeon 等［14］提出，當(dāng)多徑衰落信道的時(shí)變性較小(歸一化多普勒頻移小于0.1)時(shí)，OFDM 符號(hào)時(shí)間內(nèi)的信道是近似線性變化的.OFDM 系統(tǒng)的接收端加入窗函數(shù)，一方面優(yōu)化了信道的限帶特性，但也額外地加入了時(shí)變性.因此，加窗后需要重新考慮時(shí)變信道的線性模型(LTV 模型).文中將窗函數(shù)與信道的時(shí)變性隔離開(kāi)來(lái)，提出了加窗- 線性信道(W-LTV)模型.該模型的基函數(shù)與窗函數(shù)有關(guān).隨后提出了該模型下的簡(jiǎn)化信道估計(jì)算法，可降低運(yùn)算量.

1 信號(hào)模型

在OFDM 系統(tǒng)的接收端加入窗函數(shù)，可以有效地降低OFDM 系統(tǒng)子載波的頻率彌散現(xiàn)象.

圖1 為OFDM 系統(tǒng)的接收端加窗原理框圖.圖中IFFT 表示傅里葉逆運(yùn)算.OFDM 系統(tǒng)的時(shí)域信號(hào)表達(dá)式為

式中:N 為OFDM 系統(tǒng)中快速傅里葉變換(FFT)的點(diǎn)數(shù);X(k)為第k 個(gè)子載波上傳輸?shù)膹?fù)信號(hào).

圖1 加窗OFDM 系統(tǒng)的原理框圖Fig.1 Block diagram of OFDM system with a receiver window

為了消除符號(hào)間干擾(ISI)，加入了長(zhǎng)度為G 的循環(huán)前綴.循環(huán)前綴的長(zhǎng)度大于信道的最大時(shí)延擴(kuò)展.則去除循環(huán)前綴后的接收信號(hào)為

式中:L 為時(shí)變信道的徑數(shù);h(n，l)為第l 徑的信道參數(shù);z(n)為高斯白噪聲;((n- l)N)表示取模運(yùn)算.為便于描述，上式可以改寫為矩陣的形式y(tǒng) =hx+z.其中，x 和y 同為N ×1 維的向量，分別表示時(shí)域發(fā)送信號(hào)與接收信號(hào);h 為信道的時(shí)域矩陣;z為高斯白噪聲.

加入窗函數(shù)后，接收信號(hào)為

式中，Δw為窗函數(shù)矩陣，其為對(duì)角陣;hw為等效的信道時(shí)域矩陣;zw為限帶高斯白噪聲.對(duì)上式進(jìn)行FFT變換，得到頻域表達(dá)式為

式中:X、Y、Z 分別為發(fā)送信號(hào)、接收信號(hào)和高斯白噪聲的頻域向量;W 為窗函數(shù)的頻域矩陣，W=FΔwFH，F(xiàn) 為傅里葉變化矩陣，F(xiàn)H為對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)置矩陣;Hw為等效信道頻域矩陣，Hw=WH;Zw為頻域的限帶高斯噪聲.

為便于分析，定義Hw(k，m)=w(k-m，m).其中，Hw(k，m)表示矩陣Hw中k 行m 列的元素.則

式中，d=k-m，w(n)為窗函數(shù)的參數(shù).那么，ICI 干擾的方差為

信道矩陣H 是近似限帶的，間距較遠(yuǎn)的子載波引入的ICI 干擾可以忽略.設(shè)限帶后的信道矩陣為B，則有B=H ?T(Q).符號(hào)?表示點(diǎn)乘運(yùn)算，T(Q)為限帶開(kāi)關(guān)矩陣.該矩陣為Toeplitz 矩陣，首列向量為，帶寬為2Q+1.Q 為限帶參數(shù)，它最終決定了限帶信道矩陣B 的帶寬.文獻(xiàn)［12］研究了Q 的取值對(duì)信道估計(jì)性能的影響.通常來(lái)說(shuō)，Q 要遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的子載波數(shù)N.對(duì)于LTV 信道模型，其取值為1 或者2.

在OFDM 系統(tǒng)中加入窗函數(shù)，目的在于增強(qiáng)時(shí)變信道的限帶特性，進(jìn)而降低較遠(yuǎn)子載波的ICI 干擾.加窗后的等效信道頻域矩陣為Hw，則等效限帶信道矩陣Bw=HwT(Q).為增強(qiáng)信道的限帶特性，文中優(yōu)化目標(biāo)為經(jīng)過(guò)仿真可以證明，常規(guī)的窗函數(shù)(漢明窗等)即可使得目標(biāo)函數(shù)成立.

2 算法原理

當(dāng)時(shí)變信道的歸一化多普勒頻移小于0.1 時(shí)，OFDM 符號(hào)內(nèi)的信道可以近似為線性時(shí)變信道(LTV).而LTV 模型又可以分為單折線LTV 模型和雙折線LTV 模型［15］.在OFDM 系統(tǒng)的接收端加入窗函數(shù)，優(yōu)化信道限帶特性的同時(shí)，也會(huì)額外地引入時(shí)變性.因此，利用LTV 信道模型進(jìn)行信道估計(jì)時(shí)，要考慮到窗函數(shù)對(duì)基函數(shù)帶來(lái)的影響.

采用單折線LTV 模型時(shí)，時(shí)域信道響應(yīng)可以表示為［15］

式中:hmid為OFDM 符號(hào)中心時(shí)刻的信道響應(yīng);α 為信道斜率組成的Toeplitz 矩陣;M 為時(shí)域基函數(shù)矩陣，其為對(duì)角矩陣.

采用雙折線LTV 模型時(shí)，時(shí)變信道響應(yīng)可以表示為［15］

式中:αpre為折線1 的信道斜率矩陣，αnxt為折線2 的信道斜率矩陣;Mpre和Mnxt為基函數(shù)矩陣，且M =Mpre+Mnxt.

首先分析單折線LTV 模型下的信號(hào)，然后將結(jié)果推廣到雙折線模型.如果直接采用單折線LTV 模型對(duì)加窗后的等效信道進(jìn)行估計(jì)，即假設(shè)系統(tǒng)的時(shí)變性只由信道的時(shí)變性引起的，則等效頻域信道矩陣為

式中:Hw，mid為加窗后中心時(shí)刻的等效信道矩陣;C 為頻域基函數(shù)矩陣，C =FMFH;αw為等效的時(shí)域斜率矩陣，αw=Δwα;Aw為等效的頻域斜率矩陣.由上式可知，若假設(shè)系統(tǒng)的時(shí)變性均是由信道引起的，那么基函數(shù)矩陣保持不變.因此可以采用文獻(xiàn)［15］直接求解等效斜率矩陣，獲取信道的估計(jì).由于沒(méi)有考慮到窗函數(shù)的影響，該方式的性能較差.尤其當(dāng)窗函數(shù)幅度變化劇烈時(shí)，該方法可能會(huì)完全失效.

另一方面，可以將窗函數(shù)引入的時(shí)變性單獨(dú)考慮.那么，等效信道頻域矩陣Hw可以寫為

式中:A 為頻域斜率矩陣;Cw為加窗后等效的基函數(shù)矩陣，Cw=WC;Hmid為hmid的頻域形式，表示中心時(shí)刻的頻域信道矩陣.通過(guò)等效基函數(shù)矩陣，可以將窗函數(shù)引入的時(shí)變性與信道的時(shí)變性獨(dú)立開(kāi)來(lái)，從而保證信道估計(jì)的準(zhǔn)確性.W 和Cw的表達(dá)式分別為

式中，w(p)為窗函數(shù)的系數(shù).優(yōu)化后的模型即稱為W-LTV 模型.它的基函數(shù)是由窗函數(shù)和子載波位置共同決定的.利用文獻(xiàn)［15］的方法直接求解原始的斜率矩陣，最終可以獲取式(10)表示的信道響應(yīng)，完成信道估計(jì).

由式(10)可知，Hmid和A 均為對(duì)角矩陣，因此Hw的限帶特性完全取決于W 和Cw.而W 和Cw均為Toeplitz 矩陣，該矩陣完全是由其首列向量決定的.因而，Hw的限帶特性完全取決于式(11).由此可知，通過(guò)選擇適合的窗函數(shù)，可以使得式(11)的限帶特性優(yōu)于矩形窗的限帶特性.

將該結(jié)論推廣到雙折線模型，其等效信道響應(yīng)為

式中，Hw，mid= WHmid，Apre和Anxt為對(duì)角斜率矩陣，Cw，pre、Cw，nxt為改進(jìn)后的基函數(shù)矩陣參數(shù).改進(jìn)的基函數(shù)矩陣為:

從式(13)可以看出，基函數(shù)矩陣不僅與子載波的位置有關(guān)，還與窗函數(shù)有關(guān).窗函數(shù)是事先設(shè)計(jì)得到的，因此計(jì)算上述基函數(shù)同樣可以事先設(shè)計(jì)得到，不需要額外的硬件資源.傳統(tǒng)OFDM 系統(tǒng)的窗函數(shù)為矩形窗，此時(shí)上式的基函數(shù)矩陣與文獻(xiàn)［15］一致;當(dāng)選擇其他函數(shù)時(shí)(如漢明窗)，可以有效地降低ICI 干擾.

3 簡(jiǎn)化算法

等效信道矩陣Hw為N×N 的方陣，利用式(12)計(jì)算信道矩陣時(shí)，至少需要3N2個(gè)復(fù)乘法運(yùn)算和2N2個(gè)復(fù)加法運(yùn)算.考慮到Hw是近似限帶的，因此可以忽略遠(yuǎn)離對(duì)角線的元素.設(shè)Cw的近似帶寬為2Q+1，那么只需要3(2Q +1)N 個(gè)復(fù)乘法運(yùn)算和2(2Q+1)N 個(gè)復(fù)加法運(yùn)算.

進(jìn)一步探討等效信道矩陣的性質(zhì)，尋求進(jìn)一步簡(jiǎn)化運(yùn)算量的方法.單折線LTV 模型相對(duì)比較簡(jiǎn)單，筆者首先考慮該模型下的簡(jiǎn)化算法，然后將其推廣到雙折線模型中.通常情況下，窗函數(shù)是實(shí)函數(shù)且關(guān)于中心點(diǎn)偶對(duì)稱，即w(n)=w(N-1-n).設(shè)m=n+d，則由式(11)可知，Cw(n+d，n)=C*w(n-d，n)，其中*表示復(fù)數(shù)的共軛.那么對(duì)于-Q≤d≤Q，有如下表達(dá)式

那么，將上述條件帶入式(10)中，得到系統(tǒng)的信道響應(yīng):

可以看出，通過(guò)上式可將單折線LTV 模型下的計(jì)算量降低到原來(lái)的一半.

在雙折線LTV 模型中，

式中:Aavr為平均斜率，Aavr=(Anxt+Apre)/2;ΔA 為線段斜率的增量，ΔA=(Apre-Anxt)/2;Cw=Cw，pre+Cw，nxt;ΔCw為基函數(shù)矩陣的增量，ΔCw= Cw，pre-Cw，nxt.

在雙折線LTV 模型中，兩條線段的斜率幾乎是相同的.線段的斜率增量近似為零，即ΔCwΔA≈O.則雙線段模型下系統(tǒng)的信道響應(yīng)為

由上式可以看出，在雙線段模型下，同樣可以采用該方法簡(jiǎn)化信道估計(jì)時(shí)的計(jì)算量.簡(jiǎn)化后，算法的運(yùn)算量降低為2(Q+1)N 個(gè)復(fù)乘法運(yùn)算和(2Q+1)N個(gè)復(fù)加法運(yùn)算.當(dāng)Q=1 時(shí)，簡(jiǎn)化算法的復(fù)乘運(yùn)算量降低了125%，復(fù)加運(yùn)算量降低了50%.結(jié)論，窗函數(shù)對(duì)ICI 干擾具有兩種作用，一是增強(qiáng)了d=1 的載波的ICI 干擾，二是抑制了d ＞1 的ICI 干擾.由此證明，窗函數(shù)可以很好地抑制帶外的ICI 干擾，增強(qiáng)信道的限帶特性.值得說(shuō)明的是，在推導(dǎo)MBAE-SOE 窗時(shí)采用的參數(shù)Q=1.

圖2 ICI 干擾隨載波間距d 的變化情況Fig.2 Changes of ICI power with carrier spacing d

當(dāng)歸一化多普勒頻移為0.1 時(shí)，帶外ICI 干擾隨帶寬參數(shù)Q 的變化情況見(jiàn)圖3.為驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性，圖中同時(shí)給出了理論曲線和仿真曲線.可以看出，理論曲線與仿真曲線完全吻合.當(dāng)系統(tǒng)無(wú)窗函數(shù)時(shí)，其帶外的ICI 干擾隨Q 的增大衰減緩慢;當(dāng)加入漢明窗時(shí)，帶外的ICI 干擾快速衰減.特別地，當(dāng)Q=1 時(shí)，漢明窗的帶外ICI 干擾已經(jīng)降低到-40 dB，遠(yuǎn)小于矩形窗的-22 dB.

4 算法仿真

仿真采用了128 點(diǎn)FFT，其中導(dǎo)頻子載波數(shù)為16，循環(huán)前綴的長(zhǎng)度為16，系統(tǒng)的采樣間隔為0.2μs.導(dǎo)頻載波和數(shù)據(jù)載波的調(diào)制方式均為四相相移鍵控(QPSK).導(dǎo)頻載波等間隔地分布在OFDM 系統(tǒng)的整個(gè)頻帶中.多徑信道采用了COST207RA 4 徑模型，多普勒功率譜采用的是經(jīng)典譜.

圖2 示出了當(dāng)歸一化多普勒頻移為0.1 時(shí)加窗后的ICI 干擾隨載波間距d 的變化情況.可以看出，隨著載波間距的增大，ICI 干擾亦隨之降低.當(dāng)系統(tǒng)無(wú)窗函數(shù)時(shí)(矩形窗)，ICI 干擾衰減緩慢;當(dāng)加入漢明窗時(shí)，ICI 干擾衰減速度很快.圖中，漢明窗和MBAE-SOE 窗的ICI 干擾是近似一致的.特別地，它們的ICI 干擾主要集中在d =1 的載波上.可以得出

圖3 帶外ICI 干擾隨Q 的變化情況Fig.3 Changes of out-of-band ICI power with Q

圖4 示出了當(dāng)歸一化多普勒頻移為0.05 時(shí)系統(tǒng)誤碼率隨信噪比的變化情況.圖中，方法A 是文中提出的方法，方法B 則將窗函數(shù)的時(shí)變性等效為信道的時(shí)變性.為了對(duì)比方法的性能，圖中給出了文獻(xiàn)［15］的方法、最小二乘估計(jì)及理想信道估計(jì)下的誤碼率曲線作為對(duì)比基準(zhǔn).這3 種方法均針對(duì)的是無(wú)窗的傳統(tǒng)OFDM 系統(tǒng);而方法A 和方法B 加入了漢明窗.從圖中可以看出，當(dāng)誤碼率為0.002 時(shí)，方法A 的抗噪聲性能相對(duì)文獻(xiàn)［15］的方法提升了2.5 dB.其性能基本上與理想信道估計(jì)的性能一致.方法B 的性能非常差.這是由于窗函數(shù)的時(shí)變性非常劇烈，LTV 模型不能有效地跟蹤其時(shí)變特性造成的.

圖4 歸一化多普勒頻移為0.05 時(shí)不同方法的BER 對(duì)比Fig.4 BER comparison of different methods at the normalized Doppler shift of 0.05

5 結(jié)語(yǔ)

在OFDM 系統(tǒng)的接收端加入窗函數(shù)，可以有效降低子載波的頻率彌散現(xiàn)象.但窗函數(shù)引入了新的時(shí)變性，并且該時(shí)變性相對(duì)于信道的變化更為劇烈.文中將窗函數(shù)與信道的時(shí)變性隔離開(kāi)來(lái)，提出了WLTV 模型.從仿真結(jié)果可以看出，加入窗函數(shù)可以抑制信道矩陣的帶外ICI 干擾，增強(qiáng)其限帶特性.與傳統(tǒng)OFDM 系統(tǒng)的性能相比，加入窗函數(shù)可以使系統(tǒng)性能有很大程度的提升.

［1］Ozdemir M K，Arslan H.Channel estimation for wireless OFDM systems ［J］.IEEE Communications Surveys ＆Tutorials，2007，9(2):18-48.

［2］Cai X D，Giannakis G B.Bounding performance and suppressing intercarrier interference in wireless mobile OFDM［J］.IEEE Transactions on Communications，2003，51(12):2047-2056.

［3］Muller-Weinfurtner S H，Huber J B.Robust OFDM reception with near-optimum Nyquist window ［C］∥Proceedings of IEEE 50thVehicular Technology Conference.Amsterdam:Princeton University Press，1999:289-293.

［4］Muller-Weinfurtner S H.Optimum Nyquist windowing in OFDM receivers［J］.IEEE Transactions on Communications，2001，49(3):417-420.

［5］Beaulieu N C，Peng T.Receiver windowing for reduction of ICI in OFDM systems with carrier frequency offset［C］∥Proceedings of IEEE Global Telecommunications Conference.St Louis:IEEE，2005:2680-2684.

［6］Kumbasar V，Kucur O.ICI reduction in OFDM systems by using improved sinc power pulse［J］.Digital Signal Processing，2007，17(6):997-1006.

［7］Assimonis S D，Matthaiou M，Karagiannidis G K，et al.Optimized“better than”raised-cosine pulse for reduced ICI in OFDM systems［C］∥Proceedings of IEEE 17th International Conference on Telecommunications (ICT).Doha:IEEE，2010:249-252.

［8］Vogeler S，Klenner P，Kammeyer K-D.Multicarrier transmission for scenarios with high doppler influence［C］∥Proceedings of 10th International OFDM-Workshop.Hamburg:［s.n.］，2005.

［9］Wang C，Huang Y，Shen P.An intercarrier interference suppression technique using time-domain windowing for OFDM systems［C］∥Proceedings of IEEE 63rd Vehicular Technology Conference.Melbourne:IEEE，2006:2518-2522.

［10］Peiker E，Dominicus J，Teich W G，et al.Improved performance of OFDM systems for fast time-varying channels［C］∥Proceedings of 2nd International Conference on Signal Processing and Communication Systems.Gold Coast:IEEE，2008:1-7.

［11］Peiker E，Teich Wr G，Lindner J.Windowing in the receiver for OFDM systems in high-mobility scenarios［C］∥Multi-Carrier Systems ＆ Solutions 2009.Herrsching:Springer，2009:57-65.

［12］Schniter P.Low-complexity equalization of OFDM in doubly selective channels ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2004，52(4):1002-1011.

［13］Rugini L，Banelli P，Leus G.Low-complexity banded equalizers for OFDM systems in Doppler spread channels［J］.EURASIP Journal on Applied Signal Processing，2006，2006:67404/(1-13).

［14］Jeon W G，Chang K H，Cho Y S.An equalization technique for orthogonal frequency-division multiplexing systems in time-variant multipath channels ［J］.IEEE Transactions on Communications，1999，47(1):27-32.

［15］Mostofi Y，Cox D C.ICI mitigation for pilot-aided OFDM mobile systems ［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2005，4(2):765-774.